[發明專利]一種熱傳導熱源位置識別反問題的數值通解方法

有效

• 申請號: 201610017599.9
• 申請日: 2016-01-12
• 公開（公告）號: CN105677993B
• 公開（公告）日: 2018-12-11
• 發明（設計）人: 劉紅;蔣蘭芳;楊夢
• 申請（專利權）人: 浙江工業大學
• 主分類號: G06F17/50
• 分類號: G06F17/50
• 代理公司: 杭州浙科專利事務所(普通合伙) 33213
• 代理人: 吳秉中

1.一種熱傳導熱源位置識別反問題的數值通解方法，其特征在于包括如下步驟：

1)熱傳導源項位置識別反問題的描述

該熱傳導源項位置識別反問題描述如下：在熱源q_s作用下有溫度場θ(x,y,z)，求熱源q_s的參數，其中給定補充條件為測量點上給定測量溫度θ_d；

穩態熱傳導問題描述為如式(1)所示：

式中：θ(x,y,z)為溫度；為拉普拉斯微分算子；Ω為問題的定義域；b為第一類邊界條件；v為第三類邊界條件；w為第二類邊界條件，h為表面傳熱系數或對流換熱系數；θ_f為換熱介質溫度；q_s為熱源函數；λ為導熱系數，n為邊界法向，f₂為熱流密度；

2)若步驟1)所述的熱傳導源為點源，則直接進入步驟3)，若步驟1)所述的熱傳導源為非點源，則采用轉換算法，將非點源反問題轉化為點源反問題，再進入步驟3)；

3)解齊次解和特解，構造數值通解

根據微分方程解的基本理論，式(1)通解由齊次解與特解組成，其中齊次解是在式(1)中令q_s＝0求解得，特解則令q_s＝1求解得；

設問題(1)有k個不同位置的點源，熱源表達為：

式中：δ(x_i,y_i,z_i)為位置函數，(x_i,y_i,z_i)是位置參數；η_i為第i個點源的強度參數，穩態問題，η_i為常數；k為點源的個數；

a根據問題的性質或工程意義，對源項的位置給出其可能的位置范圍,

式(3)中第i個源項q_si的位置變量是(x_i,y_i,z_i)，該位置變量設其變化范圍為：x_i1≤x_i≤x_i2、y_i1≤y_i≤y_i2、z_i1≤z_i≤z_i2，其中x_i1,x_i2,y_i1,y_i2,z_i1,z_i2為已知值；引進無量綱位置參數變量有助于后續公式的簡化：且有

b只考慮變量x_i計算特解；

分別計算k個點源強度為η_i的有限元數值解，這里有限元數值解的含義是：對式(1)給出的問題定義域Ω，利用計算機通過有限元方法對第i個點源計算在2個端點(x_i1,x_i2)有強度為η_i的點熱源作用下定義域Ω內的溫度場，記為數值特解

令式(1)中q_s＝0，解得齊次解θ＝θ₁；采用無量綱位置參數變量，從而構造溫度場數值通解θ表示為：

式中：為對應坐標x_i的無量綱位置參數，是待求未知量；為點源i的特解；

通過給定補充條件，即在若干測量點上考慮數值通解(4)與給定測量溫度θ_d的誤差，得到問題的殘差平方費用函數，如下：

其中：m為測量點數；θ_dj為測量點j的測量溫度、θ_1j是測量點j的齊次解、是第i個點源在j點的特解；

源項識別反問題式(1)轉化為式(5)所表示的一個以熱源位置參數為變量的多元函數的極值問題，解得極值，求得反問題的解；

c對位置變量y_i,z_i，分別用y_i和z_i替代b步中的x_i重復b步中的計算過程，得到類似(5)式的分別以為變量的表達式，如(6)式給出，然后轉到步驟4)求解；

4)求解線性方程組，得到熱源位置參數

求式(5)、式(6)的極值問題，對位置參數變量求導數，即令：

式中：i對應第i個未知位置變量參數，p對應坐標的三個方向，其中1對應式(5)，2對應式(6)的第一個表達式，3對應式(6)的第二個表達式，由此得到計算點源位置參數的線性方程組：

A·α＝B (7)

其中：α為由k個點源組成的無量綱熱源位置參數向量，每一次求解只對應著某一個坐標方向；

求解式(7)后，根據求得的無量綱α得到熱源的位置參數，如下：