[發明專利]一種線性高階比例制導系統脫靶量的冪級數解

有效

• 申請號: 201810593916.0
• 申請日: 2018-06-11
• 公開（公告）號: CN109002576B
• 公開（公告）日: 2021-11-02
• 發明（設計）人: 陳萬春;趙石磊;赫泰龍
• 申請（專利權）人: 北京航空航天大學
• 主分類號: G06F30/20
• 分類號: G06F30/20
• 代理公司: 北京慧泉知識產權代理有限公司 11232
• 代理人: 王順榮;唐愛華

1.一種線性高階比例制導系統脫靶量的冪級數解，其特征在于：其包括以下三個步驟：

步驟一：線性高階比例制導系統建模；

伴隨系統的微分方程為：

其中，N為有效導引比，t表示總的飛行時間；z₁、z₂、z_u和ζ是伴隨系統的狀態量，和分別為z₁、z₂和z_u對t的導數；z₁、z₂、z_u和ζ的初值分別為z₁(0)＝1、z₂(0)＝0、z_u(0)＝0和ζ(0)＝0，其中z₁的初值為1是由伴隨系統的脈沖輸入轉化而來；伴隨系統的輸出量，即脫靶量為：

其中，n_T為目標機動水平大小，V_M為導彈速度，θ_HE為導彈初始瞄準誤差角；M_nT表示目標階躍機動引起的脫靶量，M_HE表示導彈初始瞄準誤差角引起的脫靶量；G(s)為表征制導系統動態特性的穩定傳遞函數，包含導引頭動力學、噪聲濾波以及飛控系統的動態特性；通常G(s)表示成如下形式：

其中，Q為制導系統階數，T為總制導系統時間常數，λ_q是多項式系數，q＝0,1,...,Q表示多項式的每一項的階數；

為了便于冪級數的推導，進一步將式(1)所示的伴隨系統的微分方程轉化為無量綱化的微分方程；定義及分別為伴隨系統的狀態量z₁、z₂、z_u、ζ及總飛行時間t的無量綱變量，和分別為M_nT和M_HE的無量綱變量，他們的表達式分別為：

經過簡單求導運算得出，無量綱化的微分方程與(1)相同，只需將傳遞函數G(s)替換為無量綱化的傳遞函數其表達式為：

步驟二：求解伴隨系統的微分方程的冪級數解；包括求解冪級數解系數遞推公式和冪級數收斂半徑；

(一)冪級數解的系數遞推公式

假設無量綱化的微分方程有如下形式的冪級數解：

其中，a_n、b_n、c_n、d_n分別為各冪級數的待定系數，e表示自然指數，參數k表示指數項衰減常數，用來調節冪級數解整體收斂速度；描述了狀態量的動態特性，其等價于如下微分方程：

式中表示變量的q階導數；為的初始值；

利用關于時間多項式各次冪的系數相等，并結合伴隨系統的微分方程的狀態初值，得到如下遞推關系：

當n≥1時，

其中，

這里B_n和P_n都是中間變量，用于簡化表達式書寫；A和C及其上下標表示排列數和組合數；c_n和d_n分別是無量綱化脫靶量和冪級數的系數；

(二)冪級數解的收斂半徑

首先，求指數型衰減常數k＝0時，冪級數的收斂半徑，其中a_n,0代表指數型衰減常數k＝0時冪級數系數a_n的值；

記狀態向量：

則伴隨系統的無量綱化的微分方程表示為如下矩陣形式：

式中為狀態向量X對總飛行時間t的導數；矩陣R和A為如下所示的常值矩陣：

式中，O_Q×1，O_Q×Q，O_1×Q分別代表Q行1列，Q行Q列，1行Q列的零矩陣；狀態向量X的初值為：

X(0)＝[0 0 0 … 0 1]^T

顯然，矩陣R的特征值只有0，任何正整數都不是R的特征值；矩陣A在t＝0處是解析的，而且其冪級數展開收斂半徑為無窮大，則式(11)所示的微分方程的解表示為如下收斂半徑為無窮大的冪級數：

其中X_n是狀態向量X的冪級數的系數，其為維數與X相同的向量；將式(12)代入式(11)，利用冪級數恒等條件，得到遞推關系：

式中，I是大小為(Q+1)×(Q+1)的單位矩陣；因此系數X_n是唯一的；向量X_n的最后一個分量是狀態z₁冪級數的系數，其與指數型衰減常數k＝0時由冪級數遞推關系(10)得到的z₁冪級數的系數a_n,0相同，由此得到指數型衰減常數k＝0時z₁的級數是收斂的且收斂半徑無窮大；

其次，證明指數型衰減常數k為任意數時，式(7)所示的冪級數是收斂的；設當指數型衰減常數為任意數時，由遞推關系(9)和(10)得到的冪級數的系數為和容易驗證：

而冪級數正是冪級數與的麥克勞林級數的柯西積，即

冪級數和同理；所以，當指數型衰減常數為任意數時，冪級數及仍然收斂；

步驟三：選擇合適指數項衰減常數k；

定義S_n為式(7)所示冪級數前n項之和，R_n為逼近誤差余式，即式(7)所示冪級數與S_n的差；引入用來衡量冪級數解的收斂速度指標變量n_cr，其定義為使R_n小于指定精度ε的式(7)所示冪級數中索引變量n的最小值，表示成函數形式為：

從定義看出n_cr越小越好，意味著收斂速度越快；使得收斂速度指標變量n_cr取值最小的指數型衰減常數k是最優的，記為：

同時考慮冪級數精度、收斂速度和遞推關系的簡化，按照如下方案選取指數型衰減常數k：一階制導系統選取k＝1；欠阻尼二階制導系統選取k＝ξ/β，式中ξ和β為欠阻力二階制導系統的特征參數；Q階二項式系統選取k＝Q；對于高階系統選取：

式(18)中，Q₁為一階環節的個數，α_i(i＝1,2,...Q₁)為一階環節特征參數；Q₂為二階環節的個數，ξ_j(j＝1,2,...Q₂)和β_j(j＝1,2,...Q₂)為二階環節特征參數。