[發明專利]旋轉倒立擺實時監控系統的建模方法

有效

• 申請號: 201410392778.1
• 申請日: 2014-08-12
• 公開（公告）號: CN104766357B
• 公開（公告）日: 2017-11-21
• 發明（設計）人: 巫慶輝;楊友林;劉闖;侯寶明;胡慶功;丁碩;張博;楊禎山
• 申請（專利權）人: 渤海大學
• 主分類號: G06T13/20
• 分類號: G06T13/20
• 代理公司: 錦州遼西專利事務所(普通合伙)21225
• 代理人: 李輝,葛春波

1.一種旋轉倒立擺實時監控系統的建模方法，其特征是步驟如下：

1)、采用旋轉倒立擺實時監控系統，其由旋轉倒立擺裝置、現場檢測與控制裝置、上位機實時監控系統三部分組成；

2)、旋轉倒立擺對象建模

2.1、單級旋轉倒立擺的數學建模

單級旋轉倒立擺模型分析，以懸臂中心為原點水平向右方向建立x軸，以懸臂頂點垂直向上的方向建立z軸，以懸臂頂點的運動軌跡的切線方向建立y軸；在忽略各種阻力和摩擦條件下，將懸臂和擺桿抽象為兩個勻質桿，擺桿質心到鉸鏈距離為L，懸臂長度為R，相對其豎直方向z軸的零位角位移為α，相對其水平方向x軸的零位角位移為θ；

基于Lagrange方程，局部線性化方程組為

式中

式中，T_output---直流伺服電機的輸出轉矩；B_eq——粘性阻尼系數；m---擺桿質量；L---擺桿質心到鉸鏈距離；R---旋臂長度；J₁——懸臂轉動慣量；α---相對其豎直方向的零位角位移；θ---相對其水平方向零位的角位移；R_m——直流電機電樞電阻；K_g——變速器齒輪比；K_m——反電動勢系數；K_t——電機力矩系數；η_m——電機效率；η_g——變速器效率；g——重力加速度。

以為狀態變量，旋轉倒立擺的狀態空間模型建立如下：

式中

V_m---控制器輸出為直流伺服電機的電樞電壓；

2.2、單級平面旋轉倒立擺建模

平面旋轉倒立擺的模型分析，將直線電機定子作為旋臂抽象為均質桿，長度為R1；直線電機的動子、托臂、托盤、支架與編碼器總質量抽象成質量為M的小車，小車質心到轉動中心的距離為x1；第二支架、托盤、第二轉軸、第三轉軸與配重構成虎克鉸，擺桿1抽象成質量為m的均質擺桿，擺桿質心到虎克鉸中心O₁距離為l₁，虎克鉸中心到小車質心距離為l₂；以懸臂旋轉中心O為基點建立全局旋轉坐標系OXYZ，選取OX方向與懸臂方向重合，同時旋轉OXYZ坐標系隨著懸臂水平面內旋轉，相對水平方向零位的角位移為θ；建立以O₁為原點、平行于OXYZ的局部坐標系o₁x₁y₁z₁和以O₁為原點、z2軸沿擺桿軸線方向的局部坐標系o₁x₂y₂z₂；

小車質心在全局旋轉OXYZ坐標系中的位置矢量為r_M＝[x 0 0]^T，虎克鉸中心點O₁在全局旋轉OXYZ坐標系中的位置矢量為r₀＝[x+l₂ 0 0]^T，擺桿質心在局部坐標系o₁x₂y₂z₂中的位置矢量為r_0m＝[0 0 l₁]^T，θ_x與θ_y為擺桿繞X軸和Y軸的轉角且沿軸的方向的觀察，逆時針方向旋轉角度為正，順時針方向旋轉角度為負，為擺桿分別繞X軸與Y軸的角速度，旋轉坐標系與懸臂的旋轉角速度為

系統的總動能包括懸臂繞基點O轉動的動能T_R、小車沿X軸方向的平動的動能小車繞基點O轉動的動能擺桿隨質心m平動的動能與擺桿繞繞質心轉動的動能懸臂轉動的動能T_R與小車轉動的動能分別為：

小車沿X軸方向平動的動能為：

設擺桿相對于全局旋轉坐標系的偏角是由擺桿先繞X軸旋轉θ_x，再繞Y軸旋轉θ_y而合成；采用橫滾、俯仰、偏轉角集表示的從o₁x₂y₂z₂到o₁x₁y₁z₁的姿態旋轉變換矩陣為

則擺桿質心m在OXYZ坐標系的位置矢量為：

r_m＝r_O+Cr_0m (8)

擺桿的平動動能為

擺桿的繞質心的轉動動能為

式中：為擺桿繞質心的中心主轉動慣量；和和分別為擺桿角速度在x₂和y₂軸上的投影；

系統的總動能T為懸臂轉動能T_R、小車平動動能小車旋轉動能擺桿平動動能與擺桿轉動動能之和，即

選取XOY平面為零勢能面，懸臂與小車的勢能為零，擺桿的勢能即為系統的總勢能，即

V＝V_m＝mgl₁cosθ_xcosθ_y （12）

以廣義坐標q＝[θ x θ_x θ_y]^T建立拉格朗日算子如下：

拉格朗日方程如下：

式中，T_θ為θ旋轉方向受到的控制轉矩，F_x為x軸方向受到的控制力，c_θ、c_x、c_θx、c_θy為摩擦阻尼系數；對拉格朗日方程變換求解，可得到該單級平面旋轉倒立擺的數學模型如下：

設狀態變量X＝[x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₇ x₈]^T，其中，x₁＝θ，x₃＝x，x₅x₇＝θ_y，控制變量u＝[u₁ u₂]^T＝[T_θ F_x]^T，則二維自由度旋轉倒立擺數學的狀態空間描述如下：

；

控制變量u＝[u₁ u₂]^T＝[T_θ F_x]^T，則該二維自由度旋轉倒立擺數學模型的狀態空間描述如下：

在平衡原點X＝[0 0 0 0 0 0 0 0]^T附件采用泰勒級數展開的方式實現線性化，得到

式中，

3)、空間旋轉三維模型的建立

3.1、三維空間的坐標變換

a)平移變換

設坐標系A中的任意一點(x_A,y_A,z_A)，且坐標系A1的原點在坐標系A中的位置為(a,b,c)，經過平移變換可以得到新坐標系A1下坐標：

b)H變換

平移變換后，得到坐標系A₁，設A₁中任意一點的坐標為(x_A1,y_A1,z_A1)，并設該坐標系的Y軸在X-Y平面上與目標坐標系B的夾角為H_angleA，經過H變換旋轉可以得到A2坐標系下的坐標：

得到一個新的坐標點(x_A2,y_A2,z_A2)，此坐標點依舊是原坐標系A中的點在轉換到坐標系B中的過程中的一個中間坐標系的坐標，將該坐標系命名為坐標系A₂；

c)V變換

平移與H變換后，得到坐標系A₂；設坐標系A₂中任意一點的坐標為(x_A2,y_A2,z_A2)，并設該坐標系的X軸在X-Z平面上與目標坐標系B的夾角為V_angleA，再經過V變換旋轉得到B坐標下的坐標：

得到一個新的坐標點(x_A3,y_A3,z_A3)，此坐標點即為原坐標系A中的點(x,y,z)在坐標系B中的坐標；

綜合上面的公式(18)(19)(20)，便可以得到由坐標系A轉換到坐標B的公式：

3.2、三維到二維變換

在三維空間xyz內某點的坐標為A(x,y,z)，在xy平面內投影為A’，則轉換成x’y’坐標系下的坐標變換關系為：