[發明專利]一種分數階拱形MEMS諧振器的反振蕩自適應控制方法

有效

• 申請號: 201811543428.5
• 申請日: 2018-12-17
• 公開（公告）號: CN109613826B
• 公開（公告）日: 2021-07-27
• 發明（設計）人: 羅紹華;劉昭琴;屈涌杰;葛志宏
• 申請（專利權）人: 重慶航天職業技術學院
• 主分類號: G05B13/04
• 分類號: G05B13/04
• 代理公司: 北京同恒源知識產權代理有限公司 11275
• 代理人: 趙榮之

1.一種分數階拱形MEMS諧振器的反振蕩自適應控制方法，其特征在于：該方法包括以下步驟：

S1：利用Galerkin分解方法，建立具有未知激勵特性的分數階拱型MEMS諧振器的動力學模型；

S2：設計自適應控制器；

所述步驟S1具體為：

利用Galerkin分解方法，將具有未知激勵特性的分數階拱型MEMS諧振器的動力學模型寫成

其中變量定義為：

表示比率，是無量綱的時間變量，表示阻尼系數，表示拉伸參數，是電壓參數，表示頻率，h＝h₀/g₀表示初始上升值，是常數，x₁＝q(t)表示位移，表示速度，a表示分數階，C表示分數微積分領域中Caputo定義的符號，M(u)表示未知激勵特性，表示長度坐標，表示第一個歸一化模態，表示撓度，表示無量綱量，表示時間，表示常數，u表示實際控制輸入，k_c1＞0；L為長度，A為橫截面積；b為寬度，C_v為粘滯阻尼系數，d為厚度，為楊氏模量，I_y為轉動慣量，ρ為質量密度，Ω₀為諧波負載頻率，ε_a0為真空介電常數，V_DC為直流電壓，V_AC為交流電壓，w₀為拱形位移，ω₀為激勵頻率；

在輸入中存在非對稱非光滑飽和非線性激勵特性M(u)，其表示為

其中和η表示界限，a₁(t)和a₂(t)表示時變函數，l₁和l₂表示死區特征函數，和表示正的未知斷點；

由于a₁(t)和a₂(t)是時變的，且非對稱飽和非光滑的，引入光滑函數來逼近非對稱非光滑飽和特征

M(u)＝S(u)+D(u) (3)

和

其中w表示設計參數，D(u)表示逼近誤差且有|D(u)|＝M(u)-S(u)≤Γ，Γ表示正定未知常數；

根據中值定理，對于光滑函數S(u)，有

定義和得到S(0)＝0，則(3)被改寫為

M(u)＝pu+D(u) (6)

a₁(t)和a₂(t)表示時變函數，能夠反應非線性系統在受到內外部干擾時的實際情況；這種滑函數只需要激勵特性的上下界；作為逼近系數w不同的值導致對M(u)的不同逼近結果；

系統參數選擇為γ＝7.993，h＝0.3，μ＝0.1，a＝0.98，β＝119.9883和ω₀＝0.4706；在變步長START/TRBDF2求解器的幫助下，通過不同的分數階和驅動振幅來揭示分數階拱形MEMS諧振器的混沌振蕩；瞬態混沌出現在像a＝1.0和0.95這樣的分數階值處；然后拱形MEMS諧振器在a＝0.9和0.75處突然地切換到非混沌狀態；

定義1：分數導數中f(t)的Caputo定義表達為

其中表示伽瑪函數，n和f⁽ⁿ⁾(t)表示整數和f(t)的n階導數；

引理1：對于連續函數f₁^*(t)和下面的等式成立

其中0＜a＜1；

利用引理1和關系式得到：

其中

引理2：分數階系統且0＜a＜1，將變換為分數階積分器的線性連續頻率分布模型為

其中表示加權函數，表示系統的真實狀態；

定義2：如果函數N(η)滿足以下屬性

它被稱為Nussbaum函數；

Nussbaum函數被認為是處理驅動特性未知符號問題的有效工具；引入以下與Nussbaum函數相關的引理，以便于控制器設計和穩定性分析；

引理3：假設V(·)和η(·)是在[0∞)且有V(τ)≥0的光滑函數，N(·)是Nussbaum函數，下面的不等式成立

其中C₀＞0，g(t)是非零常數，表示合適的常數，則V(t)，η(t)和是有界的；

假設1：參考軌跡x_d及其n階導數是已知和有界的；同時，狀態變量x₁(t)和x₂(t)能夠測量；

針對具有不確定性和時變驅動特性的分數階拱型MEMS諧振器，提出一種自適應控制方案，使得輸出y＝x₁(t)微小誤差地跟隨參考軌跡x_d，同時與混沌行為和非對稱死區相關的振蕩被完全抑制；

所述步驟S2具體為：

Chebyshev多項式是以兩項遞推公式的形式選擇

T_i+1(X)＝2XT_i(X)-T_i-1(X),T₀(X)＝1 (14)

其中X∈R和T₁(X)被定義為X，2X，2X-1或2X+1；

對于[x₁,…,x_m]^T∈R^m，Chebyshev多項式的一種加強形式被構建為

ξ(X)＝[1,T₁(x₁),…,T_n(x₁),…,T₁(x_m),…,T_n(x_m)] (15)

其中T_i(x_j),i＝1,…,n,j＝1,…,m表示Chebyshev多項式，ξ(X)表示Chebyshev多項式的基函數向量，n表示階數；

對于緊集上任意給定的未知連續函數f(X)，基于Chebyshev神經網絡的通用逼近理論充分精確地逼近它，有

其中φ(t)是光滑的權向量；

存在Chebyshev神經網絡

其中ε(X)＞0是逼近誤差，Ω_φ和D_X分別表示φ(t)和X的適當邊界緊集；設最優參數φ^*等同于其中φ^*稱為人工量；當時有

為促進快速在線計算，采取如下變換來減少Chebyshev神經網絡權向量個數

其中關系式存立，是λ_i(t)的估計值，b_i是一個小的正常數；

借助楊氏不等式，導出Chebyshev神經網絡的一個與權向量個數有關的數學變換；

步驟1：定義第一個中間變量

其中跟蹤誤差e₁(t)定義為e₁(t)＝x₁(t)-x_d(t)，σ₁表示正設計參數；如果Z₁(t)→0，那么e₁(t)→0和

選擇第二個具有跟蹤誤差的中間變量e₂(t)＝x₂(t)-a₂(t)，其中σ₂＞0是一個設計參數，a₂(t)表示虛擬控制；在Caputo分數階微積分的定義中推導出Z₁(t)的導數

虛擬控制選擇為

其中k₁＞0代表控制增益；

基于引理1，得出下列連續頻率分布模型：

考慮李雅普諾夫穩定性準則

其中

對V₁(t)求時間導數

步驟2：選擇分數階李雅普諾夫穩定性準則

其中h₂＞0，

對Z₂(t)微分得到

其中

f₂(·)是一個高階非線性函數，其中諸如h、β、γ和b₁₁系統參數不能精準測量，并且受到內外部因素的影響建立精確的系統模型非常困難；不同的外部激勵對拱形MEMS諧振器會產生有害的振蕩，這種振蕩在一定程度上會降低系統的性能；為解決這些問題，使用Chebyshev神經網絡

實際上，由于計算復雜不能直接求出為解決這個問題，設計基于雙曲正弦函數的分數階跟蹤微分器來估計虛擬控制a₂(t)的分數階導數

其中基于雙曲正弦函數的跟蹤微分器狀態z_2,2與相等，r₂＞0，c_i＞0,i＝1,2和d_i＞0,i＝1,2為設計常數，存在具有T是正數的關系式

把(27)和(28)代入(26)，得到

容易導出利用引理1，進一步推導出連續頻率分布模型

取(25)的時間導數

其中

利用Nussbaum函數構造以下控制輸入

其中k₂₁＞0和k₂₂＞0是控制增益，具有更新律

其中g₂是正數；

更新律和控制律代入(31)，求得

定理1：在假設1存立的條件下，考慮具有未知驅動特性的分階拱形MEMS諧振器，如果所提由自適應率(33)和(34)構成的反振蕩自適應控制方法(32)介入，那么所有內部信號保持有界，同時完全消除包含混沌行為和非對稱死區在內的振蕩；

證明：定義整個李亞普諾夫候選函數

由得

其中

定義上式簡化為

對上式兩邊同時乘得到

定義對上式進行積分

Z₁(t)，Z₂(t)和屬于緊集

閉環系統中的所有信號都是有界的；進一步證明

至此，完成定理1的證明。