[發明專利]小樣本下裝備平均修復時間的非統計估計模型

在審

• 申請號: 201910246874.8
• 申請日: 2019-03-29
• 公開（公告）號: CN110008568A
• 公開（公告）日: 2019-07-12
• 發明（設計）人: 柯宏發;祝冀魯;吳紅樸;侯興明;陳小衛;李巧麗
• 申請（專利權）人: 中國人民解放軍戰略支援部隊航天工程大學
• 主分類號: G06F17/50
• 分類號: G06F17/50
• 代理公司: 洛陽市凱旋專利事務所 41112
• 代理人: 陸君

1.一種小樣本下裝備平均修復時間的非統計估計模型，其特征是：其步驟如下：

1)小樣本數據的離散GM(1,1)模型生成

在武器裝備試驗活動中，由于試驗條件和費用的限制，很多測試指標得到的數據樣本量是很小的，數據集合描述為

X＝{x(t)；t＝1,2,…,N} (1)

式中x(t)為第t個測量數據，N為測量數據總數；通常情況下N≤(5～10)，難以確定該指標數據的概率分布特征，即使假設其服從正態分布，參數估計的置信度也難以保證；灰色系統理論認為，這N個小樣本數據所攜帶的信息不足以確定測試指標的真實狀態和數量關系，但是已經部分地反映了測試指標的真實狀態，通過“已知部分”推斷“未知部分”正是灰色系統技術與方法的優勢；本部分介紹離散GM(1,1)模型及其求解算法，以及基于離散GM(1,1)模型的數據生成流程；

1.1離散GM(1,1)模型，假設原始數據列為X⁽⁰⁾＝((x⁽⁰⁾(1),…,x⁽⁰⁾(n))，其中x⁽⁰⁾(k)≥0(k＝1,…,n)；定義X⁽⁰⁾的1-AGO序列為X⁽¹⁾＝(x⁽¹⁾(1),…,x⁽¹⁾(n))，其中k＝1,2,…,n；則稱

x⁽¹⁾(k+1)＝β₁x⁽¹⁾(k)+β₂ (2)

為GM(1,1)模型的離散形式，簡稱離散GM(1,1)模型；式中參數β₁、β₂為待估計參數；

上述離散GM(1,1)模型中待估計參數表示為參數列運用最小二乘法即可得到

其中Y、B分別為

令初始條件為x⁽¹⁾(0)＝x⁽⁰⁾(1)，從而得到離散GM(1,1)模型的時間響應序列為

根據其累減還原式可以得到X⁽⁰⁾的時間響應序列為

式中k＝1,2,…,n；在裝備維修時間的實際建模過程中，取初始序列為X⁽¹⁾，其1階累減生成序列為X⁽⁰⁾，建立離散GM(1,1)模型直接對X⁽¹⁾進行模擬；

1.2基于離散GM(1,1)模型的自助抽樣生成，

將自助抽樣生成的樣本量選為：N+A＝30；

自助抽樣生成的基本原理是從原始數據集合X中的概率放回地隨機抽取1個數據，記為x₁(1)，該抽取過程重復m次即可得到第1個自助樣本，記為

X₁＝{x₁(1),x₁(2),…,x₁(m)} (7)

根據離散GM(1,1)模型的建模數據需求，確定m＝5～8；上述獲得自助樣本的整體抽取過程連續重復A次，則會得到A個自助再抽樣樣本，再抽樣樣本集合記為

Y＝{X₁,X₂,…,X_i,…X_A} (8)

式中X_i＝{x_i(1),x_i(2),…,x_i(m)}；

針對自助樣本X_i建立離散GM(1,1)模型，對其時間響應序列進行一次累減生成，即可得到自助樣本X_i中第m+1個預測值，記為

于是得到自助再抽樣樣本集合，即新的裝備維修時間數據集合為

X＝{x(1),…,x(N),x(N+1),…,x(N+A)} (10)

式中x(N+1),…,x(N+A)分別為A個自助再抽樣樣本的離散GM(1,1)模型預測值；

基于離散GM(1,1)模型的自助抽樣生成過程通過對原始數據序列的隨機抽樣挖掘，其中自助再抽樣樣本集合X依然不能全面反映測試指標的真實狀態，在本質、性質上還是“部分已知、部分未知”地實現對測試指標真實狀態的認知；和原始N個數據所表征的“部分已知、部分未知”相比，前者的“已知部分”要遠遠地多于后者，這也是自助抽樣挖掘的目的和作用；

2)基于未確知有理數的參數估計

2.1未確知有理數的構造及優化，針對上述自助再抽樣樣本集合X，構造一個k(k＜N+A)階未確知有理數對這N+A個數據進行整體上的描述；

首先記

a＝min{x(1),…,x(N),x(N+1),…,x(N+A)} (11)

b＝max{x(1),…,x(N),x(N+1),…,x(N+A)} (12)

然后區間[a,b]進行某種劃分，以小區間的中間值x_i(a≤x_i≤b)為中心，并以λ為控制半徑確定一數據領域，統計N+A個數據在該領域出現的頻率，則得到表達式

式中φ(x)定義為可信度分布密度函數，α_i為自助抽樣數據取值x_i時的可信度，且有0＜α_i＜1；表示總可信度，且有0＜α≤1；簡便地，將上述過程的未確知有理數記為[[a,b],φ(x)]；

通常對區間[a,b]進行2k個等值劃分，使得自助抽樣數據值x_i的領域控制半徑均相等，則得到x_i(i＝1,2,…,k)的表達式為

可信度α_i則用自助抽樣數據在x_i為中心的控制領域內出現的頻率表示，即有

式中β_i表示在x_i為中心、為半徑的控制領域內的自助抽樣數據個數；

從上述構造過程知道，未確知有理數的階數k決定了數據領域的控制半徑，表征了對自助再抽樣樣本集合X刻畫的精細程度，階數k越大，刻畫越精細；但是階數k取值并非越大越好，可信度α_i表明取值x_i對樣本集合X刻畫的不確定性程度，當階數k取值趨近于N+A時，刻畫的不確定性程度就越來越大；

信息論的熵常常被用來刻畫不確定性，此處的可信度熵同樣用來反映對樣本集合X刻畫的不確定性程度，基于可信度熵的最大值就能夠確定未確知有理數的最佳階數；

針對上述k階未確知有理數的可信度熵

令則k^*即為所求的未確知有理數最佳階數；此時將k^*階未確知有理數A記為A＝[[a,b],φ(x)]，其中

2.2基于未確知有理數的點估計，對上述優化的k^*階未確知有理數進行有關處理，即可得到自助再抽樣樣本的點估計和區間估計；針對該k^*階未確知有理數A，稱下列一階未確知有理數

為其數學期望，也稱E(A)為未確知期望或均值；

用方差D(A)來描述未確知有理數A到E(A)的離散程度，即

于是，有自助再抽樣樣本的點估計值為其估計精度為

綜合未確知期望的可信度，則定義自助再抽樣樣本點估計的置信度為

2.3基于未確知有理數的區間估計，采用常用標準正態分布上側β分位點：

β：0.001、0.005、0.010、0.025、0.050、0.100、0.200；

u(β)：3.090、2.576、2.327、1.960、1.645、1.282、0.8416；

假設自助再抽樣樣本的分布特征，用區間估計法給出樣本的取值范圍；假設自助再抽樣樣本服從正態分布，給定置信水平1-β，通過常用標準正態分布上側β分位點中查詢u(β/2)，則給定置信水平下置信區間半長度ε的計算公式為

于是計算自助再抽樣樣本的點估計值在置信水平1-β下的置信區間

針對自助再抽樣挖掘生成的N+A個數據，假設有t個數據位于上述置信區間之外，同時綜合估計區間的置信水平，則定義自助再抽樣樣本上述區間估計的置信度為

此處需要注意置信水平和置信度兩個概念的聯系與區別；關于對裝備維修時間的非統計估計分為自助再抽樣生成、參數描述、參數估計的過程，置信水平反映了正態分布假設條件下區間估計的可靠性，覆蓋了參數估計過程；而點估計和區間估計的置信度則覆蓋了裝備維修時間的非統計估計全過程，置信水平對區間估計置信度有一份貢獻率；

3)非統計估計過程和方法框架

基于離散GM(1,1)模型的自助抽樣生成和未確知有理數的裝備維修時間非統計估計，就是在小樣本自助再抽樣生成、參數描述與估計的過程中，應用離散GM(1,1)建模技術、未確知有理數構造方法、基于未確知有理數的點估計和區間估計的一種分析方法。