[發明專利]一種基于拉普拉斯變換的含區間參數結構動力響應邊界評估方法

有效

• 申請號: 201811042732.1
• 申請日: 2018-09-07
• 公開（公告）號: CN109460563B
• 公開（公告）日: 2023-06-23
• 發明（設計）人: 邱志平;姜南;祝博;鄭宇寧
• 申請（專利權）人: 北京航空航天大學
• 主分類號: G06F30/13
• 分類號: G06F30/13
• 代理公司: 北京科迪生專利代理有限責任公司 11251
• 代理人: 楊學明;盧紀

1.一種基于拉普拉斯變換的含區間參數平面四桿桁架結構動力響應邊界評估方法，其特征在于，該方法能夠對平面四桿桁架進行基于拉普拉斯變換的含區間參數結構動力響應邊界評估，實現步驟如下：

第一步：考慮如下結構動力響應問題的有限元控制方程：

其中，M＝M(α)＝(m_ij(α))_n×n、C＝C(α)＝(c_ij(α))_n×n、K＝K(α)＝(k_ij(α))_n×n分別為n×n維結構質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣，F(t)＝F(α,t)＝(f_i(α,t))_n為n維結構節點外載荷向量，u(t)＝(u_i(t))_n、分別為n維結構節點位移向量、速度向量、加速度向量，α為m維結構參數向量；

上述結構動力響應問題有限元控制方程的初始條件如下：

u(t₀)＝u₀,

其中，t₀為初始時間，u₀為初始位移，為初始速度；

考慮存在于結構中的不確定性參數向量α，結構質量矩陣M、阻尼矩陣C和剛度矩陣K均為區間矩陣，外載荷向量F(t)為區間向量，即：

M∈M^I,C∈C^I,K∈K^I,F(t)∈F^I(t)

其中，M^I、C^I和K^I分別為區間質量矩陣、區間阻尼矩陣和區間剛度矩陣，F^I(t)為區間外載荷向量；

因此，含區間參數結構的動力響應集合可以表示為：

第二步：考慮第一步列出的含區間參數結構動力響應集合，由于集合具有較為復雜的范圍，直接求解集合通常非常困難，在此，利用包括所有動力響應可能值的最小區間集合表示動力響應集合，區間集合表示如下：

其中，u^I(t)為動力響應的區間集合；

因此，結構區間動力響應方程可以表示為：

第三步：基于第二步建立的結構區間動力響應方程，利用拉普拉斯變換，可以得到：

其中，u_p^I為節點區間位移向量u^I(t)的拉普拉斯變換，F_p^I為區間外載荷向量F^I(t)的拉普拉斯變換；

整理上述方程，可以得到如下方程：

令H^I＝s²M^I+sC^I+K^I,可以得到如下復數區間線性方程組：

H^Iu_p^I＝R^I

其中，H^I和R^I均為復數區間矩陣；

由上述復數區間線性方程組，可以得到如下含不確定性的復數線性方程組：

Hu_p＝R,H∈H^I,u_p∈u_p^I,R∈R^I

其中，H和R為含不確定性的復數矩陣，u_p為含不確定性的復數向量；

第四步：基于第三步建立的復數區間線性方程組，通過引入小參數ε，將含不確定性的復數矩陣H和R分別寫為其標稱值和攝動值之和的如下形式：

H＝H₀+εΔH,R＝R₀+εΔR

其中，小參數ε是絕對值遠小于單位1的實數，H₀和R₀分別是含不確定性的復數矩陣H和R的標稱值，εΔH和εΔR分別是H₀和R₀的攝動值，含ε表示其與H和R相比是一個很小的量；

基于攝動理論，將含不確定性的復數向量u_p用如下關于ε的級數表示：

其中，是u_p的標稱值，是u_p的各階攝動值；

將H和R的攝動表達式和u_p的級數表達式分別代入第三步表征的含不確定性的復數線性方程組，可得如下攝動方程：

第五步：基于第四步建立的攝動方程，展開并合并其關于ε的同類項，可以分別得到：

……

由上述方程，可以分別得到u_p的標稱值和u_p的各階攝動值

……

在此基礎上，可以得到u_p的下界和上界的如下表達式：

其中，u_p和分別為u_p的下界和上界，Δu_p為u_p的攝動半徑；

第六步：基于第五步求得的u_p的下界u_p和上界的表達式，利用拉普拉斯反變換，即可以得到平面四桿桁架結構動力位移響應的下界u(t)和上界表達式；

其中，桁架水平長度和豎直高度均為L＝1m，桿①-③橫截面積相等且都等于A₁＝1.0×10^-4m²，桿④橫截面積等于A₂＝1.2×10^-4m²，有一正弦激勵P(t)＝p^Isin(100πt)N作用于桁架節點4的水平方向，初始條件為x(0)＝0和由于材料和載荷中不確定性的存在，各桿的彈性模量、密度和正弦激勵幅值為區間參數，其區間數分別為E^I＝[190×10⁹,210×10⁹]N/m²，ρ^I＝[7410,8190]kg/m³和p^I＝[95,105]N，其中需要評估桁架的節點4水平方向和豎直方向動力位移響應邊界。