[發明專利]考慮頻率相關性材料的非線性特征值拓撲優化方法及系統

有效

• 申請號: 202110685456.6
• 申請日: 2021-06-21
• 公開（公告）號: CN113361176B
• 公開（公告）日: 2022-08-05
• 發明（設計）人: 李取浩;吳強波;劉書田;朱向前;張風同;曲泳鑫
• 申請（專利權）人: 山東大學
• 主分類號: G06F30/23
• 分類號: G06F30/23;G06F30/18;G06F17/13;G06F111/04;G06F111/10
• 代理公司: 濟南圣達知識產權代理有限公司 37221
• 代理人: 祖之強

1.考慮頻率相關性材料的非線性特征值拓撲優化方法，其特征在于，包括：

根據實際工況對結構劃分網格并添加邊界條件，通過有限元分析，獲得所述結構中相應的總體剛度矩陣和總體質量矩陣；

基于結構中相應的總體剛度矩陣和總體質量矩陣構建非線性特征值方程，采用連續化漸近數值方法和逆迭代法求解非線性特征值方程，獲得結構特征頻率和修正后的特征向量；

以結構的基頻最大化為目標，滿足體積約束為約束條件，結合結構特征頻率和修正后的特征向量，建立拓撲優化模型，將含頻率相關性材料結構的材料組分輸入模型，通過拓撲優化，得到符合要求的材料用量；

根據得到的總體剛度陣K(0)，K_n和總體質量陣M，求解結構特征值ω²和特征向量U，計算步驟為：

基于結構中相應的總體剛度矩陣和總體質量矩陣構造非線性特征方程：

(K(0)+E(ω)K_n-ω²M)U＝0 (1)

利用連續化漸進數值方法引入一個小量ε進行連續化處理，得到攝動特征方程：

其中，ε₀是初始值，Δε為攝動變量，E(ω)為頻率相關性材料的彈性模量；

采用攝動展開理論，將特征向量U，特征頻率ω與特征值p＝ω²以截斷冪級數的形式展開可得：

其中，(U⁰,ω⁰,p⁰)分別是上一步ε＝ε₀時得到的特征向量、特征頻率與特征值的初始解，(U^j,ω^j,p^j)代表下一步待求的未知解；N是攝動展開階數；

同理，利用相同的方法攝動展開頻率相關性材料的彈性模量：

其中，E⁰＝E(ω⁰)，E^j是攝動展開的第j項；

將公式(3)和(4)帶入公式(2)，依據同階冪級數Δε^j前的系數對應相等可得：

(1)(Δε)⁰階問題(j＝0)：

(2)(Δε)^j階問題(j≥1)：

為保證公式(6)有解，需滿足：

(F^j)^TU⁰＝0 (7)

聯立公式(6)與公式(7)可得：

欲求p^j，需知E^j,將E(ω(Δε))在Δε＝0處n階泰勒展開可得：

其中，表示E(ω)對Δε的j階導數，并且可以根據Faàdi Bruno's定理寫成如下形式：

其中，代表E(ω)對ω的k階導數，B_j,i代表部分貝爾多項式，其表達式如下所示：

其中，代表ω對Δε的i階導數，其表達式為：

結合公式(4)與公式(9)，依據同階冪級數(Δε)^j前的系數對應相等可得：

其中，E^j在公式(8)里是未知的，由公式(13)可知E^j與ω^j線性相關，而p^j與ω^j的關系式為：

顯然，p^j與ω^j線性相關，因此E^j與p^j線性相關，其關系式為：

E^j＝ap^j+b (15)

將公式(15)代入公式(8)可得：

其中，參數a和b的關系式為：

至此，p^j便可求解；

為保證公式(6)解的唯一性，我們定義:

(U^j)^TU⁰＝0 (18)

因此，公式(6)可以寫為如下矩陣形式：

其中，k為拉格朗日乘子；

最終，我們得到非線性特征方程(2)的解為：

將公式(20)的代入相對誤差評價公式：

采用二分法建立攝動參數的連續化遞進策略，當R(Δε)＜10^-3時認為已經獲得精確解；

將獲得的特征頻率帶入非線性特征方程(1)：

(K(0)+E(ω_j)K_n-ω²M)U＝0 (22)

采用逆迭代法修正特征向量，最終獲得結構的特征頻率ω與修正后的特征向量U。