[發(fā)明專(zhuān)利]形函數(shù)構(gòu)造方法及系統(tǒng)

在審

• 申請(qǐng)?zhí)枺?/td>: 201811517837.8
• 申請(qǐng)日: 2018-12-12
• 公開(kāi)（公告）號(hào): CN109740190A
• 公開(kāi)（公告）日: 2019-05-10
• 發(fā)明（設(shè)計(jì)）人: 何光輝;李鑫奎
• 申請(qǐng)（專(zhuān)利權(quán)）人: 上海建工集團(tuán)股份有限公司
• 主分類(lèi)號(hào): G06F17/50
• 分類(lèi)號(hào): G06F17/50
• 代理公司: 暫無(wú)信息
• 代理人: 暫無(wú)信息

本發(fā)明提供了一種形函數(shù)構(gòu)造方法及系統(tǒng)，解決目前形函數(shù)人工推導(dǎo)的效率低，軟件應(yīng)用不方便，形函數(shù)精度低的問(wèn)題，本申請(qǐng)的方法將微分求積法得到的組合系數(shù)再進(jìn)行拉格朗日插值，可生成一維、二維和三維插值形函數(shù)及其任意階偏導(dǎo)數(shù)，支持任意分布節(jié)點(diǎn)。本發(fā)明提出的方法具有流程簡(jiǎn)單，計(jì)算機(jī)程序編寫(xiě)容易的特點(diǎn)；本發(fā)明提出的方法構(gòu)造的形函數(shù)階次可變，精度可調(diào)，對(duì)有限元仿真模擬具有顯著提升效率的作用。

技術(shù)領(lǐng)域

本發(fā)明涉及一種形函數(shù)構(gòu)造方法及系統(tǒng)。

背景技術(shù)

有限元法是目前結(jié)構(gòu)仿真分析的主要方法，在土木工程、機(jī)械工程、航空航天和軍事工業(yè)等領(lǐng)域均有大量的應(yīng)用。在有限元算法有一項(xiàng)不可避免的數(shù)學(xué)推導(dǎo)環(huán)節(jié)：形函數(shù)的構(gòu)造。在常規(guī)有限元算法中，形函數(shù)主要基于多項(xiàng)式構(gòu)造，可以分為(1)艾爾米特類(lèi)型，(2)完全拉格朗日類(lèi)型，和(3)不完全拉格朗日類(lèi)型。第(1)類(lèi)方法構(gòu)造的形函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)所模擬的物理量具有高階連續(xù)性(C^N連續(xù)，N≥1)，但是構(gòu)造方法復(fù)雜，在工程中應(yīng)用相對(duì)較少，第(2)和(3)類(lèi)方法構(gòu)造簡(jiǎn)單，但所模擬的物理量在單元之間僅零階連續(xù)(C⁰連續(xù))，在工程中應(yīng)用最為廣泛。

目前傳統(tǒng)的有限元形函數(shù)推導(dǎo)方法主要由人工手動(dòng)完成，而且形函數(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù)和布置位置也是固定的，每增加一種形函數(shù)，就需要人工重新推導(dǎo)和建立一類(lèi)新的有限元。有限元庫(kù)是有限的，因此，一般有限元模擬軟件僅提供每個(gè)坐標(biāo)軸方向2-4個(gè)節(jié)點(diǎn)。此外，在有限元算法中，形函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算也是不可避免的，傳統(tǒng)方法主要依靠人工求導(dǎo)。

發(fā)明內(nèi)容

本發(fā)明的目的在于提供一種形函數(shù)構(gòu)造方法及系統(tǒng)，能夠解決傳統(tǒng)的有限元形函數(shù)推導(dǎo)方法主要由人工手動(dòng)完成，而且形函數(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù)和布置位置也是固定的，每增加一種形函數(shù)，就需要人工重新推導(dǎo)和建立一類(lèi)新的有限元的問(wèn)題。

為解決上述問(wèn)題，本發(fā)明提供一種形函數(shù)構(gòu)造方法，包括：

第一步：確定形函數(shù)的維數(shù)，對(duì)于一維插值問(wèn)題，建立[-1,1]范圍的ξ坐標(biāo)軸；對(duì)于二維問(wèn)題，建立[-1,1]×[-1,1]范圍的ξ，η直角坐標(biāo)系；對(duì)于三維問(wèn)題，建立[-1,1]×[-1,1]×[-1,1]范圍的ξ，η，ζ直角坐標(biāo)系；

第二步：選定ξ,η,ζ三個(gè)坐標(biāo)軸的上坐標(biāo)范圍為[-1,1]的節(jié)點(diǎn)，在ξ坐標(biāo)軸上取nx個(gè)節(jié)點(diǎn)，從小到大分別為ξ₁,ξ₂,ξ₃…,ξ_nx；在η坐標(biāo)軸上取ny個(gè)節(jié)點(diǎn)，從小到大分別為η₁,η₂,η₃…,η_ny；在ζ坐標(biāo)軸上取nz個(gè)節(jié)點(diǎn)，從小到大分別為ζ₁,ζ₂,ζ₃,…,ζ_nz；

第三步：分別計(jì)算ξ,η,ζ三個(gè)坐標(biāo)軸上坐標(biāo)分布的節(jié)點(diǎn)的微分求積法組合系數(shù)組合系數(shù)的意義為：一般地，對(duì)于ξ坐標(biāo)軸上從小到大排列的nx個(gè)節(jié)點(diǎn)ξ₁,ξ₂,ξ₃…,ξ_nx，函數(shù)f(ξ)在ξ_i的m階導(dǎo)數(shù)可以表示為對(duì)于η和ζ坐標(biāo)軸上的有限個(gè)節(jié)點(diǎn)，以此類(lèi)推，亦可得到對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸的微分求積法組合系數(shù)

第四步：生成三個(gè)軸各自的形函數(shù)，其中，

對(duì)于ξ軸的第r個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)形函數(shù)的m階導(dǎo)數(shù)為其中L_i為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的拉格朗日插值基

對(duì)于η軸的第s個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)形函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)為其中，

對(duì)于ζ軸的第t個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)形函數(shù)的p階導(dǎo)數(shù)為其中，

第五步：生成ξ軸第r節(jié)點(diǎn)，η軸第s個(gè)節(jié)點(diǎn)，ζ軸第t個(gè)節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)關(guān)于ξ，η和ζ分別m，n和p階偏導(dǎo)的形函數(shù)N＝N_ξrN_ηsN_ζt。