[發(fā)明專利]威布爾分布下極大期望值算法非線性方程組的求解方法

在審

• 申請?zhí)枺?/td>: 201510064321.2
• 申請日: 2015-02-06
• 公開（公告）號: CN104636312A
• 公開（公告）日: 2015-05-20
• 發(fā)明（設計）人: 郭基聯;沈安慰;王卓健;尚柏林;周瑞祥;鐘季龍;邵帥;姜禹呈
• 申請（專利權）人: 中國人民解放軍空軍工程大學
• 主分類號: G06F17/11
• 分類號: G06F17/11
• 代理公司: 北京恒都律師事務所 11395
• 代理人: 李向東

1.一種威布爾分布下極大期望值算法非線性方程組的求解方法，其特征在于：所述求解方法步驟是：

(1)：推導威布爾分布下極大期望值算法非線性方程組；

設概率密度函數f(t)，威布爾分布的密度函數為：

f(t)=λγtγ-e-λtγ-1t≥00t≤0---(15)]]>

其中：λ為尺度參數，γ為形狀參數，且λ＞0,γ＞0；

假設對真實數據Y＝(y₁,…,y_k,y_k+1,…,y_n)作觀測，得到的只是Y

的函數Z＝(z₁,…,z_k,z_k+1⁺,…,z_n⁺)，其中z_k⁺₊₁,....z_n⁺表示數據有刪失；

Y與Z有如下關系：

y_j＝z_j?j＝1,…,k???(16)

y_j≥z_j?j＝k+1,…,n

記λ⁽ⁱ⁾，γ⁽ⁱ⁾為第i+1次迭代開始時分布參數的估計值，則第i+1

次迭代的兩步如下：

E步：

Q(θ|θ(i))=nlnλ+nlnγ+(γ-1)Σj=1nE(lnyi|Z,λ(i),γ(i))-λΣj=1nE(yjγ|Z,λ(i),γ(i))---(17)]]>

M步：

∂Q∂λ=nλ-Σj=1nE(yjγ|Z,λ(i),γ(i))=0∂Q∂γ=nγ+Σj=1nE(lnyj|Z,λ(i),γ(i))-λ∂∂γΣj=1nE(yjγ|Z,λ(i),γ(i))=0]]>

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方程組(18)的解是第i+1次迭代得到的參數估計值；

由于：

Σj=1nE(yjγ|Z,λ(i),γ(i))=Σj=1kzjγ+Σj=k+1n∫zj+∞yjγyjγ(i)-1exp(λ(i)yjγ(i))dyj∫zj+∞yjγ(i)-1exp(-λ(i)yjγ(i))dyj=Σj=1kzjγ+Σj=k+1nλ(i)γ(i)∫zj+∞yjγyjγ(i)-1exp(λ(i)yjγ(i))exp(-λ(i)yjγ(i))---(19)]]>

Σj=1nE(lnyj|Z,λ(i),γ(i))=Σj=1klnzj+Σj=k+1nλ(i)γ(i)∫zj+∞lnyyγ(i)-1exp(-λ(i)yjγ(i))dyexp(-λ(i)zjγ(i))---(20)]]>

∂∂γΣj=1nE(yjγ|Z,λ(i),γ(i))=Σj=1kzjγlnzj+Σj=k+1nλ(i)γ(i)∫zj+∞lnyyγ(i)-1exp(-λ(i)yjγ(i))dyexp(-λ(i)zjγ(i))---(21)]]>

將上面的式子代入(18)式，有

nλ(i+1)Σj=1kzj(i+1)+Σj=k+1nλ(i)γ(i)∫zj+∞yγ(i+1)exp(-λ(i)yγ(i))dyexp(-λ(i)zjγ(i))nγ(i+1)=Σj=1klnzj(λ(i+1)zjγ(i+1)-1)+Σj=k+1nλ(i)γ(i)∫zj+∞lny(λ(i+1)yγ(i+1)-1)yγ(i)-1exp(-λ(i)yγ(i))dyexp(-λ(i)zjγ(i))]]>

nλ=Σj=1kzjγ+Σj=k+1n∫zj+∞λγy2γ-1exp(-λyγ)dyexp(-λzjγ)nγ=Σj=1klnzj(λjγ-1)+Σj=k+1n∫zj+∞λγlny(λγγ-1)yγ-1exp(-λyγ)dyexp(-λzjγ)---(22)]]>

注意到

λγy2γ-1exp(-λyγ)dy=-(yγ+1λ)exp(-λyγ)+C---(23)]]>

∫λγlny(λyγ-1)yγ-1exp(-λyγ)dy=-(λyγlny+1γ)exp(-λyγ)+C---(24)]]>

則(24)式可以化為

kλ=Σj=1nzjγkγ=λΣj=1nzjγlnzj-Σj=1klnzj---(25)]]>

(2)：將非線性方程進行變形，形成F與的函數關系式；

將式(25)變形為

F=kΣj=1nzjγ^-kΣj=1nzjγ^lnzjγ^+(Σj=1klnzjγ^)(Σj=1nzjγ^)---(26)]]>

形成F與的函數關系式；

(3)：通過現場數據的特征找出F隨的實際變化規(guī)律，確定的取值范圍；

對于上述非線性方程組公式，可將其轉化為

F=kΣj=1nzjγ^-kΣj=1nzjγ^lnzjγ^+(Σj=1klnzjγ^)(Σj=1nzjγ^)---(14)]]>

利用大量實際工程中真實的刪失壽命數據，總結出F與的關系；

(4)：在的范圍內定向改變形狀參數，將其反向迭代入F函數。同時，通過不斷提高精度，迅速求出符合精度要求的形狀參數值；

如果F大于0，則繼續(xù)增大如果F小于0，需要增加每次遞增的精度，直到找到滿足一定精度的零點。