[發明專利]一種倒立擺自適應迭代學習反演控制方法

有效

• 申請號: 201910328490.0
• 申請日: 2019-04-23
• 公開（公告）號: CN110134011B
• 公開（公告）日: 2022-01-11
• 發明（設計）人: 陳強;施卉輝;陳凱杰;孫明軒
• 申請（專利權）人: 浙江工業大學
• 主分類號: G05B13/04
• 分類號: G05B13/04
• 代理公司: 杭州斯可睿專利事務所有限公司 33241
• 代理人: 王利強

1.一種倒立擺自適應迭代學習反演控制方法，其特征在于，所述控制方法包括以下步驟：

步驟1，建立倒立擺的動態模型，初始化系統狀態、采樣時間以及控制參數，過程如下：

1.1倒立擺的動態模型表達形式為：

其中x_1,k，x_2,k分別是角度位置和角速度，k是迭代次數；分別是角度位置和角速度的一階導數；g是重力加速度；m_c，m是分別是小車和倒立擺的質量；l是倒立擺長度的一半；u_k表示控制輸入，sat(u_k)表示受飽和限制的控制輸入，其表達形式為：

其中u_m是u_k的最大值，|u_k|表示u_k的絕對值，sgn(u_k)表示u_k的符號函數；

1.2定義未知函數f(x_k)和b(x_k)，將式(1)寫成以下形式：

其中是未知的光滑函數；x_k＝[x_1,k,x_2,k]^T；從b(x_k)的表達式中得到b(x_k)＞0；

步驟2，逼近和估計輸入飽和項，其過程如下：

采用以下的雙曲正切函數逼近輸入飽和函數：

其中tanh(·)表示雙曲正切函數，e^(·)表示以自然常數e為底的指數函數；

由此得

sat(u_k)＝g(u_k)+d(u_k) (5)

其中d(u_k)是一個有界函數，滿足

|d(u_k)|＝|sat(u_k)-g(u_k)|≤u_m(1-tanh(1))＝D (6)

其中D是一個未知正數，|d(u_k)|表示d(u_k)的絕對值；

通過微分中值定理計算，得出

其中u_ξ＝ξu_k+(1-ξ)u₀，u₀∈[0,u_k]；0＜ξ＜1是一個常數；是u_k＝u_ξ時對g(u_k)的偏導，取u₀＝0，g(u₀)＝0；則公式(7)寫為：

將公式(8)代入到公式(5)中，得

步驟3，計算系統跟蹤誤差，其過程如下：

定義系統跟蹤誤差z_1,k如下：

z_1,k＝x_1,k-x_d (10)

其中x_d是給定的光滑有界的參考軌跡；

對公式(10)求導得到：

其中是系統跟蹤誤差的一階導數，是參考軌跡的一階導數；

步驟4，定義誤差變量，設計虛擬控制器，其過程如下：

4.1定義誤差變量z_2,k為：

z_2,k＝x_2,k-α_1,k (12)

其中，α_1,k是設計控制器過程中的虛擬控制器；系統初始條件為：z_1,k(0)＝0，z_2,k(0)＝0；

對式(12)進行求導，得到：

其中是誤差變量的一階導數，是設計控制器過程中虛擬控制器的一階導數；

將式(3)，式(9)代入式(11)和式(13)中，得到：

由此，計算：

其中

由于0＜g_uξ≤1，則必定存在一個正的常數g_N使得成立；然后，得出是有界的，并且

其中表示的絕對值，ρ_D是一個大于零的常數；

4.2為逼近函數設計以下神經網絡：

定義W^*為神經網絡理想權重矩陣，則寫成以下形式：

其中W^*T＝W^*，是神經網絡的輸入向量，是參考軌跡的二次導數，ε_k是神經網絡的逼近誤差且滿足|ε_k|≤σ_N，|ε_k|表示ε_k的絕對值，σ_N是|ε_k|的上界，是一個正的常數，Φ(X_k)＝[φ₁(X_k),φ₂(X_k),…,φ_m(X_k)]^T是神經網絡的基函數，m為神經元的個數，φ_i(X_k)的形式如下所示：

其中ι_i和υ_i分別是高斯函數的中心和寬度，i＝1,…,m，其中exp(·)是指數函數；

4.3設計神經網絡權值和估計誤差更新律：

其中γ₁，γ₂，β₁，β₂都是合適的參數，分別表示在第k和k-1次迭代時對W^*和σ_N的估計，是和的一階導數，δ是一個正的常數；給定

4.4設計虛擬控制器和實際控制器，如下所示：

其中c₁，c₂是正常數，

4.5把式(18)，式(22)和式(23)代入到式(15)和式(16)中，得：

其中

步驟5，構造李雅普諾夫函數V_k(t)與類李雅普諾夫函數E_k(t)，分析系統性能，其過程如下所示：

其中

對V_k(t)求導，并將式(24)，(25)代入，得到：

其中和分別是和的一階導數；

將(17)代入(28)，得到：

其中|z_2,k|表示z_2,k的絕對值；

然后，寫為：

其中

將(20)，(21)代入(30)，得：

采用雙曲正切函數的以下性質：

0≤|z_2,k|-z_2,ktanh(z_2,k/δ)≤0.2785δ； (32)

將式(32)代入(31)，得到：

對式(27)求導，得到：

在初始迭代k＝0時，和則由此得到：

對式(35)兩側同時進行積分運算，得到：

可以看出在[0,T]中是有界的；在初始條件的選擇下，V₀(0)也是有界的；得出E₀(t)是有界的，即

E_k(t)在第k次迭代的差分形式為：

其中V_k-1(t)和E_k-1(t)分別是第k-1次的李雅普諾夫函數和類李雅普諾夫函數；

將式(33)代入(38)中，得到

結合得到：

其中T表示倒立擺系統的迭代周期；c_m＝min{c₁,c₂}表示取c₁，c₂的最小值；表示一個正的常數；z_r,k，r＝1,2表示系統跟蹤誤差和誤差變量的總稱；

對ΔE_k(T)有限迭代次數的累加得到：

其中E_k(T)表示第k次迭代，t＝T時的類李雅普諾夫函數；E₀(T)表示k＝0，t＝T時的類李雅普諾夫函數；

將(40)代入到(41)，寫成：

從(42)得出：

其中表示z_r,k，r＝1,2的二范數形式；

則判定對于任意給定常數都存在一個正的有限迭代次數k₀，對于k＞k₀，使得成立；也就是說，系統跟蹤誤差z_1,k在二范數的意義上在有限迭代次數內收斂到零附近的領域內。