[發(fā)明專利]基于AssociatedHermite正交函數(shù)的無條件穩(wěn)定FDTD方法

有效

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• 申請日: 2014-05-08
• 公開（公告）號: CN103970717B
• 公開（公告）日: 2017-03-22
• 發(fā)明（設(shè)計(jì)）人: 石立華;黃正宇;陳彬;周穎慧
• 申請（專利權(quán)）人: 中國人民解放軍理工大學(xué)
• 主分類號: G06F17/14
• 分類號: G06F17/14
• 代理公司: 暫無信息
• 代理人: 暫無信息

技術(shù)領(lǐng)域

本發(fā)明涉及一種無條件穩(wěn)定的電磁場時(shí)域有限差分（FDTD）算法。

背景技術(shù)

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和電磁理論的應(yīng)用與推動，計(jì)算電磁學(xué)時(shí)域方法得到了長足的發(fā)展，與頻域方法相輔相成。時(shí)域的方法的優(yōu)點(diǎn)是可以給出豐富的瞬態(tài)信息，能更直觀地模擬物理現(xiàn)象。通過對時(shí)域信息直接作傅里葉變換（Fourier），可以得到問題的頻域信息。基于這些好的特性，時(shí)域方法在通信、雷達(dá)、電磁防護(hù)、電磁兼容、醫(yī)療診斷等方面得到了廣泛地應(yīng)用和深入地研究。此外，在一些特定的領(lǐng)域，如電磁脈沖、雷電和高能微波脈沖等瞬態(tài)脈沖現(xiàn)象、及非線性材料等領(lǐng)域，頻域方法不能很好的解決或無法求解，而時(shí)域方法可以應(yīng)用并得到滿意的結(jié)果，這是頻域方法無法替代的。

時(shí)域有限差分（ finite-difference time-domain,FDTD）方法是由KaneS.Yee 在 1966 年提出，以有限差分方法為基礎(chǔ)，使用 Yee 網(wǎng)格空間離散框架，對麥克斯韋旋度方程分量式的時(shí)間和空間坐標(biāo)微分作數(shù)值離散，得到差分格式的電磁場數(shù)值計(jì)算方法。傳統(tǒng)的 FDTD 方法是顯式差分方法，受柯西穩(wěn)定性條件約束，時(shí)間步長值取決于最小空間步長。為了準(zhǔn)確地模擬含有精細(xì)結(jié)構(gòu)的電磁模型，需要用足夠小的空間步長對求解區(qū)域劃分網(wǎng)格。為了保證計(jì)算的穩(wěn)定性，時(shí)間步長的取值也非常小，需要的時(shí)間步進(jìn)數(shù)目非常大，這使得傳統(tǒng)的 FDTD 方法仿真所需時(shí)間非常長乃至難以接受。為了提高 FDTD 方法求解這類具有多尺度特性的電磁問題的效率，許多專家和學(xué)者在減弱或消除 FDTD 的柯西穩(wěn)定性條件約束方面做了大量工作。其中，無條件穩(wěn)定的FDTD方法為重要研究方向。例如：ADI-FDTD, CN-FDTD，LOD-FDTD和Laguerre-FDTD等。其中，Laguerre-FDTD方法以加權(quán)Laguerre多項(xiàng)式為基函數(shù)，通過求解展開系數(shù)實(shí)現(xiàn)高效快速的仿真計(jì)算。

Associated Hermite正交函數(shù)由Hermite多項(xiàng)式和高斯函數(shù)加權(quán)得到。其“最具時(shí)頻緊支基函數(shù)”和“時(shí)頻基同型”的特點(diǎn)使得它在信號處理、圖像分析和生物工程等領(lǐng)域有廣泛的研究和應(yīng)用。本發(fā)明利用Associated Hermite正交函數(shù)的優(yōu)良特點(diǎn)并結(jié)合FDTD基本原理推導(dǎo)出一種無條件穩(wěn)定的新算法。

發(fā)明內(nèi)容

本發(fā)明的目的：針對傳統(tǒng)FDTD方法在穩(wěn)定性方面的限制及多尺度電磁問題建模的不足，提出一種基于Associated Hermite 正交函數(shù)的無條件穩(wěn)定FDTD算法，可以對多尺度特性電磁問題實(shí)現(xiàn)高效快速的時(shí)域仿真分析，并以此為進(jìn)一步挖掘AH基函數(shù)優(yōu)良特點(diǎn)在FDTD中其他方面的應(yīng)用打下基礎(chǔ)。

本發(fā)明需要解決的關(guān)鍵問題是：①如何將時(shí)域Maxwell方程變換成AH域線性方程組；②如何求解AH域線性方程組。

本發(fā)明利用Associated Hermite（AH）正交函數(shù)作為展開Maxwell方程組的基函數(shù)，利用伽遼金（Galerkin）原理消除時(shí)間變量，得到與基函數(shù)階數(shù)相關(guān)的方程組，建立方程組從時(shí)域到AH域的轉(zhuǎn)換，從而時(shí)域的求解轉(zhuǎn)化為AH域展開系數(shù)的求解。由于AH基函數(shù)微分的固有“相鄰階”特點(diǎn)，使得AH域的Maxwell方程組也呈現(xiàn)“相鄰階”的特點(diǎn)。聯(lián)立空間所有展開系數(shù)，引入初值條件，得到一個(gè)嵌套矩陣系數(shù)的五對角隱式方程，采用LU分解對系數(shù)矩陣進(jìn)行分解，從而用追趕法求解磁場（電場）展開系數(shù)。基本計(jì)算單元是與基函數(shù)空間維數(shù)相等的低階矩陣單元。電場（磁場）展開系數(shù)可以通過磁場（電場）單獨(dú)求解。

所述的AH正交基函數(shù)是指由Hermite多項(xiàng)式H_n(t)和高斯函數(shù)exp(-t²/2)加權(quán)得到的具有時(shí)頻緊支撐特點(diǎn)的正交基函數(shù)集。基函數(shù)可以通過平移和尺度因子調(diào)整時(shí)頻域的支撐區(qū)間，滿足不同的電磁場計(jì)算的需要。

所述的Maxwell方程組在本發(fā)明中以二維TEz模、均勻無耗媒介時(shí)域麥克斯韋方程組（1）-（3）為推導(dǎo)實(shí)例（但不限制發(fā)明在其他算例中的應(yīng)用）：

（1）

（2）

（3）。

所述的Galerkin原理是指用有限維基函數(shù)對基函數(shù)展開的麥克斯韋方程組兩邊加權(quán)積分，消去時(shí)間變量，得到一組易于求解的線性代數(shù)方程（4）-（6）的方法。（4）

（5）

（6）。