[發(fā)明專利]快速確定不連續(xù)系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)譜的方法

有效

• 申請(qǐng)?zhí)枺?/td>: 202110790553.1
• 申請(qǐng)日: 2021-07-13
• 公開（公告）號(hào): CN113642119B
• 公開（公告）日: 2023-10-27
• 發(fā)明（設(shè)計(jì)）人: 周瑞平;馬召召;楊慶超
• 申請(qǐng)（專利權(quán)）人: 武漢理工大學(xué)
• 主分類號(hào): G06F30/17
• 分類號(hào): G06F30/17;G06F119/14
• 代理公司: 武漢開元知識(shí)產(chǎn)權(quán)代理有限公司 42104
• 代理人: 李滿

1.一種快速確定不連續(xù)系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)譜的方法，其特征在于，它包括如下步驟：

步驟1，設(shè)定n維不連續(xù)系統(tǒng)的初始條件，初始條件包括不連續(xù)系統(tǒng)初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的初始時(shí)間t₀、不連續(xù)系統(tǒng)在相空間中的初始位移矢量x₀和初始擾動(dòng)量i表示不連續(xù)系統(tǒng)的維數(shù)，n為不連續(xù)系統(tǒng)的最大維數(shù)，j表示不連續(xù)系統(tǒng)的運(yùn)行時(shí)刻，T表示不連續(xù)系統(tǒng)運(yùn)行結(jié)束的時(shí)刻；

步驟2，利用初始位移矢量x₀和初始時(shí)間t₀，采用數(shù)值方法得到不連續(xù)系統(tǒng)吸引子的軌跡

步驟3，對(duì)不連續(xù)系統(tǒng)吸引子的軌跡利用差商近似倒數(shù)的方法得到不連續(xù)系統(tǒng)Jacobi矩陣的近似矩陣U_t(x)；

步驟4，將初始擾動(dòng)量T和Jacobi矩陣的近似矩陣U_t(x)相乘得到新的初始擾動(dòng)量并對(duì)新的初始擾動(dòng)量利用Gram-Schmidt正交歸一化獲得相互正交的初始擾動(dòng)量

步驟5，對(duì)相互正交的初始擾動(dòng)量T采用Lyapunov指數(shù)公式估算法得到不連續(xù)系統(tǒng)的整個(gè)Lyapunov指數(shù)譜λ_i。

2.根據(jù)權(quán)利要求1所述的快速確定不連續(xù)系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)譜的方法，其特征在于：所述步驟2中，首先使用j-1時(shí)刻的位移矢量x^(j-1)在不連續(xù)系統(tǒng)中獲得j時(shí)刻的位移矢量x^(j)，再采用數(shù)值方法求解獲得不連續(xù)系統(tǒng)的軌跡

3.根據(jù)權(quán)利要求2所述的快速確定不連續(xù)系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)譜的方法，其特征在于：

所述數(shù)值方法為歐拉方法、自適應(yīng)步長(zhǎng)的龍格-庫(kù)塔方法、有限差分法或雅可比法。

4.根據(jù)權(quán)利要求1所述的快速確定不連續(xù)系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)譜的方法，其特征在于：所述步驟3中求解不連續(xù)系統(tǒng)Jacobi矩陣的近似矩陣U_t(x)的具體方法如下：

首先考慮連續(xù)時(shí)間不連續(xù)系統(tǒng)，所述不連續(xù)系統(tǒng)的解S_t(x)是將初始設(shè)定狀態(tài)x轉(zhuǎn)換為時(shí)間t之后不連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)的映射，U_t(x)為在初始設(shè)定狀態(tài)x處求得軌跡S_t(x)的Jacobi矩陣的近似矩陣：

其中，S_t(x+Δe₁)為在不連續(xù)系統(tǒng)在x+Δe₁狀態(tài)下的解，S_t(x+Δe_n)為不連續(xù)系統(tǒng)在x+Δe_n狀態(tài)下的解，表述不同擾動(dòng)狀態(tài)下不連續(xù)系統(tǒng)的解，e₁,…,e_n是實(shí)數(shù)集Rⁿ中的標(biāo)準(zhǔn)基，U_t(x)的列是S_t(x)關(guān)于后續(xù)狀態(tài)變量的偏導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，所述偏導(dǎo)數(shù)可以表示為軌跡擾動(dòng)量Δ趨近于0時(shí)差商的極限，則可通過以下方式估算矩陣U_t(x)：

其中，Δ為軌跡擾動(dòng)量，在選擇Δ值時(shí)，需要在與Δ成比例的截?cái)嗾`差和取決于實(shí)現(xiàn)中使用數(shù)據(jù)類型的近似誤差之間取得平衡；

利用未擾動(dòng)的初始設(shè)定狀態(tài)x以及沿著相空間的每個(gè)受Δ值擾動(dòng)的某一狀態(tài)x+Δe_i，i＝1,…,n，確定映射S_t(x)的值，進(jìn)而估計(jì)Jacobi矩陣的近似矩陣，其中，Δe_i為正交化的擾動(dòng)量。

5.根據(jù)權(quán)利要求1所述的快速確定不連續(xù)系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)譜的方法，其特征在于：所述步驟4中利用Gram-Schmidt正交歸一化獲得相互正交的初始擾動(dòng)量的方法如下：

其中，表示1維方向j時(shí)刻的擾動(dòng)量，表示1維方向j時(shí)刻的正交化擾動(dòng)量，新的初始擾動(dòng)量是由相互正交的初始擾動(dòng)量引起軌跡S_t(x^(j-1))的擾動(dòng)，即

6.根據(jù)權(quán)利要求1所述的快速確定不連續(xù)系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)譜的方法，其特征在于：所述步驟5的具體實(shí)現(xiàn)方法為：

將相互正交的擾動(dòng)量用于求解不連續(xù)系統(tǒng)相對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)，使用以下公式估算不連續(xù)系統(tǒng)的整個(gè)Lyapunov指數(shù)譜λ_i：

其中，t_T為不同初始擾動(dòng)量對(duì)應(yīng)的時(shí)間。