[發(fā)明專利]一種計(jì)算強(qiáng)幾何限制自旋模型的量子蒙特卡洛算法

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• 申請(qǐng)?zhí)枺?/td>: 201811265102.0
• 申請(qǐng)日: 2018-10-29
• 公開（公告）號(hào): CN109615078A
• 公開（公告）日: 2019-04-12
• 發(fā)明（設(shè)計(jì)）人: 嚴(yán)正;婁捷;陳焱
• 申請(qǐng)（專利權(quán)）人: 復(fù)旦大學(xué)
• 主分類號(hào): G06N10/00
• 分類號(hào): G06N10/00
• 代理公司: 上海正旦專利代理有限公司 31200
• 代理人: 陸飛;陸尤

1.一種計(jì)算強(qiáng)幾何限制自旋模型的量子蒙特卡洛算法，其特征在于，具體步驟為：

（1）對(duì)于量子dimer模型，每個(gè)格點(diǎn)屬于且僅屬于一個(gè)最短程的dimer，其哈密頓量寫為：

這里，求和表示對(duì)晶格里所有的單元方塊求和；一個(gè)dimer理解為端點(diǎn)的兩個(gè)自旋形成的一個(gè)自旋單態(tài)，而動(dòng)能項(xiàng)則理解為一個(gè)方塊內(nèi)一對(duì)平行的dimer的共振；在此模型下，直接選取鍵的構(gòu)型來(lái)作為基矢，一組構(gòu)型寫成|α = |D1,D2,...,DN；當(dāng)鍵上有dimer的時(shí)候，Di取值為1；如果沒(méi)有dimer，Di取值為0；

把哈密頓量拆分成方塊為單位Hp的疊加形式：，這里的p是方塊的序號(hào)；進(jìn)一步地，把方塊的哈密頓量Hp拆分成對(duì)角算符和非對(duì)角算符之和，即Hp = H1,p+ H2,p；這里腳標(biāo)1表示對(duì)角算符，2表示非對(duì)角算符：

在上式的哈密頓量中，配了一個(gè)常數(shù)Np(V+C)上去，確保所有概率為正數(shù)；為了讓所有的矩陣元正定，必須滿足條件C>min(?V,0)；

（2）接下來(lái)，把配分函數(shù)展開成哈密頓量H的各項(xiàng)級(jí)數(shù)，并且把H拆分成對(duì)角和非對(duì)角算符，得到一個(gè)多項(xiàng)級(jí)數(shù)展開的求和式；求和的算符腳標(biāo)用Sn=[a1,p1],[a2,p2],...,[an,pn]表示；這里的ai∈{1,2}表示算符類型，即1表示對(duì)角算符, 2表示非對(duì)角算符，同時(shí)pi∈{1,...,Np}表示方塊的序號(hào)；

方便起見，對(duì)級(jí)數(shù)做一個(gè)截?cái)啵僭O(shè)保留到H的M階項(xiàng)，另外再引入單位算符[0,0]作為一種算符類型；于是，得到以下配分函數(shù)形式：

這里的n表示除了單位算符外的算符數(shù)量，即 [ai,pi] [0,0]的數(shù)量；

（3）對(duì)所有構(gòu)型求內(nèi)積，得到如下的非零矩陣元：

這里的態(tài)|others表示這個(gè)方塊內(nèi)只有1個(gè)或者沒(méi)有dimer；

（4）算符更新；對(duì)于算符列的更新，第一步是插入或者取消一個(gè)對(duì)角算符，也就是對(duì)角更新；根據(jù)Metropolis的細(xì)致平衡可以給出概率如下：

其中，Pins表示在原本沒(méi)有算符或者說(shuō)單位算符的位置插入一個(gè)對(duì)角算符的概率，而Pdel表示在已有對(duì)角算符的位置移去這個(gè)算符的概率；Np表示所有的單元方塊數(shù)，在插入對(duì)角算符時(shí)，因?yàn)橛泄睳p個(gè)位置可以插入，所以在分子處要考慮選擇概率；同理，選擇概率也考慮在逆過(guò)程即取消對(duì)角算符時(shí)；對(duì)角更新沿著虛時(shí)間逐層掃描，即1,...,M 每一層都有該操作；如果遇到非對(duì)角算符，則更新構(gòu)型后繼續(xù)下一層的掃描；

（5）對(duì)角更新完成后，用集團(tuán)更新來(lái)完成對(duì)角算符和非對(duì)角算符之間的轉(zhuǎn)化，即算符串中[1,p] ? [2,p]的實(shí)現(xiàn)，稱這種方法叫做“掃描團(tuán)簇”方法，它引入了“虛時(shí)間序”的概念，按照順序更新。

2.根據(jù)權(quán)利要求1所述的計(jì)算強(qiáng)幾何限制自旋模型的量子蒙特卡洛算法，其特征在于，步驟（5）中，所述“掃描團(tuán)簇”方法，具體流程如下：

（1）首先隨機(jī)任意選取一個(gè)算符矩陣元，要求這個(gè)矩陣元的兩邊都是可翻轉(zhuǎn)構(gòu)型（FP），即方塊中有兩個(gè)平行的dimer；

（2）矩陣元一側(cè)的方塊構(gòu)型，四條鍵全部翻轉(zhuǎn)，繼而生出四條更新線，更新線只能沿著一個(gè)虛時(shí)間方向順序生長(zhǎng)，直至團(tuán)簇生成；用更新線在虛時(shí)間生長(zhǎng)來(lái)標(biāo)記每一個(gè)虛時(shí)間時(shí)刻構(gòu)型的翻轉(zhuǎn)狀態(tài)，更新線所到之處鍵進(jìn)行翻轉(zhuǎn)；這樣按照順序地掃描各個(gè)虛時(shí)間層，每掃描到某一層虛時(shí)間矩陣元構(gòu)型的時(shí)候，矩陣元的一側(cè)已經(jīng)被其前端構(gòu)型生成的更新線所更新；接下來(lái)就是討論另一側(cè)的矩陣元如何更新；

（3）每一層的矩陣元更新方式，分為三種情況：

（a）已更新一側(cè)得到了一個(gè)新構(gòu)型，該構(gòu)型是可翻轉(zhuǎn)的；同時(shí)待更新一側(cè)的構(gòu)型是不可翻轉(zhuǎn)的，那么可以有兩種更新方式：按照1/2概率選擇待更新一側(cè)更新為對(duì)角構(gòu)型還是非對(duì)角構(gòu)型；根據(jù)不同的選擇，生成不同的更新線，繼續(xù)生長(zhǎng)；

（b）已更新一側(cè)得到一個(gè)新的構(gòu)型是不可翻轉(zhuǎn)的，那么待更新一側(cè)只能選擇與之一致，生成一個(gè)對(duì)角矩陣元；

（c）已更新一側(cè)得到了可翻轉(zhuǎn)的新構(gòu)型，待更新一側(cè)也是可翻轉(zhuǎn)的構(gòu)型，此時(shí)有兩種情況：如果除了此矩陣元外沒(méi)有其他更新線剩余，則團(tuán)簇生成，不需要繼續(xù)更新；如果除了此矩陣元外還有其他更新線在生長(zhǎng)，那么待更新一側(cè)的4個(gè)鍵全部翻轉(zhuǎn)，生成4條更新線，繼續(xù)掃描下一層；

當(dāng)所有更新線走完，生成一個(gè)大的團(tuán)簇，也即得到了一個(gè)新的構(gòu)型B，它的權(quán)重為WB；同時(shí)，把翻轉(zhuǎn)前的老構(gòu)型命名為A，它的權(quán)重為WA；由于所有更新線必須一起生長(zhǎng)、互相影像，必須讓整個(gè)團(tuán)簇生成之后判斷是否接受；根據(jù)Metropolis概率判斷是否接受B構(gòu)型：

這里，Pselect(A→B)表示在掃描團(tuán)簇算法中從構(gòu)型A轉(zhuǎn)化到構(gòu)型B的選擇概率，即從A走到B的這條途徑占從A走到其他構(gòu)型的所有途徑的比例是多少；把構(gòu)型A中所有的可翻轉(zhuǎn)矩陣元，即FP的總數(shù)記為NFP，同樣地，把構(gòu)型B中可翻轉(zhuǎn)矩陣元的總數(shù)記為NFP + ?；則在這個(gè)接受概率簡(jiǎn)化為：

在溫度很低的情況下，第一項(xiàng)NFP/（NFP+?）≈1，從而Paccept(A → B) ≈ 1；在RK點(diǎn)上，任意的新構(gòu)型能夠被接受；這也從另一個(gè)角度解釋了為什么RK的基態(tài)波函數(shù)等于所有構(gòu)型的等權(quán)重疊加。