[發(fā)明專利]對(duì)稱制造商與競(jìng)爭(zhēng)回收商在競(jìng)爭(zhēng)回收模式下的定價(jià)方法

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• 申請(qǐng)?zhí)枺?/td>: 201710209433.1
• 申請(qǐng)日: 2017-03-31
• 公開（公告）號(hào): CN106875020A
• 公開（公告）日: 2017-06-20
• 發(fā)明（設(shè)計(jì)）人: 丁楊科;馮定忠;王亞良
• 申請(qǐng)（專利權(quán)）人: 浙江工業(yè)大學(xué)
• 主分類號(hào): G06Q10/00
• 分類號(hào): G06Q10/00;G06Q30/02
• 代理公司: 杭州浙科專利事務(wù)所(普通合伙)33213
• 代理人: 吳秉中

1.一種對(duì)稱制造商與競(jìng)爭(zhēng)回收商在競(jìng)爭(zhēng)回收模式下的定價(jià)方法，其特征在于：所述對(duì)稱制造商指的是規(guī)模大小相同的第一制造商和第二制造商，競(jìng)爭(zhēng)回收商指的是相互之間存在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的第一回收商和第二回收商，該定價(jià)方法包括如下步驟：

1)建立制造商j的市場(chǎng)需求函數(shù)：假設(shè)市場(chǎng)對(duì)產(chǎn)品的需求為線性函數(shù)，則制造商j的市場(chǎng)需求函數(shù)為：

$d_j^k={\mathrm{\α}}_j-p_j^k+{\mathrm{\βp}}_{3-j}^k,j=1,2---\left(1\right)$

式中，j表示制造商，j＝1是表示制造商j為第一制造商，j＝2是表示制造商j為第二制造商，k表示回收模式，其中k＝c時(shí)表示回收模式為第一回收商和第二回收商相互競(jìng)爭(zhēng)的競(jìng)爭(zhēng)回收模式，α_j表示制造商j的市場(chǎng)容量大小，α_j>0；β表示市場(chǎng)需求的彈性系數(shù)，即相應(yīng)制造商產(chǎn)品的可替代程度，0≤β<1；

則在競(jìng)爭(zhēng)回收模式下，第一制造商的市場(chǎng)需求函數(shù)為：

$d_1^c={\mathrm{\&alpha;}}_1-p_1^c+{\mathrm{\&beta;p}}_2^c---\left(2\right)$

式中，α₁表示第一制造商的市場(chǎng)容量大小，表示第一制造商在競(jìng)爭(zhēng)回收模式下的銷售價(jià)格，表示第二制造商在競(jìng)爭(zhēng)回收模式下的銷售價(jià)格；

第二制造商的市場(chǎng)需求函數(shù)為：

$d_2^c={\mathrm{\&alpha;}}_2-p_2^c+{\mathrm{\&beta;p}}_1^c---\left(3\right)$

式中，α₂表示第二制造商的市場(chǎng)容量大小；

2)建立在第一回收商和第二回收商回收成本消耗與規(guī)模經(jīng)濟(jì)因素均相同的情況下第一制造商和第二制造商的最佳利潤(rùn)函數(shù)：

由于第一制造商和第二制造商為對(duì)稱制造商，則α₁＝α₂＝α，假設(shè)第一回收商的回收成本η_A和第二回收商的回收成本η_B消耗相同，即η_A＝η_B＝η，同時(shí)假設(shè)第一回收商的規(guī)模經(jīng)濟(jì)因素θ_A和第二回收商的規(guī)模經(jīng)濟(jì)因素θ_B相同，即θ_A＝θ_B＝θ，則可以得出第一制造商的最佳利潤(rùn)函數(shù)為：

$\begin{array}{c}\underset{p_1^c}{\max }{\&Pi;}_1^c=(p_1^c-c_m)(1-\mathrm{\&sigma;})(\mathrm{\&alpha;}-p_1^c+{\mathrm{\&beta;p}}_2^c)+(p_1^c-c_r)\mathrm{\&sigma;}(\mathrm{\&alpha;}-p_1^c+{\mathrm{\&beta;p}}_2^c)\\ -t_A^c\mathrm{\&tau;}(\mathrm{\&alpha;}-p_1^c+{\mathrm{\&beta;p}}_2^c)\\ =(p_1^c-c_m+\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)-t_A^c\mathrm{\&tau;})(\mathrm{\&alpha;}-p_1^c+{\mathrm{\&beta;p}}_2^c)\end{array}---\left(4\right)$

式中，c_m表示制造商制造新產(chǎn)品成本，c_r表示制造商制造再制品成本，其中c_r<c_m，σ表示廢舊品再制造率，為第一回收商回收每單位廢舊品向第一制造商和第二制造商收取的回收費(fèi)用，τ為廢舊品的回收率，且0<τ≤1；

第二制造商的最佳利潤(rùn)函數(shù)為：

$\begin{array}{c}\underset{p_2^c}{\max }{\&Pi;}_2^c=(p_2^c-c_m)(1-\mathrm{\&sigma;})(\mathrm{\&alpha;}-p_2^c+{\mathrm{\&beta;p}}_1^c)+(p_2^c-c_r)\mathrm{\&sigma;}(\mathrm{\&alpha;}-p_2^c+{\mathrm{\&beta;p}}_1^c)\\ -t_B^c\mathrm{\&tau;}(\mathrm{\&alpha;}-p_2^c+{\mathrm{\&beta;p}}_1^c)\\ =(p_2^c-c_m+\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)-t_B^c\mathrm{\&tau;})(\mathrm{\&alpha;}-p_2^c+{\mathrm{\&beta;p}}_1^c)\end{array}---\left(5\right)$

式中，為第二回收商回收每單位廢舊品向第一制造商和第二制造商收取的回收費(fèi)用；

3)建立回收商的回收量函數(shù)：

在競(jìng)爭(zhēng)回收模式下，由于第一回收商和第二回收商分別與第一制造商和第二制造商簽訂回收協(xié)議，回收商用i表示，i＝A時(shí)表示第一回收商，i＝B時(shí)表示第二回收商，因此，第一回收商的回收量可表示為：

${\mathrm{\&omega;}}_A^c(t_A^c,t_B^c)=\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;d_1^c(p_1^c,p_2^c)---\left(6\right)$

第二回收商的回收量可表示為：

${\mathrm{\&omega;}}_B^c(t_A^c,t_B^c)=\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;d_2^c(p_1^c,p_2^c)---\left(7\right)$

4)根據(jù)回收商的回收量函數(shù)，建立回收商的最佳利潤(rùn)函數(shù)：

由于回收費(fèi)用的大小與產(chǎn)品市場(chǎng)規(guī)模經(jīng)濟(jì)、回收率有關(guān)，因此，根據(jù)回收成本公式可以得出在第一回收商的最佳利潤(rùn)函數(shù)為：

$\underset{t_A^c}{\max }{\&Pi;}_A^c=(t_A^c+r)\&CenterDot;{\mathrm{\&omega;}}_A^c(t_A^c,t_B^c)-\&lsqb;{\mathrm{\&eta;}}_A\&CenterDot;{\mathrm{\&omega;}}_A^c(t_A^c,t_B^c)-{\mathrm{\&theta;}}_A\&CenterDot;{\left({\mathrm{\&omega;}}_A^c\right(t_A^c,t_B^c\left)\right)}^2\&rsqb;---\left(8\right)$

式中，η_i表示在不受規(guī)模經(jīng)濟(jì)影響下，回收商回收單位廢舊品所需消耗的費(fèi)用；η_A表示在不受規(guī)模經(jīng)濟(jì)影響下，第一回收商回收單位廢舊品所需消耗的費(fèi)用，η_B表示在不受規(guī)模經(jīng)濟(jì)影響下，第二回收商回收單位廢舊品所需消耗的費(fèi)用；θ_i表示規(guī)模經(jīng)濟(jì)因素；

同時(shí)，第二回收商的最佳利潤(rùn)函數(shù)為：

$\underset{t_B^c}{\max }{\&Pi;}_B^c=(t_B^c+r)\&CenterDot;{\mathrm{\&omega;}}_B^c(t_A^c,t_B^c)-\&lsqb;{\mathrm{\&eta;}}_B\&CenterDot;{\mathrm{\&omega;}}_B^c(t_A^c,t_B^c)-{\mathrm{\&theta;}}_B\&CenterDot;{\left({\mathrm{\&omega;}}_B^c\right(t_A^c,t_B^c\left)\right)}^2\&rsqb;---\left(9\right)$

5)使用逆向歸納法對(duì)制造商j與回收商i的最優(yōu)利潤(rùn)函數(shù)分別進(jìn)行求解：

在階段二的博弈中，制造商根據(jù)制造商之間的競(jìng)爭(zhēng)制定銷售價(jià)格定價(jià)策略，首先第一制造商能根據(jù)給定一組回收商向制造商收取的回收費(fèi)用求解出使其利潤(rùn)達(dá)到最大的銷售價(jià)格對(duì)第一制造商的利潤(rùn)函數(shù)關(guān)于決策變量求一階導(dǎo)數(shù)，并令其一階導(dǎo)數(shù)為0，即

$\frac{\&part;{\&Pi;}_1^c}{\&part;p_1^c}=\mathrm{\&alpha;}-p_1^c+{\mathrm{\&beta;p}}_2^c-(p_1^c-c_m+\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)-t_A^c\mathrm{\&tau;})=0---\left(10\right)$

對(duì)該式求解可得第一制造商利潤(rùn)最優(yōu)時(shí)的銷售價(jià)格對(duì)于第二制造商任意銷售價(jià)格第一制造商的銷售價(jià)格決策最優(yōu)的反應(yīng)函數(shù)是

$p_1^c\left(p_2^c\right)=\frac{\mathrm{\&alpha;}+c_m-\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)+{\mathrm{\&beta;p}}_2^c+t_A^c\mathrm{\&tau;}}{2}---\left(11\right)$

同理，第二制造商根據(jù)給定一組回收商向制造商收取的回收費(fèi)用求解出使其利潤(rùn)達(dá)到最大的銷售價(jià)格對(duì)第二制造商的利潤(rùn)函數(shù)關(guān)于決策變量求一階導(dǎo)數(shù)，并令其一階導(dǎo)數(shù)為0，即

$\frac{\&part;{\&Pi;}_2^c}{\&part;p_2^c}=\mathrm{\&alpha;}-p_2^c+{\mathrm{\&beta;p}}_1^c-(p_2^c-c_m+\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)-t_B^c\mathrm{\&tau;})=0---\left(12\right)$

求解即可得到第二制造商利潤(rùn)最優(yōu)時(shí)的銷售價(jià)格對(duì)于第一制造商的任意銷售價(jià)格第二制造商的銷售價(jià)格決策最優(yōu)的反應(yīng)函數(shù)是

$p_2^c\left(p_1^c\right)=\frac{\mathrm{\&alpha;}+c_m-\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)+{\mathrm{\&beta;p}}_1^c+t_B^c\mathrm{\&tau;}}{2}---\left(13\right)$

將第一制造商和第二制造商決策優(yōu)化的反應(yīng)函數(shù)聯(lián)立，即聯(lián)立公式(11)和公式(13)，求得第一制造商銷售價(jià)格的Nash均衡解為：

$p_1^c(t_A^c,t_B^c)=\frac{(2+\mathrm{\&beta;})(\mathrm{\&alpha;}+c_m-\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r\left)\right)+(2t_A^c+t_B^c)\mathrm{\&tau;}}{4-{\mathrm{\&beta;}}^2}---\left(14\right)$

第二制造商的銷售價(jià)格的Nash均衡解為：

$p_2^c(t_A^c,t_B^c)=\frac{(2+\mathrm{\&beta;})(\mathrm{\&alpha;}+c_m-\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r\left)\right)+({\mathrm{\&beta;t}}_A^c+2t_B^c)\mathrm{\&tau;}}{4-{\mathrm{\&beta;}}^2}---\left(15\right)$

在階段一的博弈中，回收商根據(jù)回收的廢舊品設(shè)置回收費(fèi)用，回收商A的回收量分別為：

${\mathrm{\&omega;}}_A^c=\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;d_1^c(p_1^c,p_2^c)=\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;(\mathrm{\&alpha;}-p_1^c+{\mathrm{\&beta;p}}_2^c)---\left(16\right)$

回收商B的回收量為：

${\mathrm{\&omega;}}_B^c=\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;d_2^c(p_1^c,p_2^c)=\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;(\mathrm{\&alpha;}-p_2^c+{\mathrm{\&beta;p}}_1^c)---\left(17\right)$

將公式(14)和公式(15)分別代入公式(16)和公式(17)，得到回收商A的回收量為：

${\mathrm{\&omega;}}_A^c=\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;(\mathrm{\&alpha;}+\frac{(\mathrm{\&beta;}-1)(2+\mathrm{\&beta;})(\mathrm{\&alpha;}+c_m-\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r\left)\right)+({\mathrm{\&beta;}}^2-2)t_A^c\mathrm{\&tau;}+{\mathrm{\&beta;t}}_B^c\mathrm{\&tau;}}{4-{\mathrm{\&beta;}}^2})---\left(18\right)$

回收商B的回收量為：

${\mathrm{\&omega;}}_B^c=\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;(\mathrm{\&alpha;}+\frac{(\mathrm{\&beta;}-1)(2+\mathrm{\&beta;})(\mathrm{\&alpha;}+c_m-\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r\left)\right)+{\mathrm{\&beta;t}}_A^c\mathrm{\&tau;}+({\mathrm{\&beta;}}^2-2)t_B^c\mathrm{\&tau;}}{4-{\mathrm{\&beta;}}^2})---\left(19\right)$

對(duì)于公式(18)和公式(19)分別關(guān)于與求導(dǎo)，可得：

$\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}_A^c}{\&part;t_A^c}=\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}_B^c}{\&part;t_B^c}=\frac{({\mathrm{\&beta;}}^2-2){\mathrm{\&tau;}}^2}{4-{\mathrm{\&beta;}}^2}---\left(20\right)$

第一回收商總能根據(jù)第二回收商的回收費(fèi)用求解出使其利潤(rùn)到達(dá)最大的銷售價(jià)格對(duì)第一回收商的利潤(rùn)函數(shù)關(guān)于決策變量求一階導(dǎo)數(shù)，并令其一階導(dǎo)數(shù)為0，即可求得第一回收商利潤(rùn)最優(yōu)時(shí)的回收費(fèi)用

$\frac{\&part;{\&Pi;}_A^c}{\&part;t_A^c}={\mathrm{\&omega;}}_A^c+(t_A^c+r)\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}_A^c}{\&part;t_A^c}-\mathrm{\&eta;}\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}_A^c}{\&part;t_A^c}+2{\mathrm{\&theta;\&omega;}}_A^c\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}_A^c}{\&part;t_A^c}=0---\left(21\right)$

將公式(18)和公式(20)代入公式(21)中，簡(jiǎn)化整理可得第一回收商的回收費(fèi)用決策優(yōu)化的反應(yīng)函數(shù)：

$\begin{array}{c}{t}_A^c\left(t_B^c\right)=\frac{1}{2\mathrm{\&tau;}(4-{\mathrm{\&beta;}}^2)({\mathrm{\&beta;}}^2-2)+2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^3{({\mathrm{\&beta;}}^2-2)}^2}\&CenterDot;(-2(\mathrm{\&beta;}+2\left)\right((4-{\mathrm{\&beta;}}^2+\\ 2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2\left({\mathrm{\&beta;}}^2-2\right))(\mathrm{\&alpha;}+(c_m-\mathrm{\&sigma;}\left(c_m-c_r\right)\left)\right(\mathrm{\&beta;}-1\left)\right)+(2-\mathrm{\&beta;})(r-\mathrm{\&eta;})\&CenterDot;\\ ({\mathrm{\&beta;}}^2-2)\mathrm{\&tau;})-(\left(4-{\mathrm{\&beta;}}^2\right)\mathrm{\&beta;}\mathrm{\&tau;}+2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^3\mathrm{\&beta;}\left({\mathrm{\&beta;}}^2-2\right)\left)t_B^3\right))\end{array}---\left(22\right)$

同理，第二回收商也總能根據(jù)給定的第一回收商的回收費(fèi)用求解出使其利潤(rùn)達(dá)到最大的銷售價(jià)格第二回收商的利潤(rùn)函數(shù)關(guān)于決策變量求一階導(dǎo)數(shù)，并令其一階導(dǎo)數(shù)為0，即可求得制造商利潤(rùn)最優(yōu)時(shí)的銷售價(jià)格

$\frac{\&part;{\&Pi;}_B^c}{\&part;t_B^c}={\mathrm{\&omega;}}_B^c+(t_B^c+r)\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}_B^c}{\&part;t_B^c}-\mathrm{\&eta;}\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}_B^c}{\&part;t_B^c}+2{\mathrm{\&theta;\&omega;}}_B^c\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}_B^c}{\&part;t_B^c}=0---\left(23\right)$

將公式(19)和公式(20)代入公式(23)中，整理簡(jiǎn)化可得第二回收商的回收費(fèi)用決策優(yōu)化的反應(yīng)函數(shù)：

$\begin{array}{c}{t}_B^c\left(t_A^c\right)=\frac{1}{2\mathrm{\&tau;}(4-{\mathrm{\&beta;}}^2)({\mathrm{\&beta;}}^2-2)+2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^3{({\mathrm{\&beta;}}^2-2)}^2}\&CenterDot;(-2(\mathrm{\&beta;}+2\left)\right((4-{\mathrm{\&beta;}}^2+\\ 2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2\left({\mathrm{\&beta;}}^2-2\right))(\mathrm{\&alpha;}+(c_m-\mathrm{\&sigma;}\left(c_m-c_r\right)\left)\right(\mathrm{\&beta;}-1\left)\right)+(2-\mathrm{\&beta;})(r-\mathrm{\&eta;})\&CenterDot;\\ ({\mathrm{\&beta;}}^2-2)\mathrm{\&tau;})-(\left(4-{\mathrm{\&beta;}}^2\right)\mathrm{\&beta;}\mathrm{\&tau;}+2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^3\mathrm{\&beta;}\left({\mathrm{\&beta;}}^2-2\right)\left)t_A^3\right))\end{array}---\left(24\right)$

將第一回收商回收費(fèi)用決策優(yōu)化的反應(yīng)函數(shù)和第二回收商的回收費(fèi)用決策優(yōu)化的反應(yīng)函數(shù)聯(lián)立，即將公式(22)和公式(24)聯(lián)立，得到第一回收商和第二回收商的回收費(fèi)用的Nash均衡解為：

$\begin{array}{c}{t}_A^{*c}=t_B^{*c}=\frac{1}{\mathrm{\&tau;}(-8+6\mathrm{\&beta;}+3{\mathrm{\&beta;}}^2-2{\mathrm{\&beta;}}^3+2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2(\mathrm{\&beta;}-1\left)\right({\mathrm{\&beta;}}^2-2\left)\right)}\&CenterDot;\left(\right({\mathrm{\&beta;}}^2-4-\\ 2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2\left({\mathrm{\&beta;}}^2-2\right))(\mathrm{\&alpha;}+(c_m-\mathrm{\&sigma;}\left(c_m-c_r\right)\left)\right(\mathrm{\&beta;}-1\left)\right)+(\mathrm{\&beta;}-2)(r-\mathrm{\&eta;})({\mathrm{\&beta;}}^2-2)\mathrm{\&tau;})\end{array}---\left(25\right)$

將求解得到的第一回收商和第二回收商的回收費(fèi)用的Nash均衡解與代入公式(14)和公式(15)中，可以得到第一制造商和第二制造商的均衡銷售價(jià)格為：

$\begin{array}{c}{p}_1^{*c}=p_2^{*c}=\frac{1}{-8+6\mathrm{\&beta;}+3{\mathrm{\&beta;}}^2-2{\mathrm{\&beta;}}^3+2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2\left(\mathrm{\&beta;}-1\right)\left({\mathrm{\&beta;}}^2-2\right)}\&CenterDot;\left(\left({\mathrm{\&beta;}}^2-2\right)\right(c_m-\\ \mathrm{\&sigma;}\left(c_m-c_r\right)-\left(r-\mathrm{\&eta;}\right)\mathrm{\&tau;})+2\mathrm{\&alpha;}({\mathrm{\&beta;}}^2-3-{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2\left({\mathrm{\&beta;}}^2-2\right)\left)\right)\end{array}---\left(26\right)$

將公式(25)和公式(26)代入公式(4)和公式(5)中，簡(jiǎn)化整理得到第一制造商和第二制造商的最優(yōu)利潤(rùn)與分別為：

${\&Pi;}_1^{*c}={\&Pi;}_2^{*c}={\left(\frac{({\mathrm{\&beta;}}^2-2)(\mathrm{\&alpha;}+(\mathrm{\&beta;}-1\left)\right(c_m-\mathrm{\&sigma;}\left(c_m-c_r\right)-\left(r-\mathrm{\&eta;}\right)\mathrm{\&tau;}\left)\right)}{-8+6\mathrm{\&beta;}+3{\mathrm{\&beta;}}^2-2{\mathrm{\&beta;}}^3+2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2(\mathrm{\&beta;}-1)({\mathrm{\&beta;}}^2-2)}\right)}^2---\left(27\right)$

將公式(16)、公式(17)、公式(25)和公式(26)代入公式(8)和(9)中，整理化簡(jiǎn)后得到回收商i的最優(yōu)利潤(rùn)與分別為：

$\begin{array}{c}{\&Pi;}_A^{*c}={\&Pi;}_B^{*c}=({\mathrm{\&beta;}}^2-2)({\mathrm{\&beta;}}^2-4-{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2({\mathrm{\&beta;}}^2-2\left)\right)\&CenterDot;\\ {\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}+(\mathrm{\&beta;}-1)(c_m-\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)-(r-\mathrm{\&eta;}\left)\mathrm{\&tau;}\right)}{-8+6\mathrm{\&beta;}+3{\mathrm{\&beta;}}^2-2{\mathrm{\&beta;}}^3+2{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2(\mathrm{\&beta;}-1)({\mathrm{\&beta;}}^2-2)}\right)}^2\end{array}---\left(28\right)$