[發(fā)明專利]一種熱傳導(dǎo)熱源位置識(shí)別反問題的數(shù)值通解方法

有效

• 申請?zhí)枺?/td>: 201610017599.9
• 申請日: 2016-01-12
• 公開（公告）號(hào): CN105677993B
• 公開（公告）日: 2018-12-11
• 發(fā)明（設(shè)計(jì)）人: 劉紅;蔣蘭芳;楊夢
• 申請（專利權(quán)）人: 浙江工業(yè)大學(xué)
• 主分類號(hào): G06F17/50
• 分類號(hào): G06F17/50
• 代理公司: 杭州浙科專利事務(wù)所(普通合伙) 33213
• 代理人: 吳秉中

1.一種熱傳導(dǎo)熱源位置識(shí)別反問題的數(shù)值通解方法，其特征在于包括如下步驟：

1)熱傳導(dǎo)源項(xiàng)位置識(shí)別反問題的描述

該熱傳導(dǎo)源項(xiàng)位置識(shí)別反問題描述如下：在熱源q_s作用下有溫度場θ(x,y,z)，求熱源q_s的參數(shù)，其中給定補(bǔ)充條件為測量點(diǎn)上給定測量溫度θ_d；

穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題描述為如式(1)所示：

式中：θ(x,y,z)為溫度；為拉普拉斯微分算子；Ω為問題的定義域；b為第一類邊界條件；v為第三類邊界條件；w為第二類邊界條件，h為表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)或?qū)α鲹Q熱系數(shù)；θ_f為換熱介質(zhì)溫度；q_s為熱源函數(shù)；λ為導(dǎo)熱系數(shù)，n為邊界法向，f₂為熱流密度；

2)若步驟1)所述的熱傳導(dǎo)源為點(diǎn)源，則直接進(jìn)入步驟3)，若步驟1)所述的熱傳導(dǎo)源為非點(diǎn)源，則采用轉(zhuǎn)換算法，將非點(diǎn)源反問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)源反問題，再進(jìn)入步驟3)；

3)解齊次解和特解，構(gòu)造數(shù)值通解

根據(jù)微分方程解的基本理論，式(1)通解由齊次解與特解組成，其中齊次解是在式(1)中令q_s＝0求解得，特解則令q_s＝1求解得；

設(shè)問題(1)有k個(gè)不同位置的點(diǎn)源，熱源表達(dá)為：

式中：δ(x_i,y_i,z_i)為位置函數(shù)，(x_i,y_i,z_i)是位置參數(shù)；η_i為第i個(gè)點(diǎn)源的強(qiáng)度參數(shù)，穩(wěn)態(tài)問題，η_i為常數(shù)；k為點(diǎn)源的個(gè)數(shù)；

a根據(jù)問題的性質(zhì)或工程意義，對源項(xiàng)的位置給出其可能的位置范圍,

式(3)中第i個(gè)源項(xiàng)q_si的位置變量是(x_i,y_i,z_i)，該位置變量設(shè)其變化范圍為：x_i1≤x_i≤x_i2、y_i1≤y_i≤y_i2、z_i1≤z_i≤z_i2，其中x_i1,x_i2,y_i1,y_i2,z_i1,z_i2為已知值；引進(jìn)無量綱位置參數(shù)變量有助于后續(xù)公式的簡化：且有

b只考慮變量x_i計(jì)算特解；

分別計(jì)算k個(gè)點(diǎn)源強(qiáng)度為η_i的有限元數(shù)值解，這里有限元數(shù)值解的含義是：對式(1)給出的問題定義域Ω，利用計(jì)算機(jī)通過有限元方法對第i個(gè)點(diǎn)源計(jì)算在2個(gè)端點(diǎn)(x_i1,x_i2)有強(qiáng)度為η_i的點(diǎn)熱源作用下定義域Ω內(nèi)的溫度場，記為數(shù)值特解

令式(1)中q_s＝0，解得齊次解θ＝θ₁；采用無量綱位置參數(shù)變量，從而構(gòu)造溫度場數(shù)值通解θ表示為：

式中：為對應(yīng)坐標(biāo)x_i的無量綱位置參數(shù)，是待求未知量；為點(diǎn)源i的特解；

通過給定補(bǔ)充條件，即在若干測量點(diǎn)上考慮數(shù)值通解(4)與給定測量溫度θ_d的誤差，得到問題的殘差平方費(fèi)用函數(shù)，如下：

其中：m為測量點(diǎn)數(shù)；θ_dj為測量點(diǎn)j的測量溫度、θ_1j是測量點(diǎn)j的齊次解、是第i個(gè)點(diǎn)源在j點(diǎn)的特解；

源項(xiàng)識(shí)別反問題式(1)轉(zhuǎn)化為式(5)所表示的一個(gè)以熱源位置參數(shù)為變量的多元函數(shù)的極值問題，解得極值，求得反問題的解；

c對位置變量y_i,z_i，分別用y_i和z_i替代b步中的x_i重復(fù)b步中的計(jì)算過程，得到類似(5)式的分別以為變量的表達(dá)式，如(6)式給出，然后轉(zhuǎn)到步驟4)求解；

4)求解線性方程組，得到熱源位置參數(shù)

求式(5)、式(6)的極值問題，對位置參數(shù)變量求導(dǎo)數(shù)，即令：

式中：i對應(yīng)第i個(gè)未知位置變量參數(shù)，p對應(yīng)坐標(biāo)的三個(gè)方向，其中1對應(yīng)式(5)，2對應(yīng)式(6)的第一個(gè)表達(dá)式，3對應(yīng)式(6)的第二個(gè)表達(dá)式，由此得到計(jì)算點(diǎn)源位置參數(shù)的線性方程組：

A·α＝B (7)

其中：α為由k個(gè)點(diǎn)源組成的無量綱熱源位置參數(shù)向量，每一次求解只對應(yīng)著某一個(gè)坐標(biāo)方向；

求解式(7)后，根據(jù)求得的無量綱α得到熱源的位置參數(shù)，如下：