[發(fā)明專利]基于幾何特征點控制的曲線構(gòu)造方法

在審

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• 申請日: 2019-01-30
• 公開（公告）號: CN109840930A
• 公開（公告）日: 2019-06-04
• 發(fā)明（設計）人: 陳中貴;黃金新;曹娟
• 申請（專利權(quán)）人: 廈門大學
• 主分類號: G06T11/20
• 分類號: G06T11/20
• 代理公司: 廈門南強之路專利事務所(普通合伙) 35200
• 代理人: 馬應森

1.基于幾何特征點控制的曲線構(gòu)造方法，其特征在于包括以下步驟：

1)選擇所要繪制的曲線是閉合的還是非閉合的，根據(jù)選擇的不同，閉合或非閉合，然后構(gòu)造不同的線性方程組；

2)在平面上給出一系列數(shù)據(jù)點作為插值點，所述一系列數(shù)據(jù)點記為{v_i|i＝1,...,N}，并指定每種數(shù)據(jù)點的類型，包括尖點、圓環(huán)自交點、拐點或端點；所述尖點是曲線在該數(shù)據(jù)點處的曲率不存在；所述圓環(huán)自交點是曲線穿過該數(shù)據(jù)點兩次；所述拐點或端點是曲線在該數(shù)據(jù)點處的曲率為零，并且曲率的符號在該數(shù)據(jù)點處發(fā)生改變；對于非閉合曲線出現(xiàn)兩個端點；

3)根據(jù)每個數(shù)據(jù)點v_i及相鄰數(shù)據(jù)點v_i-1，v_i+1的位置計算參數(shù)坐標計算公式如下：

4)每個數(shù)據(jù)點都插值出一條三次Bézier曲線，并且讓幾何特征點：尖點、圓環(huán)自交點或拐點出現(xiàn)在插值點處，針對不同的特征點分別如下：

尖點：

當△＝B²-4AC＝0時，曲線上出現(xiàn)唯一的尖點，假設尖點的參數(shù)坐標為t^*，則t^*也是方程F(t)的根，即：

由△＝B²-4AC＝0和即得到：

插值點為v，則有：

圓環(huán)自交點：

三次Bézier曲線在內(nèi)部產(chǎn)生圓環(huán)，表示某一點對應兩個參數(shù)坐標且該點是圓環(huán)自交點，同時也是插值點v，則有：

和

其中，令

拐點：

當△>0時，方程F(t)有兩個根，分別對應與兩個拐點的參數(shù)坐標，令其中一個根t^*∈(0,1)，即：

F(t^*)＝0

引入新參數(shù)h，使得：

其中，此時，方程F(t)的另一個根總是位于區(qū)間[0,1]之外；

由F(t^*)＝0和即得到：

插值點為v，則有：

另外，通過插值一般點，即非尖點、圓環(huán)自交點和拐點的數(shù)據(jù)點，得到一條三次Bézier曲線，這條曲線沒有尖點、圓環(huán)自交點和拐點：

當△>0時，方程F(t)有兩個根，曲線會出現(xiàn)兩個拐點，若讓方程的兩個根都位于區(qū)間[0,1]之外，得到一條不含尖點、圓環(huán)自交點和拐點的三次Bézier曲線，具體做法如下：

令t＝-1是方程F(t)的其中一個根，即：

F(-1)＝A-B+C＝0

同時令對稱軸位于直線t＝0和直線t＝1之間，并且令插值點的參數(shù)坐標

由F(-1)＝A-B+C＝0和得到：

3(1+2t^*)P₃-2t^*P₂-P₁＝0

另外，插值點為v，則有：

5)將步驟4)得到的曲線段拼接起來，并滿足如下連續(xù)性條件：

G⁰連續(xù)：

P_i,0+P_i,1+P_i,2+P_i,3＝P_i+1,0

G¹連續(xù)：

3P_i,0+2P_i,1+P_i,2-3P_i+1,0＝-P_i+1,1λ_i

G²連續(xù)：

κ_i(1)＝κ_i+1(0)

其中，i表示第i段曲線；

四種曲線段：尖點、圓環(huán)自交點、拐點和沒有尖點、圓環(huán)自交點、拐點三種點的三次Bézier曲線段中的任意兩種曲線段拼接在一起，得到16種拼接方法：

(5.1)根據(jù)步驟4)中尖點的相關公式以及G⁰連續(xù)的條件，得到P_i,1、P_i,2和P_i,3的表達式：

(5.2)同理，得到第i+1條曲線中P_i+1,1的表達式：

(5.3)將步驟(5.1)和(5.2)中得到的P_i,1、P_i,2和P_i+1,1的表達式帶入G¹連續(xù)的條件中，得到P_i,0、P_i+1,0和P_i+2,0之間的關系式；

6)構(gòu)造線性方程組；

7)求解步驟6)中的線性方程組，得到所有拼接點P_i,0的坐標，閉合曲線i＝1,...,N，非閉合曲線i＝1,...,N-3，再由步驟6)中的表達式得到P_i,1，，P_i,2P_i,3；

8)利用條件|κ_i(1)|＝|κ_i+1(0)|提高曲線的連續(xù)性，將步驟7)得到的P_i,0，，P_i,1P_i,2和P_i,3帶入到得到新的λ_i，重復步驟7)和步驟8)，直到||κ_i(1)|-|κ_i+1(0)||<ε，ε為預先給定的閾值，取ε＝10-10；

9)步驟8)中的迭代停止之后，利用步驟7)得到的P_i,0,P_i,1,P_i,2和P_i,3繪制曲線。

2.如權(quán)利要求1所述基于幾何特征點控制的曲線構(gòu)造方法，其特征在于在步驟6)中，所述構(gòu)造線性方程組的具體方法為：繪制閉合曲線和非閉合曲線構(gòu)造的線性方程組：

(6.1)閉合曲線：

給出N個數(shù)據(jù)點，插值得到N條曲線，即得到N個步驟(5.3)中P_i,0、P_i+1,0和P_i+2,0之間的關系式，統(tǒng)一寫成如下形式：

E_i,1P_i,0+E_i,2P_i+1,0+E_i,3P_i+2,0＝C_i,i＝1,...,N

其中，E_i,1,E_i,2,E_i,3和C_i是由λ_i,α_i,β_i,h_i,v_i以及v_i的類型決定；

(6.2)非閉合曲線：

同樣給出N個數(shù)據(jù)點，令第一個和最后一個數(shù)據(jù)點作為曲線的兩個端點，插值得到N-2條曲線，即得到N-3個步驟5)中P_i,0,P_i+1,0和P_i+2,0之間的關系式，統(tǒng)一寫成如下形式：

E_i,1P_i,0+E_i,2P_i+1,0+E_i,3P_i+2,0＝C_i,i＝1,...,N-3

其中，P_1,0＝v₁,P_N-1,0＝v_N。