[發明專利]電磁暫態仿真中基于微分求積法和V變換的矩陣計算方法

有效

• 申請號: 202010871833.0
• 申請日: 2020-08-26
• 公開（公告）號: CN112069668B
• 公開（公告）日: 2023-06-30
• 發明（設計）人: 張靜;葉婧
• 申請（專利權）人: 三峽大學
• 主分類號: G06F30/20
• 分類號: G06F30/20;G06F17/12;G06F17/13;G06F17/16;G06F111/10;G06F111/04
• 代理公司: 宜昌市三峽專利事務所 42103
• 代理人: 吳思高

1.一種用于電磁暫態仿真中的基于微分求積法和V變換的矩陣計算方法，其特征在于包括以下步驟：

步驟1：電磁暫態過程是由磁場和電場的變化引起電壓和電流的變換過程，由一組帶有初值的微分方程表示如下：

其中：x∈R^m×1，x為系統中狀態變量的集合，g(t)與時間變量有關，x₀則為t＝0時刻狀態變量x的初值；

微分求積法如下：

若函數f(x)在區間上光滑可導，則f(x)在網格點c_i,i∈(1,s)上的導數可由該區間上所有網格點處的函數值的線性加權和表示，即：

令：g_ij∈G????(3)

其中：f⁽¹⁾(c_i),i∈(1,s)表示函數f(x)在該區間上任意網格點處的導數值，g_ij為微分求積法加權系數，f(c_j),j∈(1,s)表示函數f(x)在區間任意網格點處的函數值，s為該區間上的網格點數，即內點個數；

經推導，微分求積法的數學表達形式為：

式中，t_n為起始時刻，t_n+1為終點時刻，x為系統中狀態變量的集合，且x∈R^m×1，x_n為t_n時刻狀態變量x的值，x_n+1為t_n+1時刻待求的狀態變量的值，表示該區間上在任意網格點c_i處狀態變量的值，h為仿真步長，a_ij為加權系數，定義A≡[a_ij]，且A＝G^-1；

用微分求積法離散式(1)，并寫為矩陣形式為：

步驟2：利用A＝G^-1，同等變換步驟1中的式(5)可得：

式(6)中，G為微分求積法加權系數矩陣，I_m為m維單位矩陣，e為s維單位列向量，x_n為t_n時刻狀態變量x的值，h為仿真步長；

式(6)中，數學表達式解釋如下：

當式(1)描述為非線性問題時，定義：

式(7)中：表示該區間上在網格點c_k處狀態變量的值；

用牛頓迭代法求解離散后的矩陣方程式(6)，并將s個內點的平均值向量作為雅克比矩陣的初值，得：

式(8)中：

式中：G為微分求積法加權系數矩陣，I_m為m維單位矩陣，h為仿真步長，I_s為s維單位矩陣，ξ為迭代次數，表示迭代中內點第ξ次平均值，表示第ξ+1次迭代中在網格點c_k上狀態變量x的值；

式(9)中：

步驟3：微分求積法的V變換形式為：

G＝VA_s^-1V^-1????(10)

式(10)中，G為微分求積法系數矩陣，V為范德蒙德矩陣，V^-1為范德蒙德矩陣的逆矩陣

令：

式(11)中，V^-1為范德蒙德矩陣的逆矩陣，I_m為m維單位矩陣，且

將式(9)和式(10)運用到步驟2的式(8)中,得：

式中：

式(13)中，I_m為m維單位矩陣，I_s為s維單位矩陣，ξ為迭代次數，

步驟4：

將步驟3得到的式(12)展開并且分塊可得：

式(15)中，I_m為m維單位矩陣，ξ為迭代次數；

式(12)最終可寫為：

觀察可得，H₂為下三角矩陣，因此只需要進行簡單的前代運算就能夠將y₂表示成y₁的線性表達式，而不需要進行復雜的三角分解，即：

y₂＝φ(y₁)；????????(19)

將式(19)帶入H₃y₁+H₄y₂＝r₂中，最終將式(18)轉換為只含y₁的代數方程組，即：

Q∈R^m×m????(21)

Q為計算得出的系數矩陣；

利用LU分解，解出y₁，通過y₂＝φ(y₁)解出y₂，最后反解出△x；通過判斷是否小于收斂精度，小于收斂精度則計算下一個步長，大于收斂精度，則需要按照內點平均值作為初值方式進行下一次迭代，直到收斂到精度范圍內則開始進行下一個步長的計算；

步驟5：當式(1)描述的問題為線性時變問題時，即：

f(x)＝U_tx??????(22)

U_t為只與時間變量有關的系數矩陣，定義：

式(23)中，U(t_n+c_ih),i∈(1,s)為t_n+c_ih時刻系數矩陣的值，c_i為網格點，h為仿真步長；

令：

式(24)中，V^-1為范德蒙德矩陣的逆矩陣，I_m為m維單位矩陣，

利用微分求積法離散線性時變微分方程，并帶入U可得：

其中：

式(27)中，V^-1為范德蒙德矩陣的逆矩陣，I_m為m維單位矩陣；

式(28)中，G為微分求積法加權系數矩陣，I_m為m維單位矩陣，e為s維單位列向量，x_n為t_n時刻狀態變量x的值，h為仿真步長，G(t)＝[g^T(t_n+c₁h)?…?g^T(t_n+c_sh)]^T；

對式(25)進行矩陣分塊處理，得：

式(24)最終寫為：

H₂為下三角矩陣，因此只需要進行簡單的前代運算就能夠將y₂表示成y₁的線性表達式，即：

將式(33)帶入H₃y₁+H₄y₂＝r₂中，最終將式(32)轉換為只含y₁的代數方程組，即：

Q∈R^m×m????(35)

利用LU分解，解出y₁，通過y₂＝φ(y₁)解出y₂，最后利用式(24)反解出則開始進入下一個步長的計算；

輸電線路L首端與電源，電阻R_s，電感L_s串聯，輸電線路末端接有一非線性負載，由定電阻R_L和非線性電感L_L組合表示，L_L中磁鏈φ與i_L的數學關系為：φ＝atanhbi_L；線路單位長度的電阻，電感，對地電容分別為R₀，L₀，C₀；

每段輸電線路的電磁暫態過程由下式表示：

式(56)中，L₀，R₀和C₀分別為線路單位長度的電感，電阻和電容；u_k(t)、u_k+1(t)分別為輸電線路等值模型里節點k的電壓和節點k+1的電壓，i_k-1(t)、i_k(t)分別為輸電線路注入節點k的電流以及從節點k流出到輸電線路的電流；

仿真總時長為0.004秒，t＝0時刻合閘；輸電線路首端末端約束方程為：

式(57)中，L_S與R_s為輸電線路串聯電感和電阻，i₀為電源注入輸電線路的電流，v₁為輸電線路L首端電壓，e(t)為電源電壓；v_N+1為輸電線路L末端節點電壓，i_N+1為從末端節點流入到負載的電流，R_L為負載的等值電阻，i_L為流過負載中非線性部分的電流；L_L為負載中非線性部分的電感，a和b均為常數系數；

將輸電線路方程和首尾兩端約束方程聯立起來，最終含非線性負載的輸電線路電磁暫態數學模型如下式所示：

x為系統狀態變量，U_x為含有狀態變量的系數矩陣；g(t)為系統中僅與時間相關的變量。