[發(fā)明專利]一種基于命題邏輯概率賦值的近似推理模式算法

在審

• 申請(qǐng)?zhí)枺?/td>: 201610025025.6
• 申請(qǐng)日: 2016-01-14
• 公開(kāi)（公告）號(hào): CN105701545A
• 公開(kāi)（公告）日: 2016-06-22
• 發(fā)明（設(shè)計(jì)）人: 張家錄;陳雪剛;吳霞;周彤;陸汝華;蔣勵(lì)
• 申請(qǐng)（專利權(quán)）人: 湘南學(xué)院
• 主分類號(hào): G06N5/04
• 分類號(hào): G06N5/04
• 代理公司: 北京科億知識(shí)產(chǎn)權(quán)代理事務(wù)所(普通合伙) 11350
• 代理人: 湯東鳳

1.一種基于命題邏輯概率賦值的近似推理模式算法，其特征在于，包括以下步驟：

(一)命題邏輯的概率賦值：

設(shè)S＝{q₁,q₂…}為原子公式集,q表示原子公式,F(S)是由S生成的型自由代數(shù),稱 F(S)中的元素為命題公式,設(shè)(Ω,Λ,P)是概率空間,Λ中的元素稱為事件,對(duì)α,β∈Λ規(guī)定 α→β＝(Ω-α)∪β,則是型代數(shù),并且也是Boolean代數(shù),Ω為必 然事件,是最大元,φ為不可能事件,是最小元；

定義1:①設(shè)(Ω,Λ)是σ-代數(shù),Λ中的元素也稱為事件,P是Λ上的概率,稱型 同態(tài)v:F(S)→Λ為F(S)的(事件)賦值,即有

v(A→B)＝v(A)→v(B).

公式A的賦值的概率P(v(A))稱為的概A率真值.易知

P(v(A→B))＝P(v(A)→v(B))＝P((Ω-v(A))∪v(B))＝P((Ω-v(A))∪(v(A)∩v(B))) ＝1-P(v(A))+P(v(A)∩v(B)).為了與通常的命題邏輯賦值概念相區(qū)別,公式的(事件)賦值 連同其概率真值稱為公式的概率賦值,F(S)上全體概率賦值之集記為Σ_P；

②設(shè)A∈F(S),若v∈Σ_P,有P(v(A))＝1,則稱A為概率重言式；若v∈Σ_P,有P(v(A))＝0, 則稱A為概率矛盾式,易證若v為F(S)的概率賦值,則

P(v(A∪B))＝P(v(A)∪v(B)),P(v(A∩B))＝P(v(A)∩v(B)).

由于F(S)是由S生成的自由代數(shù),故概率賦值v由它在S上的限制v|_S惟一確定.特別,當(dāng) 我們考慮的是F(S)的一個(gè)有限子集F時(shí),這時(shí)自然可以考慮概率賦值v:F(S)→Λ在F上的限 制v|_F；

定義2:設(shè)Ω＝{a,b,c},Ω的冪集ρ({a,b,c})上的概率空間:令v₁(q₁)＝φ,v₁(q₂)＝{a,b},v₁(q₃)＝{c},則v₁確定一個(gè)概率賦值, 如設(shè)則P(v₁(A))＝1；又令v₂(q₁)＝{a},v₂(q₂)＝,v₂(q₃)＝Ω,,則v₂確定另外一個(gè)概率賦值

定理1:如果A是重言式,則A是概率重言式.反之,當(dāng)(Ω,Λ,P)是正規(guī)概率空間(即 P({ω})＞0)時(shí),如果A為概率重言式,則A為重言式.對(duì)概率矛盾式有類似的結(jié)論.

定義3:設(shè)A,B∈F(S),若A→B為概率重言式,則稱A概率重言蘊(yùn)含B(簡(jiǎn)稱A重言蘊(yùn)含B), 記作.若且則稱A與B概率重言等價(jià)(簡(jiǎn)稱A與B重言等價(jià)),記作

注1:(a)有0≤P(v(A))≤1；

(b)若A重言蘊(yùn)含B,則有P(v(A→B))＝1-P(v(A))+P(v(A)∩v(B))＝1,即有,P (v(A))＝P(v(A)∩v(B)).因此,P(v(A))＝P(v(A)∩v(B))≤P(v(B)).P(v(A)∩v(B))＝P(v (A))＝min{P(v(A)),P(v(B))},P(v(A)∪v(B))＝P(v(B))＝max{P(v(A)),P(v(B))}；

(c)若A與B重言等價(jià),則總有P(v(A))＝P(v(B))；

(d)若A與B是邏輯不相容,即A與B的合取式A∧B為矛盾式,則P(v(A∨B))＝P(v(A)∪v (B))＝P(v(A))+P(v(B))-P(v(A∧B))＝P(v(A))+P(v(B))；

(e)如果有v(A)與v(B)獨(dú)立,則稱公式A與B獨(dú)立,這時(shí),P(v(A∨B))＝P(v(A∧ B))＝P(v(A)∩v(B))＝P(v(A))×P(v(B))；

以上的注說(shuō)明對(duì)任何一個(gè)賦值v,P(v(·))滿足Kolmogorov公理,即P(v(·))是全體公 式集F(S)上的概率.

設(shè)S＝{q₁,q₂…}為原子公式集,q表示原子公式,F(S)是由S生成的型自由代數(shù),稱 F(S)中的元素為命題公式,設(shè)(Ω,Λ,P)是概率空間,Λ中的元素稱為事件,對(duì)α,β∈Λ規(guī)定 α→β＝(Ω-α)∪β,則是型代數(shù),并且也是Boolean代數(shù),Ω為 必然事件,是最大元,φ為不可能事件,是最小元；

定義1:①設(shè)(Ω,Λ)是σ-代數(shù),Λ中的元素也稱為事件,P是Λ上的概率,稱型 同態(tài)v:F(S)→Λ為F(S)的(事件)賦值,即有

v(A→B)＝v(A)→v(B).

公式A的賦值的概率P(v(A))稱為的概A率真值.易知

P(v(A→B))＝P(v(A)→v(B))＝P((Ω-v(A))∪v(B))＝P((Ω-v(A))∪(v(A)∩v(B))) ＝1-P(v(A))+P(v(A)∩v(B)).為了與通常的命題邏輯賦值概念相區(qū)別,公式的(事件)賦值 連同其概率真值稱為公式的概率賦值,F(S)上全體概率賦值之集記為Σ_P；

②設(shè)A∈F(S),若v∈Σ_P,有P(v(A))＝1,則稱A為概率重言式；若v∈Σ_P,有P(v(A))＝0, 則稱A為概率矛盾式,易證若v為F(S)的概率賦值,則

P(v(A∪B))＝P(v(A)∪v(B)),P(v(A∩B))＝P(v(A)∩v(B)).

由于F(S)是由S生成的自由代數(shù),故概率賦值v由它在S上的限制v|_S惟一確定.特別,當(dāng) 我們考慮的是F(S)的一個(gè)有限子集F時(shí),這時(shí)自然可以考慮概率賦值v:F(S)→Λ在F上的限 制v|_F；

定義2:設(shè)Ω＝{a,b,c},Ω的冪集ρ({a,b,c})上的概率空間:令v₁(q₁)＝φ,v₁(q₂)＝{a,b},v₁(q₃)＝{c},則v₁確定一個(gè)概率賦值, 如設(shè)則P(v₁(A))＝1；又令v₂(q₁)＝{a},v₂(q₂)＝,v₂(q₃)＝Ω,,則v₂確定另外一個(gè)概率賦值

定理1:如果A是重言式,則A是概率重言式.反之,當(dāng)(Ω,Λ,P)是正規(guī)概率空間(即 P({ω})＞0)時(shí),如果A為概率重言式,則A為重言式.對(duì)概率矛盾式有類似的結(jié)論.

定義3:設(shè)A,B∈F(S),若A→B為概率重言式,則稱A概率重言蘊(yùn)含B(簡(jiǎn)稱A重言蘊(yùn)含B), 記作.若且則稱A與B概率重言等價(jià)(簡(jiǎn)稱A與B重言等價(jià)),記作

注1:(a)有0≤P(v(A))≤1；

(b)若A重言蘊(yùn)含B,則有P(v(A→B))＝1-P(v(A))+P(v(A)∩v(B))＝1,即有,P (v(A))＝P(v(A)∩v(B)).因此,P(v(A))＝P(v(A)∩v(B))≤P(v(B)).P(v(A)∩v(B))＝P(v (A))＝min{P(v(A)),P(v(B))},P(v(A)∪v(B))＝P(v(B))＝max{P(v(A)),P(v(B))}；

(c)若A與B重言等價(jià),則總有P(v(A))＝P(v(B))；

(d)若A與B是邏輯不相容,即A與B的合取式A∧B為矛盾式,則P(v(A∨B))＝P(v(A)∪v (B))＝P(v(A))+P(v(B))-P(v(A∧B))＝P(v(A))+P(v(B))；

(e)如果有v(A)與v(B)獨(dú)立,則稱公式A與B獨(dú)立,這時(shí),P(v(A∨B))＝P(v(A∧ B))＝P(v(A)∩v(B))＝P(v(A))×P(v(B))；

以上的注說(shuō)明對(duì)任何一個(gè)賦值v,P(v(·))滿足Kolmogorov公理,即P(v(·))是全體公 式集F(S)上的概率.

(二)命題邏輯的概率真度理論：

因?yàn)楦怕寿x值v:F(S)→Λ由它在S上的限制唯一確定,亦即每一個(gè)映射v:S→Λ都可唯 一擴(kuò)充為一個(gè)概率賦值,因此若v(q_k)＝v_k(k＝1,2,…),則并 稱T(v)＝(v₁,v₂,…)為一個(gè)賦值狀態(tài),此處Λ_k＝Λ,且不表示通常的無(wú)窮乘積代 數(shù)而是被看作為集合Λ_k(k＝1,2,…)的無(wú)窮乘積(以下記之為Λ^∞).反之,若 則存在唯一概率賦值v∈Σ_P使得v(q_k)＝v_k(k＝1,2,…).因此 是1-1映射.

設(shè)Λ^*是乘積空間Λ^∞上的一個(gè)σ-代數(shù),μ^*是Λ^*上的概率測(cè)度.通過(guò)映射可將Λ^*上的 概率測(cè)度μ^*轉(zhuǎn)化為Σ_P上的概率測(cè)度μ,即對(duì)若則記稱μ為μ^*的導(dǎo)出概率測(cè)度.又記則(Σ_P,Θ,μ)是一個(gè)概率測(cè)度空 間,并稱之為由(Λ^∞,Λ^*,μ^*)的導(dǎo)出概率測(cè)度空間.

按照計(jì)量邏輯觀點(diǎn),一個(gè)公式A可決定全體概率賦值集Σ_P上的一個(gè)函數(shù):

A:Σ_P→[0,1],A(v)＝P(v(A)).

定義4:設(shè)Λ^*是Λ^∞上的σ-代數(shù),μ^*是Λ^*上的一概率測(cè)度,(Σ_P,Θ,μ)是由(Λ^∞,Λ^*,μ^*) 導(dǎo)出的概率測(cè)度空間,則稱

為命題公式A的概率真度.

注2:設(shè)A＝A(q₁,q₂,…,q_t)是一個(gè)有t個(gè)原子公式的公式,通過(guò)以上映射對(duì)概率真度 作以下的形式轉(zhuǎn)換有助于概率真度的計(jì)算.明顯地,公式A確定一個(gè)如下的t元函數(shù):

記則易證Δ^t是Λ^t上的σ-代數(shù).因此若定義

μ^*(t):Λ^t→[0,1],

則μ^*(t)是有限乘積空間Λ^t上的概率測(cè)度,稱為μ^*在Λ^t上的限制,此時(shí)可得概率真度的 如下計(jì)算公式

對(duì)一個(gè)有t個(gè)原子的公式A＝A(q₁,q₂,…,q_t),t元函數(shù)當(dāng)然也可以按如 下方式看作t+i元函數(shù):

因此,概率真度有如下的積分形式不變性質(zhì).

命題1:設(shè)A＝A(q₁,q₂,…,q_t)是一個(gè)有t個(gè)原子的公式,則有

注3:設(shè)Ω＝{ω₁,ω₂,…,ω_m}是有限概率空間,公式A＝A(q₁,q₂,…,q_t),記Auto＝{q₁, q₂,…,q_t}為A中出現(xiàn)的全部原子公式之集,v∈Σ_P是A的一個(gè)概率賦值,則稱T_A(v)＝(v(q₁), v(q₂),…,v(q_t))∈Λ^t是公式A的一個(gè)真值狀態(tài).又記A的全體真值狀態(tài)(總共有l(wèi)＝2^tm個(gè))之 集為T(mén)_A(v)＝{T_A(v₁),…,T_A(v_l)},P_t是T_A上的正規(guī)概率分布,即0＜P_t(T_A(v_i))＜1(i＝1, 2,…,l),若記P_k＝P(k＝t+1,t+2,…),由于Λ^∞可視為Λ^t,Λ_t+1,Λ_t+2,… 的無(wú)窮乘積空間,則由P_t,P_t+1,P_t+2,…也可以生成上唯一概率測(cè)度μ^*＝P_t× P_t+1×…,使得對(duì)于T_A(v_i),都是μ^*-可測(cè)集,且

所以

特別地,如果P_t是T_A上的均勻概率分布,即P_t(T_A(v_i))＝1/2^tm,則

命題2:概率真度具有以下性質(zhì)

(1)0≤τ(A)≤1.

(2)若A與B邏輯等價(jià),則τ(A)＝τ(B).

(3)若A為重言式(矛盾式),則τ(A)＝1(τ(A)＝0).

(4)

(5)τ(A∨B)＝τ(A)+τ(B)-τ(A∧B).

(6)若A→B為重言式,則τ(A)≤τ(B).

證明:(1)-(4)易證.(5)對(duì)v∈Σ_P,

(A∨B)(v)＝P(v(A∨B))＝P(v(A)∪v(B))

＝P(v(A))+P(v(B))-P(v(A)∩v(B))

＝P(v(A))+P(v(B))-P(v(A∧B))

＝A(v)+B(v)-(A∧B)(v).

所以

(6)

因A→B為重言式,故由(2)有τ(A→B)＝1.從而因此

因?yàn)榈葍r(jià)的邏輯公式有相等的概率真度,從而當(dāng)把一個(gè)含有n個(gè)原子的公式視為與之 等價(jià)的含n個(gè)以上原子的公式時(shí),其真度不會(huì)變化.如公式A＝q₁→q₂是含有2個(gè)原子的公式, 另有一個(gè)與A等價(jià)但含有3個(gè)原子的公式則A與B有相等的概率 真度.這也就是說(shuō),命題公式的概率度有形式上的不變性.

(三)賦值為獨(dú)立事件的公式真度：

對(duì)一般的概率賦值v,不一定有P(v(q₁∧q₂))＝P(v(q₁))×P(v(q₂)),但當(dāng)賦值v的取值 限制在Ω中的獨(dú)立事件時(shí),上述式子是成立的,這部分討論的是基于這些賦值的部分真度 的性質(zhì).

設(shè)且Λ₀中的事件兩兩獨(dú)立.又設(shè)v是如下形式的賦值:對(duì)任何原子公式q, 值v(q)在Λ₀中,這樣取值于獨(dú)立事件的賦值全體記為Σ₀.以下假設(shè)是μ-可測(cè) 集.

命題3:設(shè)v∈Σ₀,公式A,B由不同的原子公式構(gòu)成,則P(v(A∧B))＝P(v(A))×P(v(B)).

證明:設(shè)v∈Σ₀,A,B是兩個(gè)不含相同原子公式的公式.以下對(duì)A,B中原子公式的個(gè)數(shù)用 歸納法證明結(jié)論成立.

首先假設(shè)A只含有一個(gè)原子公式q₁.

(1)當(dāng)B也只含有一個(gè)原子公式r₁時(shí),則

P(v(q₁∧r₁))＝P(v(q₁)∩v(r₁))＝P(v(q₁))×P(v(r₁)).

或者

此時(shí)結(jié)論成立.

(2)設(shè)當(dāng)B＝B(k)包含有不超過(guò)k個(gè)原子公式時(shí)結(jié)論成立,下證對(duì)含有k+1個(gè)原子公式的 公式B結(jié)論也成立.

注意到F(S)中的公式都由原子公式和聯(lián)結(jié)詞自由生成且聯(lián)結(jié)詞之間有關(guān)系式: 故B必為B(k+1)或且B(k+1)為以下形式 之一:B(k+1)＝B(k)∨r_k+1,

P(v(q₁∧(B(k)∨r_k+1)))

＝P((v(q₁)∩v(B(k)))∪(v(q₁)∩v(r_k+1)))

＝P(v(q₁)∩v(B(k)))+P(v(q₁)∩v(r_k+1))-P(v(q₁)∩v(B(k))∩v(r_k+1))

＝P(v(q₁))×P(v(B(k)))+P(v(q₁))×P(v(r_k+1))-P(v(q₁))×P(v(B(k))×P(v(r_k+1))

＝P(v(q₁))×(P(v(B(k)))+P(v(r_k+1))-P(v(B(k)))×P(v(r_k+1))

＝P(v(q₁))×(P(v(B(k)))+P(v(r_k+1))-P(v(B(k))∩v(r_k+1))

＝P(v(q₁))×P(v(B(k))∪v(r_k+1))

＝P(v(q₁))×P(v(B(k)∨r_k+1)).

類似可證其它兩種情形,且

因此,對(duì)含有k+1個(gè)原子公式的公式B結(jié)論成立,即P(v(q₁∧B))＝P(v(q₁))×P(v(B)).

其次,如果公式B有多個(gè)原子公式,類似于以上的證明,有

P(v(A∧B))＝P(v(A))×P(v(B)).

定義5:記稱τ₀(A)為公式A的基于獨(dú)立事件賦 值集Σ₀的真度.

定理2:設(shè)公式A和B沒(méi)有共同的原子公式,則τ₀(A∧B)＝τ₀(A)×τ₀(B).

證明:為表示的方便,不妨設(shè)因A和B沒(méi)有共同的原子公式,故公式A∧B一個(gè)賦值v 也相應(yīng)確定了公式A的一個(gè)賦值和公式B的一個(gè)賦值于是

命題4:若記B(n)＝q₁∧q₂∧…∧q_n,A(n)＝q₁∨q₂∨…∨q_n,則有

證明:若記則由以上命題和定理,有

由知因此又

由知因此

定理3:全部公式基于賦值集Σ₀的真度之集{τ₀(A)|A∈F(S)}在[0,1]中沒(méi)有孤立點(diǎn).

證明:設(shè)A＝A(q₁,q₂,…,q_n)∈F(S),ε＞0.以下證存在公式B∈F(S),使得

|τ₀(A)-τ₀(B)|＜ε且τ₀(A)≠τ₀(B).

(1)τ₀(A)＝0,則有公式B(k)＝q_n+1∧…∧q_n+k,使得τ₀(B(k))＜ε.取B＝B(k),則|τ₀(A)- τ₀(B)|＝τ₀(B(k))＜ε.

(2)τ₀(A)＝1,令則τ₀(B)＝1-τ₀(B(k))≠τ₀(A)＜ε,且|τ₀(A)-τ₀(B)|＜ε.

(3)0＜τ₀(A)＜1,令B＝A∨B(k),則有

τ₀(B)＝τ₀(A)+τ₀(B(k))-τ₀(A∧B(k))＝τ₀(A)+τ₀(B(k))-τ₀(A)∧τ₀(B(k)).

從而τ₀(A)≠τ₀(B),且

|τ₀(A)-τ₀(B)|＝τ₀(B(k))(1-τ₀(A))＜τ₀(B(k))＜ε.

定理4:若記則或

證明:分或兩種情形證明.

(1)假設(shè)則

因有不等式1-x≤e^-x,故又由假設(shè) 因此即證

(2)假設(shè)由于故有

由于故因此

(四)形式推演中結(jié)論的不可靠度估計(jì)：

定義6:稱為公式A的不可靠度.

定義7:設(shè)A^*∈F(S),如果{A₁,A₂,…,A_n}├A^*,則稱 為有效推理,且稱A₁,A₂,…,A_n為該推理的前提,A^*為該推理的結(jié) 論.

設(shè)為有效推理,這時(shí)可能某些前提是不必要的,即,結(jié)論A^*也 可能是{A₁,A₂,…,A_n}的某真子集(k＜n)的結(jié)論.為區(qū)分各前提在推理中的必要 性,以有文獻(xiàn)引入了如下的前提必要度概念:

定義8:設(shè)是有效推理,以Γ記{A₁,A₂,…,A_n},對(duì)Γ的子集E,如 果結(jié)論A^*不能從Γ-E中的前提推出,則稱E為必要前提集.設(shè)A_i是Γ中的任一前提,以δ(A_i) 記Γ中包含著A_i的個(gè)數(shù)最少的必要前提集(簡(jiǎn)稱極小前提集)中前提的個(gè)數(shù),令e(A_i)＝1/δ (A_i),稱e(A_i)為A_i的必要度.如果不存在包含A_i的極小前提集,則規(guī)定e(A_i)＝0.

定理5:設(shè)是有效推理,則結(jié)論A^*的平均不可靠度不超過(guò)各前提 的平均不可靠度與其必要度的乘積之和,即

U(A^*)≤e(A₁)U(A₁)+e(A₂)U(A₂)+…+e(A_n)U(A_n).

證明:記Γ＝{A₁,A₂,…,A_n}.由概率真度的形式不變性,不妨設(shè)全部公式中出現(xiàn)有t個(gè) 原子公式.對(duì)任一概率賦值v∈Σ_P,其真值狀態(tài)為T(mén)(v).由于對(duì)任一賦值v,μ(v(·))可看作 是Γ上的概率,故公式A₁,A₂,…,A_n,A^*的不可靠度分別為1-μ(v(A₁)),1-μ(v(A₂)),…,1-μ(v (A_n)),1-μ(v(A^*)),由概率邏輯學(xué)基本定理,有

1-μ(v(A^*))≤e(A₁)(1-μ(v(A₁)))+e(A₂)(1-μ(v(A₂)))+…+e(A_n)(1-μ(v(A_n))).

于是

所以

U(A^*)≤e(A₁)U(A₁)+e(A₂)U(A₂)+…+e(A_n)U(A_n).

上述定理的表述與概率邏輯學(xué)中基本定理相似,但概率邏輯學(xué)中的不可靠度是基于F (S)的有限子集Γ＝{A₁,A₂,…,A_n}上的概率分布得到,而上面定理5中的平均不可靠度是在 F(S)的全體概率賦值集上所定義的概念,它是基于概率真度(是全部公式集F(S)上的一個(gè) 概率分布)而得到.換一個(gè)角度說(shuō),概率邏輯學(xué)中的不可靠度是一個(gè)基于有限公式子集Γ上 概率分布的部分概念,而本文所引進(jìn)的隨機(jī)計(jì)量邏輯學(xué)的不可靠度則是一個(gè)基于整個(gè)公式 集F(S)上的全體概率分布(由概率賦值定義,它也可看作為全體公式集F(S)上的一個(gè)概率 分布)的整體概念,它的值是通過(guò)對(duì)公式集F(S)到概率空間的全部概率賦值進(jìn)行計(jì)算而得 到.

應(yīng)用上述定理還得到概率真度的如下性質(zhì):

命題5:設(shè)A,B,C∈F(S),α,β∈[0,1].

(1)若τ(A)≥α,τ(A→B)≥β,則τ(B)≥α+β-1；

(2)若τ(A→B)≥α,τ(B→C)≥β,則τ(A→C)≥α+β-1.

證明:(1)顯然A,是一個(gè)有效推理,且e(A)＝1,e(A→B)＝1,則

U(B)≤e(A)U(A)+e(A→B)U(A→B)

即τ(B)≥α+β-1.和(1)類似的方法可證(2).

推論1:設(shè)A,B,C∈F(S),α,β∈[0,1],

(1)若τ(A)＝1,τ(A→B)＝1,則τ(B)＝1；

(2)若τ(A→B)＝1,τ(B→C)＝1,則τ(A→C)＝1.

(五)基于概率賦值的近似推理模式:

定義9:設(shè)A∈F(S),D(Γ)表示全體Γ結(jié)論之集.

(i)如果存在和有限個(gè)公式使得 則稱A是Γ的a.e.結(jié)論.特別地,若Γ＝φ,則稱A是 一個(gè)a.e.定理.

(ii)如果δ＞0,存在有限個(gè)公式使得

則稱A是Γ的依概率結(jié)論.特別地,若Γ＝φ,則稱A是一個(gè)依概率定理.

(iii)如果存在有限個(gè)公式使得則 稱A是Γ的依概率真度結(jié)論.特別地,若Γ＝φ,則稱A是一個(gè)依概率真度定理.

注4:在經(jīng)典邏輯系統(tǒng)中,Γ＝{B₁,B₂,…,B_n}是有限公式集,A是一個(gè)Γ結(jié)論,則 是重言式,從而也是概率重言式,于是因此即 所以A是Γ的a.e.結(jié)論.

定理6:如果A是Γ的a.e.結(jié)論,則A是Γ的依概率結(jié)論.

證明:因A是Γ的a.e.結(jié)論,存在μ(N)＝0和有限公式使得 取單調(diào)下降序列則 單調(diào)增加,且

由概率的連續(xù)性有

因此,對(duì)任何的δ＞0,有K₁＞0使得當(dāng)k＞K₁時(shí)

另一方面,由知,任給ε＞0,有K₂＞0使得當(dāng)k＞K₂時(shí),ε_k＜ε.若取K＝max{K₁, K₂},則當(dāng)k＞K時(shí)

所以上述定理成立.

定理7:如果A是Γ的依概率結(jié)論,則A是Γ的依概率真度結(jié)論.

證明:任給ε＞0,由于A是Γ的依概率結(jié)論,存在有限公式使得

記因此

這就證明A是Γ的依概率真度結(jié)論.

根據(jù)以上結(jié)論,我們給出兩個(gè)基于概率賦值的近似推理模式.

定義10:設(shè)(Ω,Λ,P)是概率空間.A∈F(S),ε＞0,

(i)如果存在有限個(gè)公式使得

則稱A為Γ的依概率誤差小于ε的結(jié)論,記為特別地,當(dāng)Γ＝φ時(shí),稱A為 依概率誤差小于ε的定理,記為├_(μ,ε)A

(ii)如果存在有限個(gè)公式使得

則稱為Γ的依概率真度誤差小于ε的結(jié)論,記為特別地,當(dāng)Γ＝φ時(shí),稱A 為依真度誤差小于ε的定理,記為├_(τ,ε)A.

由定理6.4的證明,易知下面的結(jié)論成立.如果A是Γ的依概率誤差小于ε的結(jié)論,則A必 為Γ的依概率真度誤差小于2ε結(jié)論.

例:設(shè)Ω＝{a,b,c},P({a})＝1/2,P()＝1/4,P({c})＝1/4,2^Ω為Ω的冪集,Γ＝{q₁∨q₂,q₁∨q₃},A＝q₁.Γ∪{A}有2⁹＝512個(gè)不同的真值狀態(tài),記為T(mén)_?！葅A}＝{T(v₂),T(v₂),…, T(v₅₁₂)},其中v_i的編號(hào)順序如下:在給公式q₁,q₂,q₃賦值時(shí)分別按先φ,次{a},,{c},再 次{a,b},{b,c},{c,a},最后Ω的次序如,v₁(q₁)＝φ,v₁(q₂)＝φ,v₁(q₃)＝φ；v₂(q₁)＝φ, v₂(q₂)＝φ,v₂(q₃)＝{a}；v₃(q₁)＝φ,v₃(q₂)＝φ,v₃(q₃)＝；…；v₅₁₂(q₁)＝Ω,v₅₁₂(q₂)＝ Ω,v₅₁₂(q₃)＝Ω.又設(shè)T_?！葅A}上概率分布P_t為:其中常數(shù) 因?yàn)閝₁∨q₂→(q₁∨q₃→q₁)不是定理,故由(q₁∨q₂)∧(q₁∨ q₃),q₁∨(q₂∧q₃)可證等價(jià)和(q₁∨q₂)∧(q₁∨q₃)∈D(Γ)可知q₁∨(q₂∧q₃)∈D(Γ),且

于是,對(duì)ε＝0.02,有公式q₁∨(q₂∧q₃)∈D(Γ)使得τ(q₁∨(q₂∧q₃)→q₁)＞1-ε.因此A＝ q₁為Γ＝{q₁∨q₂,q₁∨q₃}的依概率真度誤差小于0.02的結(jié)論.

又因?yàn)閝₁∧(q₁∨q₂)∧(q₁∨q₃)與q₁可證等價(jià),取ε＝0.03,則有

μ({v:|((q₁∨q₂)∧(q₁∨q₃))(v)-(q₁∧(q₁∨q₂)∧(q₁∨q₃))(v)|≥0.03})

＝μ({v:|(q₁∨(q₂∧q₃))(v)-q₁(v)|≥0.03})

＝μ({v:|P(v(q₁)∪(v(q₂)∩v(q₃)))-P(v(q₁))|≥0.03})

＝0.0226＜0.03.

于是,對(duì)ε＝0.03,有公式q₁∨(q₂∧q₃)∈D(Γ)使得

μ({v:|((q₁∨q₂)∧(q₁∨q₃))(v)-(q₁∧(q₁∨q₂)∧(q₁∨q₃))(v)|≥ε})＜ε.

因此A＝q₁為Γ＝{q₁∨q₂,q₁∨q₃}的依概率誤差小于0.03的結(jié)論。