[發明專利]快速確定不連續系統Lyapunov指數譜的方法

有效

• 申請號: 202110790553.1
• 申請日: 2021-07-13
• 公開（公告）號: CN113642119B
• 公開（公告）日: 2023-10-27
• 發明（設計）人: 周瑞平;馬召召;楊慶超
• 申請（專利權）人: 武漢理工大學
• 主分類號: G06F30/17
• 分類號: G06F30/17;G06F119/14
• 代理公司: 武漢開元知識產權代理有限公司 42104
• 代理人: 李滿

本發明公開了一種快速確定不連續系統Lyapunov指數譜的方法，該方法以不連續系統狀態參數初始值和沿相空間每個基本矢量的擾動量為初始條件，確定相軌跡；其次，采取差商近似導數法，獲得Jacobi矩陣的近似矩陣。然后，對Jacobi矩陣進行特征值提取，得到不連續系統的Lyapunov指數譜；最后，將新算法應用到二自由度干摩擦沖擊振蕩器系統實例中，并將計算結果與同步方法的計算結果進行對比，對新方法的有效性進行了驗證。本方法不僅適用于離散系統和連續時間系統，而且能夠快速確定復雜不連續系統的Lyapunov指數，為確定復雜不連續系統的動力學行為提供了新思路。

技術領域

本發明涉及混沌系統識別技術領域，具體地指一種快速確定不連續系統Lyapunov指數譜的方法。

背景技術

Lyapunov指數是在局部和全局穩定性準則下確定系統穩定性的數值，它表征了系統在相空間中相鄰軌道間收斂或發散的平均指數率。從數學角度，Lyapunov指數是狀態轉移矩陣的特征值，決定了系統吸引子上軌跡無窮小擾動的演化進程。因此，Lyapunov指數被認為是衡量系統對初始條件敏感性的重要指標。所有Lyapunov指數值的和決定了系統在相空間中體積的發散度，所有Lyapunov指數值的和為負值是存在全局穩定吸引子的充要條件，并且表明系統是耗散的；若所有Lyapunov指數均為負值，則吸引子為穩定點；對于n維系統，如果前m個Lyapunov指數等于零而另外n-m個Lyapunov指數均為負值，則吸引子為m維環面；若最大Lyapunov指數為正值，則為混沌運動，若存在不止一個Lyapunov指數為正值，則為超混沌運動。對于保守系統，所有Lyapunov指數值的和為零，若所有Lyapunov指數值的和為正值，則表明系統是全局不穩定的，相軌跡呈指數發散。

Benettin和Shimada等人首先提出了一個基于Oseledets定理計算Lyapunov指數譜的有效算法，Benettin等人對算法進行了改進。近年來，提出了基于系統擾動的數量積和導數計算Lyapunov指數的方法，上述算法可以計算連續系統的Lyapunov指數譜，但是如果系統中存在不連續性則會出現較大誤差或數值溢出現象。

為了確定具有沖擊或干摩擦的機械系統、分段線性特性電振蕩器等不連續系統的Lyapunov指數，可以采用等效的連續函數近似不連續分量、最小二乘陰影法和偽軌道法消除狀態擾動矢量的不連續性等方法，雖然不需要重構相空間和Jacobi矩陣，但容易引起系統動力學特性的質變。Takens和Wolf等人根據時間序列信號重構系統吸引子，提出了計算不連續系統最大Lyapunov指數的算法，多年以來，Rosenstein等人針對該類方法的數據量、穩定性和計算速率等方面進行了評估改進，該類方法的優點是物理意義明顯，便于理解，計算結果不易受到拓撲復雜性的影響，有一定的抗噪能力。近年來，部分學者又提出了映射法、補償矩陣法、完全同步法、克隆動力學法等，這些方法對一些特性類型的不連續系統具有較高的準確性，但算法通用性不強且計算流程較為復雜。

發明內容

本發明的目的就是要提供一種快速確定不連續系統Lyapunov指數譜的方法，該方法以一般性的理論為依據，更具有通用性；另一方面，以經典的數值理論為基礎，對廣泛應用的Jacobi法進行改進，保證了準確性。

為實現此目的，本發明所設計的一種快速確定不連續系統Lyapunov指數譜的方法，包括如下步驟：

步驟1，設定n維不連續系統的初始條件，初始條件包括不連續系統初始運動狀態的初始時間t₀、不連續系統在相空間中的初始位移矢量x₀和初始擾動量i＝1,…,n；j＝1,2,…,T，i表示不連續系統的維數，n為不連續系統的最大維數，j表示不連續系統的運行時刻，T表示不連續系統運行結束的時刻；

步驟2，利用初始位移矢量x₀和初始時間t₀，采用數值方法得到不連續系統吸引子的軌跡