[發明專利]一種基于勒讓德多項式的銑削穩定性預測方法

有效

• 申請號: 201510067240.8
• 申請日: 2015-02-10
• 公開（公告）號: CN104680248B
• 公開（公告）日: 2017-09-26
• 發明（設計）人: 劉志兵;閆正虎;王西彬;呂維維;劉彪;趙倩;王東前
• 申請（專利權）人: 北京理工大學
• 主分類號: G06Q10/04
• 分類號: G06Q10/04;G06Q50/04
• 代理公司: 石家莊新世紀專利商標事務所有限公司13100
• 代理人: 董金國

1.一種基于勒讓德多項式的銑削穩定性預測方法，其特征在于其包括以下步驟：

①建立銑刀在單自由度銑削過程中的動力學方程：

x·(t)=Ax(t)+B(t)x(t)-B(t)x(t-τ)---(1)]]>

其中，為常系數矩陣，為隨時間周期變化的系數矩陣，x(t)表示刀具在t時刻的狀態響應，ω_n表示刀尖點的固有頻率，ζ表示相對阻尼，m_t表示模態質量，w表示軸向切削深度，τ表示時滯；

h(t)表示瞬時切屑厚度，其表達式為：

h(t)=Σj=1Ng(φj(t))sin((φj(t))[Ktcos(φj(t))+Knsin(φj(t))]]]>

(2)式(2)中，N表示銑刀的刀齒數目，K_t和K_n分別為切向和法向的切削力系數，φ_j(t)為第j刀齒的角位移，表達式為φ_j(t)＝(2πΩ/60)t+(j-1).2π/N，窗函數g(φ_j(t))定義式為：

式(3)中，φ_st和φ_ex分別為第j刀齒的切入和切出角，當采用順銑時，φ_st＝arccos(2a_e/D-1)，φ_ex＝π；當采用逆銑時，φ_st＝0，φ_ex＝arccos(1-2a_e/D)，a_e/D為徑向浸入比，即徑向切深/刀具直徑的比值；

②將單自由度的銑削過程動力學方程(1)的時滯項τ平均分為m個小區間，則時間步長為其中任意一個時間小區間表示為[t_i，t_i+1|，i＝1，2，3，…m，

將方程(1)在時間小區間[t_i，t_i+1]上進行積分，得到

xi+1=eAΔtxi+∫titi+1eA(ti+1-s)[B(s)x(s)-B(s)x(s-τ)]ds---(4)]]>

③通過構建一次勒讓德多項式來擬合步驟②中式(4)的狀態項x(s)、時滯狀態項x(s-τ)和隨時間變化的周期系數項B(s)，具體過程如下：

勒讓德多項式的一般表示式為：

Pn(x)=12nn!dndxn[(x2-1)n]---(5)]]>

具體表達式為：

P₀(x)＝1(6)

P₁(x)＝x(7)

P2(x)=12(3x2-1)---(8)]]>

……

令當x在區間[a，b]上變化時，對應的z在[-1，1]上變化，變換后的表達式為：

z=2x-(b+a)b-a---(9)]]>

對勒讓德多項式進行區間變換以后，得到新的多項式可以表示如下：

P~n(x)=Pn(z)=Pn(2x-(b+a)b-a),(n=0,1,...)---(10)]]>

利用區間變換后的勒讓德多項式對已知點進行擬合，可以用(11)式進行表示：

x(s)=Σk=0nak·P~k(s)---(11)]]>

其中多項式系數可以通過下式進行計算：

ak=(x,P~k)(P~k,P~k)=Σj=imωjxjP~k(sj)Σj=ii=1ωjP~k2(sj),(k=0,1,...,n.)---(12)]]>

其中ω_j為權值函數，ω_j≡1，x_j是時間點t_j的響應

對于任意的時間小區間|t_i，t_i+1|，i＝1，2，3，…m，利用(9)式將該時間區間變換到[-1，1]區間上，取前兩項變換后的勒讓德多項式，來擬合方程(4)中的狀態項經過區間變換可以得到

P~n(s)=Pn(2s-(ti+1+ti)ti+1-ti),(n=0,1.)---(13)]]>

用時間變量t作為自變量，則變換后的多項式可以寫為：

P~0(s)=1;---(14)]]>

P~1(s)=2s-(ti+1+ti)ti+1-ti---(15)]]>

通過上述兩項多項式，可以將狀態項表示為：

x(s)=a0·P~0(s)+a1·P~1(s)---(16)]]>

通過(12)式，并代入時間點t_i、t_i+1和其對應的響應值x_i、x_i+1，系數a₀和a₁可以表示為

a0=xi+xi+12,---(17a)]]>

a1=Σj=ii+1xj·[2tj-(ti+ti+1)ti+1-ti]Σj=ii+1[2tj-(ti+ti+1)ti+1-ti]2---(17b)]]>

令t_i＝0，t_i+1＝Δt，a₁可以簡化為

可以簡化為：

則

類似的，時滯狀態項x(s-τ)和周期系數矩陣B(s)可以表示為：

x(s-τ)=(1-sΔt)·xi-m+sΔt·xi-m+1---(19)]]>

B(s)=(1-sΔt)·Bi+sΔt·Bi+1---(20)]]>

④構建Floquet轉移矩陣；

將(18)、(19)、(20)式代入(4)式，可得

X_i+1＝F₀x_i+(G₁₁B_i+G₁₂B_i+1)x_i+(G₁₂B_i+G₁₃B_i+1)x_i+1-(G₁₁B_i +G₁₂B_i+1)X_i-m-(G₁₂B_i+G₁₃B_i+1)x_i+1-m (21)

其中

G11=1(Δt)2[(Δt)2·F1-2Δt·F2+F3]---(22a)]]>

G12=1(Δt)2[Δt·F2-F3]---(22b)]]> 3

G13=1(Δt)2·F3---(22c)]]>

F₀＝e^AΔt (23a)

F1=∫titi+1eA(ti+1-s)ds=∫0ΔteA(Δt-s)ds=(F0-I)A-1---(23b)]]>

F2=∫titi+1eA(ti+1-s)(s-ti)ds=∫0ΔteA(Δt-s)sds=(F1-(Δt)I)A-1---(23c)]]>

F3=∫titi+1eA(ti+1-s)(s-ti)2ds=∫0ΔteA(Δt-s)s2ds=(2F2-(Δt)2I)A-1---(23d)]]>

方程(21)可寫為

x_i+1＝P_i[(F₀+G₁₁B_i+G₁₂B_i+1)x_i-(G₁₂B_i+G₁₃B_i+1)x_i+1-k-(G₁₁B_i+G₁₂B_i+1)x_i-k] (24)

其中

P_i＝[I-G₁₂B_i-G₁₃B_i+1]^-1(25)

通過方程，可以得到各時間點振動位移映射關系，通過矩陣表示如下：

xi+1xixi-1...xi+1-m=M11i0...0M1miM1,m+1iI0...0000I...000..................0000I0xixi-1xi-2...xi-m---(26)]]>

其中

M11i=Pi(F0+G11Bi+G12Bi+1)---(27a)]]>

M1mi=-Pi(G12Bi+G13Bi+1)---(27b)]]>

M1,m+1i=-Pi(G11Bi+G12Bi+1)---(27c)]]>

系統的離散映射可以表示為

ψ＝M_mM_m-1…M₁，ψ即為系統的Floquet轉移矩陣，

其中

Mi=M11i0...0M1miM1,m+1iI0...0000I...000..................0000I0---(28)]]>

⑤計算Floquet轉移矩陣ψ的特征值，通過特征值的模判定系統的穩定性，具體的判定準則如下：