[發(fā)明專利]基于微分求積法的功能梯度輸流管模態(tài)及響應分析方法

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• 申請日: 2021-02-10
• 公開（公告）號: CN112818494A
• 公開（公告）日: 2021-05-18
• 發(fā)明（設計）人: 戴嘉茵;楊欣;劉永壽
• 申請（專利權）人: 西北工業(yè)大學
• 主分類號: G06F30/18
• 分類號: G06F30/18;G06F30/28;G06F17/13;G06F17/16;G06F113/08;G06F113/14;G06F119/08;G06F119/14
• 代理公司: 西北工業(yè)大學專利中心 61204
• 代理人: 金鳳

1.一種基于微分求積法的功能梯度輸流管模態(tài)及響應分析方法，其特征在于，包括以下步驟：

步驟1：建立兩端固支的功能梯度輸流管道振動控制微分方程；

功能梯度輸流管道外徑為d，壁厚為h，長度為L，內部流體流速為u，以管道軸線方向為x軸，管道切面徑向為z軸；

選擇體積分數(shù)函數(shù)為指數(shù)函數(shù)形式V₁，用無量綱量表示為：

其中，a表示調節(jié)指數(shù)型體積分數(shù)函數(shù)分布的參數(shù)；

功能梯度輸流管道由兩種材料組成，分別為材料1與材料2；材料1與材料2的體積分數(shù)函數(shù)分別用V₀(x)和V_L(x)表示，令V₀(x)+V_L(x)＝1，則功能梯度輸流管道的彈性模量E、密度ρ及軸向熱膨脹系數(shù)α_x分別表示為：

E＝E(x)＝V₀(x)E₀+V_L(x)E_L (2)

ρ＝ρ(x)＝V₀(x)ρ₀+V_L(x)ρ_L (3)

α_x＝ρ(x)＝V₀(x)α_x0+V_L(x)α_xL (4)

其中，E₀和E_L分別表示材料1和材料2的彈性模量，ρ₀和ρ_L分別表示材料1和材料2的密度，α_x0和α_xL分別表示材料1和材料2的熱膨脹系數(shù)；

z軸上管道的受力平衡為：

其中，m_p＝ρ(x)A_p表示功能梯度輸流管道單位長度質量，A_p表示功能梯度輸流管道的橫截面積；w表示管道中性面的橫向位移，P表示表示單位長度上流體作用力，即法向力，由離心力、科氏力和慣性力三項組成，mf＝ρ(x)A_f表示流體單位長度質量，A_f表示流體的橫截面積；Q表示功能梯度輸流管道界面上的剪切力；F＝F(x，t)＝N_x＝N_m+N_t表示軸向力，N_m和N_t分別表示機械作用帶來的軸向力及溫度變化帶來的軸向力；θ表示轉角；

界面右端中點彎矩平衡為：

其中，M表示彎矩；

假設功能梯度輸流管道中的初始軸向力N_m＝0，為由于溫度變化產生的作用在功能梯度輸流管道上的軸向力，v是泊松比，ΔT表示溫度變化量；由Euler-Bernoulli梁理論得到轉角彎矩M為：

其中，I表示管道截面二次矩；

則式(5)表示為：

式(8)即為功能梯度輸流管道的振動控制方程；

根據(jù)兩端固支的邊界條件：

其中，w(x，t)表示橫向位移在軸向坐標為x、時間坐標為t處的取值；

引入無量綱量：

將式(10)帶入式(8)得到簡化后的控制方程為：

此時邊界條件表示為：

Y(0，τ)＝Y(1，τ)＝0

其中，Y(X，τ)表示無量綱橫向位移在無量綱軸向坐標為X、無量綱時間坐標為τ處的取值；

步驟2：構造功能梯度輸流管道的振動控制方程離散格式；

根據(jù)微分求積法，函數(shù)的導數(shù)值能通過函數(shù)值的加權線性和來近似，選取Fung節(jié)點從而獲得相應的加權系數(shù)矩陣：

其中x(i)，i＝1，2，…，N₀時表示內部節(jié)點，i＝N₀+1，…，N表示邊界節(jié)點，N為節(jié)點總數(shù)；

考慮區(qū)間[a，b]上的連續(xù)可微一維函數(shù)f(x)，f(x)的導數(shù)表示為：

其中L_n為線性微分算子，n表示微分階數(shù)，表示加權系數(shù)，x_j為N個互異節(jié)點a＝x₁＜x₂＜…＜x_N＝b中第j個節(jié)點坐標值；

式(15)的精度取決于節(jié)點數(shù)目和加權系數(shù)；一階導數(shù)的加權系數(shù)為：

其中，l_j(x)是拉格朗日插值函數(shù)；

高階權系數(shù)由遞推公式(17)計算：

則功能梯度輸流管道的振動控制方程式(11)改寫為如下離散形式：

其中，下標b代表邊界點，d代表區(qū)間內部點，和分別表示以內部節(jié)點d和邊界節(jié)點b劃分的整體剛度矩陣的分塊矩陣，Y_d和Y_b分別表示內部節(jié)點d及邊界節(jié)點b的無量綱橫向振動位移，和分別表示以內部節(jié)點d和邊界節(jié)點b劃分的整體阻尼矩陣的分塊矩陣，和分別表示以內部節(jié)點d和邊界節(jié)點b劃分的整體質量矩陣的分塊矩陣；

步驟3：固有頻率分析和陣型求解；

設式(18)的解具有如下的形式：

其中是功能梯度輸流管道的振幅，Re(ω)表示系統(tǒng)的振動頻率；

將式(19)代入式(18)，消去后，得到廣義特征值問題：

其中表示系統(tǒng)的質量矩陣，代表系統(tǒng)的阻尼矩陣，是系統(tǒng)的剛度矩陣；

將離散控制方程式(18)寫為如下的等價形式：

將式(19)代入(21)，得到離散的位移固有振型：

即式(20)的二次特征值問題轉化為一次特征值問題；式中ω是系統(tǒng)的復特征值，用來分析穩(wěn)定性，ω的虛部表示各階固有振型的阻尼，ω的實部代表振動的固有頻率；對離散的位移固有振型進行拉格朗日插值擬合即得到連續(xù)系統(tǒng)固有振型；

步驟4：時域分析方法；

將式(18)改寫成如下形式：

其中，

在t-t+Δt的時間區(qū)域內，Newmark積分方法采用下列的迭代格式，即：

其中Φ和χ分別是按積分精度和穩(wěn)定性要求決定的參數(shù)；

Newmark積分方法中的時間t+Δt的位移解答{η}_t+Δt是通過滿足時間t+Δt的運動方程得到的，即由式(26)得到：

由式(25)得到：

將式(27)帶入式(24)，再將得到的式子與式(24)帶入式(26)得到從{η}_t，計算{η}_t+Δt的遞推公式：

由初始條件進行迭代求解得到系統(tǒng)的無量綱位移響應{η}、無量綱速度響應和無量綱加速度響應根據(jù)名義應力法中軸向應力的定義，切應力與節(jié)點位移的關系得到：

其中，M′(x)為x坐標處截面彎矩，Q′(x)為x坐標處截面上的剪切力，I_y為橫截面對中性軸y的慣性矩，z為高度方向上距離中面的距離，b為橫截面在所求切應力處的寬度，為所求切應力處外側部分面積A^*對中性軸的靜矩，即：

以上過程即為功能梯度輸流管道的動力響應分析。