[發(fā)明專利]一種基于單位分解積分的直流電阻率無單元正演方法

有效

• 申請(qǐng)?zhí)枺?/td>: 201810444952.0
• 申請(qǐng)日: 2018-05-10
• 公開（公告）號(hào): CN108873084B
• 公開（公告）日: 2019-10-08
• 發(fā)明（設(shè)計(jì)）人: 柳建新;麻昌英;劉海飛;柳卓
• 申請(qǐng)（專利權(quán)）人: 中南大學(xué)
• 主分類號(hào): G01V3/38
• 分類號(hào): G01V3/38
• 代理公司: 長沙七源專利代理事務(wù)所(普通合伙) 43214
• 代理人: 周曉艷;張文君

1.一種基于單位分解積分的直流電阻率無單元正演方法，其特征在于，包括以下步驟：

步驟1、建立二維地電模型：

首先，根據(jù)二維地電模型中介質(zhì)電阻率的分布、電阻率異常體的幾何形態(tài)和地形起伏形態(tài)建立計(jì)算域，并設(shè)置好電極位置、觀測裝置和觀測點(diǎn)位置；在計(jì)算域中將二維地電模型采用一組任意分布的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行離散，根據(jù)電阻率異常體的位置、幾何形態(tài)和地形起伏形態(tài)以及電極位置布置節(jié)點(diǎn)；并根據(jù)正演模擬需求，在局部域任意加密節(jié)點(diǎn)，在場值變化不大或者遠(yuǎn)離場源電性不變的區(qū)域使用稀疏的節(jié)點(diǎn)分布；

步驟2、利用單位分解積分將全局域積分轉(zhuǎn)化為節(jié)點(diǎn)局部域積分：

步驟2.1、采用第三類邊界條件的2.5維直流電阻率邊值問題對(duì)應(yīng)的變分問題為式1)：

其中，Γ為邊界符號(hào)，Γ_T為截?cái)噙吔?；σ為介質(zhì)電導(dǎo)率；Ω為計(jì)算域，U為波數(shù)域電位，λ為波數(shù)；I₀為電流；δ₀為Kronecker delta函數(shù)；x為計(jì)算域內(nèi)任意一點(diǎn)；A為場源點(diǎn)位置；為梯度運(yùn)算符；r_A為點(diǎn)源與截?cái)噙吔缟先我庖稽c(diǎn)的直線距離，n為截?cái)噙吔缤夥ň€單位向量，cos(r_A,n)為r_A與n的夾角余弦；K₀、K₁分別為第二類零階、一階修正貝塞爾函數(shù)；δ為變分符號(hào)；

步驟2.2、計(jì)算域Ω設(shè)內(nèi)有N個(gè)節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造單位分解函數(shù)ψ_k(x)：

0≤ψ_k(x)≤1,x∈Ω_k 3)；

其中，k表示節(jié)點(diǎn)編號(hào)，k＝1,2,…,N；Ω_k為節(jié)點(diǎn)k局部積分域；式2)～4)為單位分解性質(zhì)；

步驟2.3、f(x)是定義在計(jì)算域Ω上的可積函數(shù)，則有如下等式成立：

式5)為單位分解積分；

步驟2.4、利用單位分解函數(shù)和單位分解積分將式1)中的第一式轉(zhuǎn)化為節(jié)點(diǎn)局部域積分：

其中，為截?cái)噙吔绂?Sub>T與節(jié)點(diǎn)k局部積分域Ω_k相交部分的子邊界；

步驟3、構(gòu)造節(jié)點(diǎn)局部積分域，計(jì)算離散方程：

步驟3.1、根據(jù)計(jì)算域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)分布情況，構(gòu)造節(jié)點(diǎn)局部積分域；

步驟3.2、在每一個(gè)節(jié)點(diǎn)局部積分域內(nèi)采用高斯積分計(jì)算積分式，首先為每一個(gè)高斯點(diǎn)構(gòu)造支持域，然后使用支持域內(nèi)包含的節(jié)點(diǎn)構(gòu)造形函數(shù)對(duì)高斯點(diǎn)處場值進(jìn)行插值，形成高斯點(diǎn)對(duì)應(yīng)的子離散方程；

步驟3.3、將計(jì)算域內(nèi)所有高斯點(diǎn)對(duì)應(yīng)的子離散方程按照節(jié)點(diǎn)整體編號(hào)組裝起來，獲得計(jì)算域?qū)?yīng)的離散方程；

步驟4、計(jì)算視電阻率：

對(duì)步驟3中獲得的計(jì)算域?qū)?yīng)的離散方程進(jìn)行求解，獲得節(jié)點(diǎn)電場場值，再根據(jù)觀測裝置觀測到的相關(guān)參數(shù)計(jì)算獲得觀測點(diǎn)的視電阻率參數(shù)。

2.根據(jù)權(quán)利要求1所述的基于單位分解積分的直流電阻率無單元正演方法，其特征在于，對(duì)所述步驟2中式6)的電位函數(shù)U進(jìn)行變分：

對(duì)式7)展開變分并進(jìn)行整理可得：

對(duì)于單個(gè)節(jié)點(diǎn)k則有：

3.根據(jù)權(quán)利要求2所述的基于單位分解積分的直流電阻率無單元正演方法，其特征在于，為節(jié)點(diǎn)局部積分域內(nèi)任意一點(diǎn)x構(gòu)造支持域，支持域內(nèi)設(shè)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，使用該n個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)造形函數(shù)(φ_i(x),i＝1,2,…,n)對(duì)x點(diǎn)處場值進(jìn)行插值：

式中，Φ^T＝[φ₁(x) φ₂(x) … φ_n(x)]為形函數(shù)向量，U^T＝[U₁ U₂ … U_n]為支持域內(nèi)節(jié)點(diǎn)的波數(shù)域電位向量；將式10)代入式9)可得：

對(duì)式11)進(jìn)行整理可得：

對(duì)式12)進(jìn)行整理可得：

式13)中：

由于δU是任意的，故式13)成立的條件為：

其中，和為節(jié)點(diǎn)k局部積分域Ω_k的子系數(shù)矩陣，F(xiàn)_k為節(jié)點(diǎn)k局部積分域Ω_k的子離散方程式17)的右端項(xiàng)；

節(jié)點(diǎn)k局部積分域Ω_k中采用N_g個(gè)高斯點(diǎn)x_g＝(x_g,z_g)進(jìn)行積分計(jì)算，高斯點(diǎn)對(duì)應(yīng)的權(quán)重w_g和雅可比值J_g，g＝1,2,…,N_g；高斯點(diǎn)支持域Ω_q內(nèi)包含n個(gè)節(jié)點(diǎn)，則有：

其中，

B＝σλ²Φ(x_g)Φ^T(x_g) 21)；

將式20)～22)分別展開可得：

式23)～25)中φ_i為高斯點(diǎn)支持域內(nèi)第i個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的形函數(shù)，i＝1,2,…,n；對(duì)于單個(gè)高斯點(diǎn)有：

此時(shí)，高斯點(diǎn)對(duì)應(yīng)的子離散方程表達(dá)式為：

其中，U_kg為高斯點(diǎn)支持域節(jié)點(diǎn)的電位場值構(gòu)成的電位向量，F(xiàn)_kg為高斯點(diǎn)支持域節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的子離散方程的右端項(xiàng)；

式26)和式27)為高斯點(diǎn)對(duì)應(yīng)的子系數(shù)矩陣，兩個(gè)矩陣元素分別為：

其中，i和j表示高斯點(diǎn)支持域Ω_q中的節(jié)點(diǎn)局部編號(hào)，i＝1,2,…,n，j＝1,2,…,n；

采用節(jié)點(diǎn)局部積分域包含高斯點(diǎn)x_g的節(jié)點(diǎn)作為x_g的支持域，則計(jì)算單位分解函數(shù)ψ_k(x_g)使用的節(jié)點(diǎn)與構(gòu)造形函數(shù)φ_i(x_g)使用的節(jié)點(diǎn)相同，由于無單元法形函數(shù)滿足單位分解性質(zhì)，即

因此采用無單元法形函數(shù)作為單位分解函數(shù)，即ψ_k(x_g)＝φk(x_g)，其中φ_k(x_g)為當(dāng)前計(jì)算節(jié)點(diǎn)k對(duì)應(yīng)的無單元法形函數(shù)；此時(shí)29)式和30)式分別寫為：

將所有的節(jié)點(diǎn)局部積分域內(nèi)所有高斯點(diǎn)的子系數(shù)矩陣按照節(jié)點(diǎn)整體編號(hào)組裝起來，獲得總系數(shù)矩陣K：

將所有的節(jié)點(diǎn)局部積分域內(nèi)所有高斯點(diǎn)的子離散方程右端項(xiàng)F_kg組裝起來，獲得離散方程右端項(xiàng)F：

結(jié)合Kroneckerdelta函數(shù)δ₀(A)的積分性質(zhì)，當(dāng)無單元法形函數(shù)具有Kronecker delta性質(zhì)時(shí)，離散方程的右端項(xiàng)F的元素表達(dá)式為式36)，當(dāng)無單元法形函數(shù)不具有Kroneckerdelta性質(zhì)時(shí)，離散方程的右端項(xiàng)F的元素表達(dá)式為式37)：

其中，f_i表示右端項(xiàng)F的第i個(gè)元素；

最終獲得計(jì)算域?qū)?yīng)的離散方程：

KU＝F 38)。