[發明專利]一種柔性軸-盤系統耦合動力學建模及分析方法

有效

• 申請號: 202010953152.9
• 申請日: 2020-09-11
• 公開（公告）號: CN112149245B
• 公開（公告）日: 2022-09-30
• 發明（設計）人: 趙勝男;秦朝燁;褚福磊
• 申請（專利權）人: 清華大學
• 主分類號: G06F30/17
• 分類號: G06F30/17;G06F30/20;G06F119/14
• 代理公司: 北京清亦華知識產權代理事務所(普通合伙) 11201
• 代理人: 廖元秋

1.一種柔性軸-盤系統耦合動力學建模及分析方法，其特征在于，該方法包括以下步驟：

1)建立三維坐標系，具體步驟如下：

1-1)建立慣性坐標系C-XYZ，C-XYZ為右手系，其中X軸指向軸向；將C-XYZ平移到柔性軸-盤系統的圓盤上，得到坐標系C₁-X₀Y₀Z₀，其中，C₁-X₀Y₀Z₀的原點C₁位于盤心處，X₀軸Y₀軸Z₀軸的方向分別與坐標系C-XYZ的X軸Y軸Z軸平行；

1-2)建立局部參考系C₁-X₁Y₁Z₁，C₁-X₁Y₁Z₁由C₁-X₀Y₀Z₀坐標系繞X₀軸逆時針旋轉Ωt角度得到，C₁-X₁Y₁Z₁的原點為C₁，X₁和X₀軸共線，其中，Ω表示系統繞X₀軸旋轉的恒定速度，t表示時間；

1-3)建立圓盤坐標系C₁-X₂Y₂Z₂；C₁-X₂Y₂Z₂是固定在柔性盤上的局部坐標系，是由坐標系C₁-X₁Y₁Z₁繞Y₁軸逆時針旋轉θ_y再繞Z₂軸逆時針旋轉θ_z得到，其中θ_y和θ_z均大于0°，C₁-X₂Y₂Z₂的原點為C₁；

2)建立柔性軸-盤系統的邊界彈簧和連接耦合彈簧；具體步驟如下：

2-1)建立系統左端邊界彈簧和右端邊界彈簧；

采用人工彈簧模擬柔性軸-盤系統的任意邊界條件；其中，采用左端邊界彈簧模擬軸的左端邊界條件，采用右端邊界彈簧模擬軸的右端邊界條件；左端邊界彈簧和右端邊界彈簧均采用兩組彈簧來模擬，一組彈簧沿著Y軸方向布置，另一組彈簧沿著Z軸方向布置，每組彈簧包括一個直線彈簧和一個扭轉彈簧；

2-2)建立軸-盤連接耦合彈簧；

采用人工彈簧模擬軸-盤之間的連接耦合關系，該彈簧記為軸-盤連接耦合彈簧，布置方式為在軸和盤的結合面上連續布置形成整圈的多組彈簧，每組彈簧包括一個直線彈簧和一個扭轉彈簧；

3)建立柔性軸-盤系統的能量方程，具體包括：

3-1)建立柔性軸的應變能表達式如下：

其中，E_S為柔性軸的彈性模量，L_S為柔性軸的長度，y_S表示平行于Y軸方向的柔性軸的彈性位移，z_S表示平行于Z軸方向的柔性軸的彈性位移，I_Sy表示柔性軸截面對Y軸的慣性矩；

3-2)建立柔性軸的動能表達式如下：

其中，ρ_S為柔性軸的密度，A_S為柔性軸的截面積，θ_Sy表示柔性軸平行于Y軸方向的角位移，θ_Sz表示柔性軸平行于Z軸方向的角位移；

3-3)建立柔性盤的總應變能表達式如下：

其中，D_D是柔性盤的抗彎剛度，表達式為E_D為柔性盤的彈性模量，h_D為柔性盤的厚度，ν為泊松比，是拉普拉斯算子，表達式為u_D為柔性盤的彈性變形，σ_r和σ_θ分別為徑向應力和切向應力；

3-4)建立柔性盤的動能表達式如下:

其中，ρ_D為柔性盤的密度，M_D為柔性盤的質量，J_Dx為柔性盤截面對X軸的慣性矩，y_D是柔性盤位置處平行于Y軸方向的柔性軸的彈性位移，z_D是柔性盤位置處平行于Z軸方向的柔性軸的彈性位移；

3-5)建立軸-盤連接耦合彈簧的勢能表達式如下：

其中，k_Du，0為連接耦合直線彈簧的剛度，k_Dtu，0為連接耦合扭轉彈簧的剛度，u_DRi為柔性盤內徑處的彈性變形；

3-6)建立左端邊界彈簧的勢能表達式如下：

其中，為左端邊界處平行于Y軸方向的直線彈簧的剛度，為左端邊界處平行于Z軸方向的直線彈簧的剛度，為左端邊界處平行于Y軸方向的扭轉彈簧的剛度，為左端邊界處平行于Z軸方向的扭轉彈簧的剛度，|_x＝0表示左端邊界處柔性軸的彈性變形，故y_b|_x＝0和z_b|_x＝0分別表示左端邊界處平行于Y軸和Z軸方向的柔性軸的直線彈性位移，y_bt|_x＝0和z_bt|_x＝0分別表示左端邊界處平行于Y軸和Z軸方向的柔性軸的扭轉彈性位移；

3-7)建立右端邊界彈簧的勢能表達式如下：

其中，為右端邊界處平行于Y軸方向的直線彈簧的剛度，為右端邊界處平行于Z軸方向的直線彈簧的剛度，為右端邊界處平行于Y軸方向的扭轉彈簧的剛度，為右端邊界處平行于Z軸方向的扭轉彈簧的剛度，表示右端邊界處柔性軸的彈性變形，故和分別表示右端邊界處平行于Y軸和Z軸方向的柔性軸的直線彈性位移，和分別表示右端邊界處平行于Y軸和Z軸方向的柔性軸的扭轉彈性位移；

4)利用步驟3)的結果，建立柔性軸-盤系統的總動能方程和總勢能方程；

其中，柔性軸-盤系統的總動能方程為：

T＝T_S+T_D

柔性軸-盤系統的總勢能方程為：

5)對步驟4)得到的總動能方程和總勢能方程分別進行離散，得到離散化的總動能和總勢能；具體步驟如下：

5-1)采用如下方式對位移進行離散：

y_S＝Φ_SQ_y

z_S＝Φ_SQ_z

u_D＝Φ_DQ_D1cosθ+Φ_DQ_D2sinθ

其中，Φ_S和Φ_D分別為柔性軸和柔性盤的允許函數，Q_y為y_S對應的廣義變量，Q_z為z_S對應的廣義變量，Q_D1為u_D對應的第一廣義變量，Q_D2為u_D對應的第二廣義變量；

5-2)采用Gram-Schmidt正交多項式作為柔性軸和柔性盤的容許函數；

5-3)采用如下方式對中間變量進行離散：

θ_y＝Φ_SD′Q_y，θ_z＝Φ_SD′Q_z

θ_Sy＝Φ_S′Q_y，θ_Sz＝Φ_S′Q_z

其中下標L_D表示在柔性盤位置計算的值，′表示對時間求導；

5-4)將離散化的變量y_S、z_S、y_D、z_D、u_D、θ_y、θ_z、θ_Sy、θ_Sz帶入步驟4)的總動能方程和總勢能方程，分別得到離散化的總動能和總勢能；

6)利用步驟5)得到的離散化的總動能和總勢能，應用拉格朗日方程，建立起任意邊界條件下柔性軸-盤系統的耦合動力學模型；

其中，拉格朗日方程表達式為：

其中，L(＝T-U)為拉格朗日函數，其中，L＝T-U為拉格朗日函數，q＝[Q_y Q_z Q_D1 Q_D2]為廣義坐標，為廣義速度，F為廣義力；

柔性軸-盤系統的耦合動力學模型為：

其中，M，G，K分別為質量、陀螺和剛度矩陣，具體表達式分別如下：

dR＝R_o-R_i

7)選定待分析柔性軸-盤系統的幾何參數L_S、R_i、R₀、h_D、L_D，材料參數ρ_S、E_S、ρ_D、E_D、ν，邊界條件參數和連接耦合條件參數k_Du，0、k_Dtu，0，將上述參數代入步驟6)得到動力學模型，求解該模型得到該系統的固有頻率和振型。