[發明專利]一種新型WENO格式的高精度分數階導數逼近方法

在審

• 申請號: 202011077648.0
• 申請日: 2020-10-10
• 公開（公告）號: CN112307418A
• 公開（公告）日: 2021-02-02
• 發明（設計）人: 張燕;朱君
• 申請（專利權）人: 南京航空航天大學
• 主分類號: G06F17/13
• 分類號: G06F17/13;G06F30/23;G06F30/28;G06F113/08;G06F119/14;G06F111/10
• 代理公司: 南京鐘山專利代理有限公司 32252
• 代理人: 王磊

本發明公開了一種新型WENO格式的高精度分數階導數逼近方法，包括在笛卡爾坐標系下，將分數階微分方程中的Caputo分數階導數分解為經典二階導數和弱奇異積分，并利用新型WENO格式離散經典二階導數，利用高斯?雅可比積分法求解弱奇異積分；對方程中的時間導數使用三階TVD Runge?Kutta離散公式將半離散有限差分格式離散成時空全離散有限差分格式，所述時空全離散有限差分格式為關于時間層的迭代公式，且初始狀態值已知；根據時空全離散有限差分格式，通過迭代公式求出下一時間層的近似值，依次得到終止時刻計算區域內的數值模擬值。該方法能在解的光滑區域達到六階精度，并能在不連續的強間斷區域保持基本無振蕩的性質。

技術領域

本發明屬于計算流體力學工程技術領域，具體涉及一種新型WENO格式的高精度分數階導數逼近方法。

背景技術

高精度有限差分和有限體積WENO格式被用于求解含有不連續點的分段光滑解問題。Liu，Osher和Chan等于1994年率先提出第一種三階有限體積WENO格式，提高了計算結果的利用率并且使得r階精度的ENO格式提高到r+1階數值精度。1996年，Jiang和Shu進一步改善了高階有限差分WENO格式的構造策略，使得數值精度能夠提高到2r-1階數值精度，并設計出新光滑因子和非線性權的構造框架。

由于經典WENO格式的實現過程中，線性權依賴于母模板的空間網格分布，且其求解過程相當復雜。因此，2016年Zhu和Qiu改善了該WENO格式，在維持WENO格式數值精度不減的情況下，隨機選取大于零且總和為一的線性權。這些格式已被成功地用到很多應用領域，特別是包含激波和復雜解結構的問題，比如模擬可壓縮湍流系統和空氣聲學系統等。但以上WENO格式都是集中離散一階空間導數。在2011年，Liu和Shu提出了一種帶二階導數項的六階有限差分WENO(WENO6)格式的空間離散方法。

分數階微分方程的數值求解方法在過去幾十年中得到了迅速發展。如采用直線法和有限差分法求解空間分數階微分方程，利用有限元方法求解空間/時間-空間分數階微分方程，利用譜方法求解時空分數階擴散方程等。然而，對于不連續分數階微分方程的數值求解，研究成果一直很少。在2013年，Deng和Du將WENO格式擴展到解可能是不連續的分數階微分方程。其基本思想是將Caputo導數分解為經典二階導數和弱奇異積分，然后利用WENO6格式離散二階導數和利用高斯-雅可比積分求解弱奇異積分。但WENO6格式在實現過程中，對于線性權和非線性權的計算過程十分復雜繁瑣，并有較大的局限性。

發明內容

本發明所要解決的技術問題是針對上述現有技術的不足，提供一種新型WENO格式的高精度分數階導數逼近方法，能針對解可能是不連續的分數階微分方程問題，進行高精度數值模擬。

為實現上述技術目的，本發明采取的技術方案為：

一種新型WENO格式的高精度分數階導數逼近方法，包括：

步驟1.在笛卡爾坐標系下，將分數階微分方程中的Caputo分數階導數(1＜α≤2)分解為經典二階導數和弱奇異積分，并利用新型WENO格式離散經典二階導數，利用高斯-雅可比積分法求解弱奇異積分；

步驟2.對方程中的時間導數使用三階TVD Runge-Kutta離散公式將半離散有限差分格式離散成時空全離散有限差分格式，所述時空全離散有限差分格式為關于時間層的迭代公式，且初始狀態值已知；

步驟3.根據時空全離散有限差分格式，通過迭代公式求出下一時間層的近似值，依次得到終止時刻計算區域內的數值模擬值。

為優化上述技術方案，采取的具體措施還包括：

上述的步驟1所述分數階微分方程為：