[發明專利]一種加速有限元求解物體網格模型彈性變形的方法

有效

• 申請號: 201810779764.3
• 申請日: 2018-07-16
• 公開（公告）號: CN108986220B
• 公開（公告）日: 2022-06-24
• 發明（設計）人: 黃勁;鮑虎軍;馬修·德斯布朗;童一穎;陳炯
• 申請（專利權）人: 浙江大學
• 主分類號: G06T17/20
• 分類號: G06T17/20;G06T13/20
• 代理公司: 杭州求是專利事務所有限公司 33200
• 代理人: 林超

1.一種加速有限元求解物體網格模型彈性變形的方法，其特征在于：針對非線性彈性物體模型，給定離散為由一系列單元和頂點構成的粗網格和細網格，用分段線性矩陣形函數作為位移插值函數用有限元法求解計算獲得粗網格變形后的位移場，使用線性插值函數作為位移插值函數用有限元法求解計算獲得細網格變形后的位移場；粗網格對應的有限元法中的形函數采用特殊設計的分段線性矩陣形函數，分段線性矩陣形函數為不連續的形函數；

所述的分段線性矩陣形函數在粗網格單元內某一點的值等于一系列采樣值的線性插值，表示如下：

式中，表示粗網格單元所占的空間區域,表示粗網格單元所占的空間區域內各個細網格單元所占的空間區域；X表示非線性彈性物體模型上一點的坐標，為一個向量；是點X所在粗網格單元上頂點i的形函數，作為分段線性矩陣形函數，i為點X所在粗網格單元上的一個頂點；分段線性矩陣形函數采用矩陣形式，矩陣維度為d×d；n_ij表示形函數在所在粗網格單元內細網格單元頂點j處的采樣值，為一個矩陣；為點X所在細網格單元上頂點j的插值函數，所有細網格單元的插值函數采用線性插值函數，j為點X所在細網格單元上的一個頂點；

針對所述采樣值進行求解，具體是：使形函數所對應的位移場轉化為線性二次規劃問題，使滿足幾何條件、物理條件和正則化，對線性二次規劃問題進行求解獲得采樣值，從而得到分段線性矩陣形函數；線形二次規劃問題公式如下：

式中，I為d×d的單位矩陣，表示分段線性矩陣形函數的導數，M表示單位四階張量，為點X所在粗網格單元上頂點i的坐標，為點X所在粗網格單元上頂點k的坐標，表示點X所在細網格單元上頂點j的坐標，a、b為三維的笛卡爾坐標系下x、y、z三軸方向中的任意兩個坐標方向，且取相同值，為坐標處ab方向的典型位移；tr()為跡函數，[·]_×來表示矩陣外積，當i＝k時，δ_ik為1，當i≠k時，δ_ik為0；

上述公式中的典型位移計算是求解以下公式表示的帶諾伊曼邊界條件的線性化彈性靜力學問題：

式中，表示散度計算，σ為應力張量，e_a為第a個坐標方向的單位向量，e_b為第b個坐標方向的單位向量，n為邊界上的法向量，T表示轉置，σ(h_ab)表示典型位移下的應力張量，h_ab表示ab方向的典型位移場，insideΩ表示在物體內，表示在物體邊界上；

求解上述公式時使用有限元法求解，并且將應變能的海森矩陣設為一個常量矩陣，等于彈性體處于靜止狀態時的海森矩陣，形函數采用線性插值函數，并且附加以下的第零階和第一階慣性矩約束：

式中，為變形后粗網格上的頂點參數坐標，為初始狀態粗網格頂點坐標的平均值；

使用以下公式表示的帶有局部標架的分段線性矩陣形函數插值獲得位移場時：

式中，u(X)表示物體上X處的位移場；R_e為局部標架；R_e等于X所在粗網格的變形梯度的極分解中的旋轉矩陣。

2.根據權利要求1所述的一種加速有限元求解物體網格模型彈性變形的方法，其特征在于：在有限元求解中，非線性彈性物體模型上的一點的位移由該點所在粗網格單元的頂點通過分段線性矩陣形函數插值得到，位移場離散在每一個頂點上，由所有位移構成位移場；并且在分段線性矩陣形函數插值過程中，采用局部標架輔助計算保證插值對坐標變換的不變性。

3.根據權利要求1所述的一種加速有限元求解物體網格模型彈性變形的方法，其特征在于：采樣值的位置為細網格單元上的各個頂點位置，且采樣值的數量等于該粗網格單元細分后的細網格單元中的頂點總數。