[發(fā)明專利]一種單對稱截面風(fēng)力機(jī)葉片固有特性求解方法

有效

• 申請?zhí)枺?/td>: 202111370986.8
• 申請日: 2021-11-18
• 公開（公告）號: CN114065429B
• 公開（公告）日: 2023-04-18
• 發(fā)明（設(shè)計(jì)）人: 曹登慶;武騫敬;陳帥
• 申請（專利權(quán)）人: 哈爾濱工業(yè)大學(xué)
• 主分類號: G06F30/17
• 分類號: G06F30/17;G06F30/20;G06F17/16;G06F119/14
• 代理公司: 哈爾濱龍科專利代理有限公司 23206
• 代理人: 王新雨

1.一種單對稱截面風(fēng)力機(jī)葉片固有特性求解方法，其特征在于：所述方法具體為：

將葉片視作單對稱截面歐拉伯努利懸臂梁，推導(dǎo)過程中用到兩種坐標(biāo)系，一個(gè)是慣性正交坐標(biāo)系x,y,z，其原點(diǎn)位于梁根部橫截面剪切中心；另一個(gè)是橫截面坐標(biāo)系ξ,η,ζ，其原點(diǎn)位于橫截面剪切中心；該歐拉伯努利懸臂梁的截面關(guān)于y軸對稱，考慮其對y軸的彎曲振動(dòng)和對x軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，自由振動(dòng)條件下的動(dòng)力學(xué)方程組寫為

其中，

式中，D_η表示抗彎剛度，w表示梁z軸方向彎曲位移，是位置和時(shí)間的函數(shù)，即w(x,t)，θ表示梁x軸方向扭轉(zhuǎn)位移，也是位置和時(shí)間的函數(shù)，即θ(x,t)，w””表示梁z軸方向彎曲位移對位置x的四階偏導(dǎo)，m表示線密度，表示梁z軸方向彎曲位移對時(shí)間t的二階偏導(dǎo)，η_c表示偏心距，表示梁x軸方向扭轉(zhuǎn)位移對時(shí)間t的二階偏導(dǎo)，J_η表示關(guān)于y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，表示梁z軸方向彎曲位移對時(shí)間t的二階偏導(dǎo)和對位置x的二階偏導(dǎo)，D_ξ表示抗扭剛度，θ”表示梁x軸方向扭轉(zhuǎn)位移對位置x的二階偏導(dǎo)，J_ξ表示關(guān)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，A表示橫截面積，ρ表示體密度，E表示楊氏模量，G表示剪切模量，ψ表示翹曲位移場函數(shù)，ξ，η，ζ表示橫截面坐標(biāo)系中三個(gè)方向坐標(biāo)；

由于關(guān)注的是葉片的周期振動(dòng)，故不考慮方程組的解中的非周期振動(dòng)部分，據(jù)此，設(shè)方程組(1)的解為

式中，W(x)表示梁z軸方向彎曲振動(dòng)的振型函數(shù)，Θ(x)表示梁x軸方向扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的振型函數(shù)，e是自然數(shù)，i是虛數(shù)，ω是圓頻率，t是時(shí)間，為便于敘述，W(x)和Θ(x)分別記為W和Θ；

將式(2)代入式(1)可實(shí)現(xiàn)時(shí)間變量和空間變量的分離，得到關(guān)于空間變量x的常微分方程組為

式(3)可以合并為一個(gè)同時(shí)適用于W(x)和Θ(x)的六階常微分方程，如下所示：

(D⁶+aD⁴-bD²-c)Φ(x)＝0???????????????????????????(4)

其中，D為偏導(dǎo)符號，記為Φ(x)＝W(x)orΘ(x)，a、b、c為中間參數(shù)，表達(dá)式為，

式(4)的解為

A₁～A₆、B₁～B₆為待定系數(shù)，α、β、γ為中間參數(shù)，cosh()是雙曲余弦函數(shù)，sinh()是雙曲正弦函數(shù)，具體表達(dá)為，

其中，參數(shù)q、λ表達(dá)式為，

由式(5)可知，彎、扭振型函數(shù)共有12個(gè)待定系數(shù)，但由于彎曲和扭轉(zhuǎn)的耦合性，二者之間并不獨(dú)立，故待定系數(shù)之間存在一定的關(guān)系，將式(5)代入式(3)中，利用恒等關(guān)系可以得到彎、扭振型函數(shù)中待定系數(shù)A_i、B_i之間的關(guān)系如下：

式中，參數(shù)k_α、k_β、k_γ表達(dá)式為

系統(tǒng)的頻率方程由邊界條件獲得，對于懸臂梁模型，在固定端有三個(gè)幾何邊界條件如下：

w＝0,θ＝0,w'＝0?????????????????????????????(7)

自由端有三個(gè)力(力矩)邊界條件如下：

聯(lián)立(5)、(6)、(7)、(8)，可得方程組如下：

其中，L是梁的長度，參數(shù)h_α、h_β、h_γ為中間參數(shù)，無具體含義，表達(dá)式為：

h_α＝D_ηα²+J_ηω²

h_β＝D_ηβ²-J_ηω²

h_γ＝D_ηγ²-J_ηω²

該方程組無零解，由線性代數(shù)理論可知其系數(shù)矩陣的行列式為0，即：

式(10)即為系統(tǒng)的頻率方程，該方程的解為系統(tǒng)的各階固有頻率；

將式(9)中的系數(shù)矩陣?yán)酶咚瓜ㄗ鲂凶儞Q，得一上三角矩陣，由此得A_i之間的關(guān)系，設(shè)

C₃＝-γ²sin(γL)-αγsinh(αL)

C₅＝-β²sin(βL)-αβsinh(αL)

C₆＝k_γ-k_α

C₇＝k_β-k_α

以A₆為自由參數(shù)，得

將各階固有頻率ω_i的值代入上式，并設(shè)自由參數(shù)A₆＝1，即可得到各階彎、扭振型函數(shù)，至此線性方程固有特性分析完畢；

關(guān)于單對稱截面歐拉伯努利懸臂梁彎曲振動(dòng)、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)的正交性證明如下，對于第i階振型函數(shù)，將分離變量后的動(dòng)力學(xué)方程組寫為矩陣形式

其中，W_i表示梁第i階z軸方向彎曲振動(dòng)振型函數(shù)，Θ_i表示梁第i階x軸方向扭轉(zhuǎn)振動(dòng)振型函數(shù)；

將式(12)左乘(W_jΘ_j)，得

展開得

沿全梁積分得

由邊界條件知，方程左邊的第一、二、三項(xiàng)為零；所以

同理，對于第j階振型方程

兩式相減，得

當(dāng)i≠j時(shí)，ω_i²≠ω_j²；固有

從而有

當(dāng)i＝j(luò)時(shí)，第i階模態(tài)質(zhì)量為

第i階模態(tài)剛度為

第i階固有頻率為