[發明專利]一種三次球B樣條的延拓方法

在審

• 申請號: 202010942901.8
• 申請日: 2020-09-09
• 公開（公告）號: CN112233203A
• 公開（公告）日: 2021-01-15
• 發明（設計）人: 武仲科;劉欣悅;王醒策
• 申請（專利權）人: 北京師范大學
• 主分類號: G06T11/20
• 分類號: G06T11/20
• 代理公司: 北京中海智圣知識產權代理有限公司 11282
• 代理人: 曾京京

1.一種三次球B樣條的延拓方法，其特征在于，包括以下步驟：

步驟1，計算延拓段的球B樣條曲線的節點矢量和確定前三個控制球的表達式：

步驟1.1，設給定的球B樣條曲線的表達式為B(t)，延拓目標球為R，延拓段的球B樣條曲線的參數形式為下式(1)：

式中，是B樣條基函數，Q_i是4維向量，其中前3維表示控制球的球心位置，第4維表示控制球的半徑；

步驟1.2，計算延拓段的球B樣條曲線的節點矢量，設延拓段球B樣條曲線的控制球個數為n+1，初次計算時，n＝3，最后一個控制球為延拓目標球R。延拓段球B樣條曲線的節點矢量設置為其中，均勻分布；

步驟1.3，確定延拓段的球B樣條曲線的前三個控制球的表達式：

步驟1.3.1，設有兩條參數曲線，第一條參數曲線為B(t),t∈[0,1]，第二條參數曲線為若第二條參數曲線在第一條參數曲線的末端B(1)與其光滑銜接，則滿足如下式(2)的G²連續條件：

式中，自由度α是大于0的實數，自由度β是任意實數；

步驟1.3.2，當B(t)和為兩端夾緊(clamped)形式的球B樣條時，通過將的一階導和二階導代入上式(2)，可以得到的前三個控制球Q₀,Q₁,Q₂關于G²連續條件中的自由度α,β的表達式(3)、(4)、(5)：

Q₀＝B(1)……(3)，

步驟2，確定三次球B樣條的矩陣表達，對于在參數區間球B樣條上的任意一點通過如下公式(6)進行計算：

式中，

步驟3，根據三次球B樣條的矩陣表達推導出延拓段球B樣條的應變能的顯式公式；

對于任意形式的參數曲線應變能的計算如下式(7)：

其中，||·||表示歐幾里得范數，當為球B樣條時，即根據積分的累加性，推導出下式(8)；

根據球B樣條的矩陣表達式(6)，推導出下式(9)、(10)：

式中，

將上式(10)展開為多項式形式，得到下式(11)：

式中，是矩陣N⁴(i)第3行第3列的元素，是N⁴(i)第3行第4列的元素，以此類推；

對上式(11)進行積分得到下式(12)：

將展開并進行整理，即得到的應變能的顯式計算公式(13)：

式中，Q_i是包括控制球的球心坐標以及半徑的四維向量，是由三次球B樣條的系數矩陣確定的常數；

步驟4，求解延拓段球B樣條的參數形式時，應保證所有控制球的半徑不為負。因此，求解具有最小應變能的延拓段球B樣條即求解以下帶約束的優化問題(14)：

s.t.-(a_iα²+b_iα+c_iβ+d_i)≤0,i＝1,2

-(r_i-∈)≤0,i＝3,……,n-1

……(14)，

式中，∈為10^-5，a_i，b_i，c_i，d_i是由控制球的半徑的G²連續性確定的常系數；

利用KKT條件求解以上帶有約束條件的優化問題，設下式(15)：

帶有約束條件的優化問題中的拉格朗日方程定義為下式(16)：

求解以下KKT方程組(17)得到上述帶約束的優化問題的最優解：

步驟5，將求得的自由度的解代入延拓段球B樣條的前三個控制球的表達式(3)、(4)、(5)中，得到延拓段球B樣條的前三個控制球的解；

步驟6，根據獲得的節點矢量以及控制球的解，由公式(13)計算延拓段球B樣條的應變能；

步驟7，增加延拓曲線的控制球個數，重復計算步驟1-步驟6，直到得到延拓段球B樣條的應變能不再下降。

2.根據權利要求1所述的三次球B樣條的延拓方法，其特征在于，步驟3所述的根據三次球B樣條的矩陣表達推導出延拓段球B樣條的應變能的顯式公式中，是由三次球B樣條的系數矩陣中的元素確定，全部計算式如下所示：