[發明專利]一種融合多尺度鄰域信息的三維幾何模型形狀映射方法

在審

• 申請號: 202010155747.X
• 申請日: 2020-03-09
• 公開（公告）號: CN111340930A
• 公開（公告）日: 2020-06-26
• 發明（設計）人: 孔德慧;孫文勝;王少帆;王立春;尹寶才
• 申請（專利權）人: 北京工業大學
• 主分類號: G06T15/10
• 分類號: G06T15/10;G06T17/10;G06K9/62
• 代理公司: 北京思海天達知識產權代理有限公司 11203
• 代理人: 張慧

1.一種融合多尺度鄰域信息的三維幾何模型形狀映射方法，其特征在于:通過以下技術方案實現：

輸入為源形狀和目標形狀的網格模型,首先分別提取源形狀和目標形狀的拉普拉斯矩陣的特征向量作為特征函數；接下來對三維模型的頂點提取鄰域特征；在多個尺度的鄰域范圍內，可以得到多個不同的鄰域特征，并使用求解得到不同尺度下的基函數空間下的映射矩陣，然后進行融合；最后還原得到源形狀與目標形狀的點對點映射關系；具體步驟如下：

步驟一：計算源形狀與目標形狀的基于拉普拉斯變換的鄰域特征表示

首先，計算源形狀和目標形狀的多尺度鄰域特征矩陣其中m，n為源形狀和目標形狀的頂點數，k為拉普拉斯基函數的個數，h代表鄰域特征的不同尺度；源形狀與目標形狀的多尺度鄰域特征矩陣分別由拉普拉斯特征函數與鄰域表示系數矩陣構成，即：

以源形狀為例說明拉普拉斯特征函數與鄰域表示系數矩陣的計算方式；

拉普拉斯特征函數是基于拉普拉斯貝爾特拉米算子(Laplace–Beltramioperator，LBO)得到；對任何定義在源形狀上的函數f，離散LBO作為傳統拉普拉斯算子在黎曼流形上的推廣，定義為：

即υ_i處的函數值與其他頂點函數值f(υ_j)之差的線性組合，其中m為υ_i的相鄰點數目，d_ij表示邊[υ_i，υ_j]的權重，其廣泛采用的公式為如下的余切公式:

其中是υ_iυ_k與υ_jυ_k構成的夾角，υ_iυ_j是兩個三角形Δυ_iυ_jυ_k和Δυ_jυ_iυ_l的公共邊；得到系數矩陣之后，取的前k個最大特征值對應的特征向量構成拉普拉斯特征函數的行；

鄰域表示系數矩陣是通過頂點坐標與相鄰點坐標的表示系數計算得到；具體地，記表示頂點υ_i的尺度h下的鄰域點索引集，求解如下的頂點坐標表示系數：

其中為對應頂點的三維坐標，表示h尺度下形狀的矩陣W的第i行第j列元素；通過對取頂點υ_i的不同大小的鄰域點集，公式(4)能夠獲得不同尺度下的鄰域特征；其最優解為：

其中表示矩陣W的第i個行向量，i₁，...，i_t為υ_i的鄰域點索引，即1為元素全是1的m維列向量；

最終，源形狀的多尺度鄰域特征矩陣由拉普拉斯特征函數與鄰域表示系數矩陣相除構成，即：

類似地，目標形狀的多尺度鄰域特征矩陣也由相應的拉普拉斯特征函數與鄰域表示系數矩陣相除構成，即：

步驟二：建立融合多尺度鄰域的形狀映射模型

融合多尺度鄰域特征的形狀映射模型的目標函數Ψ如下：

Ψ＝Ψ₁+αΨ₂+βΨ₃ (8)

其中，Ψ₁表示形狀基變換約束，Ψ₂表示交換性約束，Ψ₃表示形狀映射融合約束，α，β分別為權重系數；

形狀基變換約束Ψ₁：

對步驟一中，基函數下的特征表示進行約束，形狀基變換約束為：

其中表示第h個鄰域尺度下的映射矩陣；

交換性約束Ψ₂：

為保持形狀映射在兩個幾何模型上的對稱性，形狀映射的交換性約束如下：

其中，分別表示源形狀和目標形狀的系數矩陣和的特征值構成的對角陣；

形狀映射融合約束Ψ₃

在H個鄰域尺度下得到的多個映射矩陣，需要對其進行融合，得到融合映射矩陣融合約束如下：

總體的目標函數即如式(12)所示：

步驟三：融合多尺度鄰域形狀映射模型求解

模型的求解過程如下；通過引入輔助變量

則(12)式等價于：

首先對y_h、S和X_h進行隨機初始化，然后通過以下步驟進行交替求解直到收斂；

(1)固定y_h和S，求解X_h；即計算目標函數關于X_h的梯度：

令解得：

(2)固定S和X_h，求解關于y_h的子問題；其閉合解為：

(3)固定y_h和X_h，求解S；計算目標函數關于S的梯度：

令解得：

得到映射矩陣S后，由于該矩陣為形狀特征在基函數空間下的映射矩陣，不能直接找到源形狀和目標形狀的點與點之間的對應關系，需要經過間接計算得到；從形狀M取一點a，可以認為存在一個指示函數f，當且僅當頂點υ_i＝a時，f(υ_i)＝1，對于其他點，f(υ_i)＝0；使用形狀上的特征函數對f進行變換，然后利用映射矩陣S可以直接得到目標形狀上的指示函數g在N形狀及函數空間上的結果；由于N上的特征函數即拉普拉斯矩陣的特征向量已知，能夠近似找到最接近a的點a^*，因此能夠還原形狀之間的點對點映射。