[發(fā)明專利]基于絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法的繩系運(yùn)輸系統(tǒng)的動力學(xué)分析方法

有效

• 申請?zhí)枺?/td>: 201710160118.4
• 申請日: 2017-03-17
• 公開（公告）號: CN107122515B
• 公開（公告）日: 2020-06-23
• 發(fā)明（設(shè)計）人: 張宇靖;孫鑫;鐘睿;賈英宏;金磊
• 申請（專利權(quán)）人: 北京航空航天大學(xué)
• 主分類號: G06F30/20
• 分類號: G06F30/20;G06F119/14
• 代理公司: 北京慧泉知識產(chǎn)權(quán)代理有限公司 11232
• 代理人: 王順榮;唐愛華

1.基于絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法的繩系運(yùn)輸系統(tǒng)的動力學(xué)分析方法，其特征在于：具體步驟如下：

步驟一、系統(tǒng)假設(shè)

所謂的繩系運(yùn)輸系統(tǒng)包括兩顆衛(wèi)星位于系繩兩端和一個在系繩上運(yùn)動的運(yùn)輸艙；需要認(rèn)為系繩細(xì)而輕，這樣系繩才能在受力的時候產(chǎn)生較大的形變；為了簡化處理，僅考慮軌道平面內(nèi)的運(yùn)動，忽略系繩的面外運(yùn)動和其他的軌道平面外的運(yùn)動；

為了突出重點(diǎn)問題并簡化運(yùn)動方程，做如下假設(shè)：(1)地球的重力場是均勻的；(2)位于系繩兩端的衛(wèi)星被認(rèn)為是質(zhì)點(diǎn)；(3)忽略系繩的截面形變將系繩當(dāng)作一維的梁；(4)所有運(yùn)動發(fā)生在軌道平面；

步驟二、基于絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法進(jìn)行系統(tǒng)動力學(xué)建模

首先定義絕對斜率和絕對位移作為絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法中的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，并設(shè)計包含整體剛體模態(tài)的全局形狀函數(shù)；變形體中的任一點(diǎn)的位置向量描述為

r＝Se (1)

其中S是基于點(diǎn)初始位形的x軸坐標(biāo)的全局形狀函數(shù)；如果分解到相應(yīng)的軸的位移場被假定為一個三次多項式，則平面梁的單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)矢量e選擇為

其相應(yīng)的形函數(shù)為

S＝[S₁I S₂I S₃I S₄I] (3)

其中I是一個2×2的單位矩陣，S_j被表示為

S₁＝1-3ξ²+2ξ³,S₂＝l(ξ-2ξ²+ξ³),S₃＝3ξ²-2ξ³,S₄＝l(ξ³-ξ²) (4)

其中ξ是被選取點(diǎn)的無量綱坐標(biāo)，j＝1,2,3,4，定義為

ξ＝x/l (5)

式中l(wèi)為單元長度；

選取合理的坐標(biāo)系統(tǒng)來減少數(shù)值誤差；地心慣性系的選擇如下：原點(diǎn)位于地球中心，其中II坐標(biāo)軸指向衛(wèi)星1的初始位置；采用絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法進(jìn)行分析的軌道坐標(biāo)系各軸總是平行于慣性系，其中Y坐標(biāo)軸方向向上而X軸指向運(yùn)動的前進(jìn)方向；它的坐標(biāo)原點(diǎn)位于相對于慣性系位置向量為R_a的衛(wèi)星1的中心，并以軌道角速度ω₀的恒定角速度運(yùn)動；

使用上述形函數(shù)，將系繩的質(zhì)量矩陣表示為

M_t＝∫_VρS^TSdV (6)

衛(wèi)星1和2的質(zhì)量矩陣的增量表示為

M₁＝m₁S(0)^TS(0) (7)

M₂＝m₂S(l)^TS(l) (8)

所以相對于絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)包含衛(wèi)星1和2和系繩的整個系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣表示為

M_a＝M_t+M₁+M₂ (9)

運(yùn)動質(zhì)量塊的瞬時位置總是在系繩上，所以其位矢r_m表示為

r_m＝S(x_m)e (10)

式中：x_m為運(yùn)輸艙在系繩上的坐標(biāo)；

x_m用于與系繩上相應(yīng)固定點(diǎn)進(jìn)行區(qū)分，因為x_m是一個隨時間變化的量；所以運(yùn)動質(zhì)量的速度矢量為

由此，動能T表示為

式中：為S對x_m的偏導(dǎo)數(shù)；

相對于位置坐標(biāo)[e^T x_m]^T的運(yùn)輸艙的質(zhì)量矩陣M_m寫作

同時得到相對于廣義坐標(biāo)q＝[e^T x_m]^T的全系統(tǒng)質(zhì)量矩陣M

為了計算廣義彈性力，對單元采用線性彈性假設(shè)，得到應(yīng)變能U的表達(dá)式為

其中E是彈性模量，a是橫截面積，I是面積二次矩；u_l為單元縱向變形，u_t為單元橫向變形；

因此，以彈性勢梯度表示的彈性力表示為

對于廣義重力的計算，通過虛功原理得到；在軌道坐標(biāo)系內(nèi)重力對系繩上每一點(diǎn)所做的虛元功δW_gt為

式中：R_a為主星位置矢量，μ為地球引力常數(shù)，ρ為系繩密度，dV為系繩微元的體積；

由此得到整個系繩相對于絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的單元廣義重力Q_gt表達(dá)式

代表每段系繩的質(zhì)點(diǎn)的位置位于各段中心，然后將每段系繩所受的廣義重力求和作為系繩的廣義重力代入動力學(xué)方程，即

其中n是總段數(shù)，Q_gti是第i段的廣義重力；n的值越大，廣義重力的計算就越精確；為了得到Q_gti，計算簡化后的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m_ti和位置r_ti,質(zhì)量m_ti的表示為：m_ti＝ρa(bǔ)l/n,位置r_ti表示為

由此，Q_gti表示為

對于衛(wèi)星1或2，用e表示的廣義重力Q_gj為

式中：m_k代表所對應(yīng)衛(wèi)星的質(zhì)量；

對于運(yùn)輸艙，重力所做的虛功δW_gm為

所以相對于q＝[e^T x_m]^T的運(yùn)輸艙的廣義重力Q_gm為

所以基于所選擇的廣義坐標(biāo)q的系統(tǒng)的總的廣義重力Q_g為

式中：Q_gm為相對于q＝[e^T x_m]^T的運(yùn)輸艙的廣義重力；

根據(jù)選取軌道坐標(biāo)系的方法，導(dǎo)致系統(tǒng)所受慣性力Q_i為

其中

式中：Q_it，Q_ij，Q_im分別為系繩、兩端衛(wèi)星和運(yùn)輸艙所受慣性力；

運(yùn)動的運(yùn)輸艙和系繩之間的非完整約束由相對速度v_r表示；相對速度v_r的方向沿著當(dāng)前位置系繩的切線；運(yùn)輸艙的絕對速度使用位置向量的時間導(dǎo)數(shù)與相對運(yùn)動關(guān)系兩種方式得到

式中：v_r是運(yùn)動的運(yùn)輸艙和系繩之間的非完整約束的相對速度；

所以求得運(yùn)輸艙在系繩上當(dāng)前位置的時間導(dǎo)數(shù)為

得到x_m的二階導(dǎo)數(shù)

將等式(32)重新表示為

其中C_q＝[0 1]，Q_c是等式(33)的余項；

步驟三、用拉格朗日即Lagrange乘子方法推導(dǎo)系統(tǒng)動力學(xué)方程

在建立動力學(xué)方程時，使用Lagrange乘子方法推導(dǎo)由一個系繩、2個視作質(zhì)點(diǎn)的衛(wèi)星和一個運(yùn)輸艙組成的整個系統(tǒng)的動力學(xué)方程；Lagrange乘子方法既適用于完整系統(tǒng)，也適用于非完整系統(tǒng)；

其中Q_e＝Q_g+Q_k+Q_i

選擇如下無量綱單元形函數(shù)

式中：I是單位矩陣，l為單元長度；

由此無量綱絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)表示為

式中：r₁和r₂為衛(wèi)星1和2的位置矢量；

同樣x_m應(yīng)該除以系繩長度；

ξ_m＝x_m/l (37)

式中：ξ_m是被選取點(diǎn)的無量綱坐標(biāo)；

同樣的方法也適用于質(zhì)量維度，從而最終得到的運(yùn)動方程

式中：M^*，Q^*_e分別為無量綱質(zhì)量陣，無量綱廣義坐標(biāo)和無量綱廣義力；為無量綱約束方程中的相關(guān)項；

步驟四、動力學(xué)解算

對于可能的運(yùn)動過程，分為子星在上和子星在下的兩種情況；設(shè)定系繩全長L；相對較重的主星位置矢量R_a，質(zhì)量為m₁；系繩另一端的子星的質(zhì)量設(shè)為m₂，而系繩上的運(yùn)輸艙的質(zhì)量為m_m；給出系繩的材料和幾何屬性,包括長度、橫截面積、密度、楊氏模量；并且在兩種情況中，系繩在開始時都處于非變形狀態(tài)；給出運(yùn)輸艙的運(yùn)動方式，是相對于系繩的速度變化；當(dāng)系繩速度達(dá)到設(shè)定值后保持不變，直到在釋放運(yùn)動中的運(yùn)輸艙和子衛(wèi)星之間的系繩的長度及在回收運(yùn)動中的運(yùn)輸艙和母船之間的系繩的長度小于所設(shè)定值100米；

再在Matlab平臺上，根據(jù)步驟三所得的動力學(xué)方程編寫此動力學(xué)方程的微分方程函數(shù)，即將動力學(xué)方程編為Matlab程序文件；得到此動力學(xué)方程的Matlab文件后，將上述所需參數(shù)的具體值代入，并選擇合適的解微分方程的Matlab數(shù)值解程序，求解得到系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)過程。