[發明專利]一種基于動態盤B樣條曲線的二維動態幾何建模方法

在審

• 申請號: 202011463643.1
• 申請日: 2020-12-11
• 公開（公告）號: CN112686970A
• 公開（公告）日: 2021-04-20
• 發明（設計）人: 武仲科;張宇;王醒策
• 申請（專利權）人: 北京師范大學
• 主分類號: G06T11/20
• 分類號: G06T11/20;G06T13/80
• 代理公司: 北京中海智圣知識產權代理有限公司 11282
• 代理人: 曾京京

1.一種基于動態盤B樣條曲線的二維動態幾何建模方法，其特征在于，包括以下步驟：

步驟1，使用表示盤B樣條曲線的第i個控制盤，使用表示第i個控制盤的位置，使用和r(u)＝∑r_iN_i，p(u)分別表示骨架線上點的位置和沿骨架線方向半徑變化的數學表達式，使用和表示骨架線曲線上隨參數u變化的每一處的切向和法向，T_x和T_y分別表示T(u)的兩個坐標分量，則盤B樣條曲線表示為下式(1)：

上式(1)中，u為沿骨架線方向的參數，v為垂直于骨架線方向的參數，s(u，v)為盤B樣條曲線區域中任意一點；

步驟2，使用表示盤B樣條曲線在時刻t時的第i個控制盤，對于時刻t所有的控制盤，表示為下式(2)：

上式(2)中，p(t)是時間參數t的函數，在時刻t，一條盤B樣條曲線由p(t)唯一確定；

步驟3，動態盤B樣條曲線是盤B樣條曲線在時間域上的推廣，在盤B樣條曲線的幾何表達式中加入時間參數t后，給出動態盤B樣條曲線的數學表達式為下式(3)：

步驟4，使用p_i(t)表示物理系統的廣義坐標第i個分量，使用p(t)表示該物理系統的廣義坐標，使用表示廣義坐標關于時間參數t的導數，省略所有的時間參數t，得下式(4)：

步驟5，使用T、U和D分別表示系統的動能、勢能和耗散能，使用f_i表示作用在第i個廣義坐標p_i的廣義外力，則拉格朗日函數式表示為下式(5)：

上式(5)中，T、U和D均為廣義坐標p及其關于時間的導數的函數，f_i為時間t的函數；

步驟6，將步驟5中的式(5)表示為矩陣形式，則有下式(6)：

上式(6)中，其他項以此類推；

步驟7，對于一個動態盤B樣條系統，使用μ(u，v)和M分別表示質量密度分布函數和質量矩陣，省略函數參數后，系統動能T、質量矩陣M(p)分別表示為下式(7)、(8)：

步驟8，使用γ(u，v)和D(p)分布表示阻尼密度分布函數和阻尼矩陣，省略函數參數后，耗散能D與阻尼矩陣D(p)分別表達為下式(9)、(10)：

步驟9，使用α(u，v)、β(u，v)和K(p)分布表示系統的局部張力函數、剛度函數和剛度矩陣：省略函數參數后，系統勢能U與剛度矩陣K(p)分別表示為下式(11)、(12)：

上式(12)中，帶有下標的矩陣J表示J關于參數u和v的偏導數；

步驟10，使用f(u，v，t)表示系統的外力分布函數，則系統廣義外力f_p表示為下式(13)：

根據以上的推導，在動態盤B樣條曲線系統中，拉格朗日函數式(5)進一步表示為下式(14)：

根據動態盤B樣條曲線的數學性質，對式(14)進行簡化，得到簡化的動態盤B樣條曲線運動方程式(15)：

上式(15)中，

步驟11，線性幾何約束表示為下式(16)：

C(p)＝Ap+b＝0……(16)，

上式(16)中，p為系統的廣義坐標；

步驟12，若系統存在M個獨立的線形幾何約束，且p包含N個分量，則A為一個M×N的矩陣，b為一個常向量，廣義坐標p表示為下式(17)：

p＝Gq+q₀……(17)，

上式(17)中，G為一個M×(N-M)的矩陣，q₀是一個常向量，q表示該系統新的廣義坐標，其分量個數為N-M，新的廣義坐標q使用高斯消元法求得；

步驟13，根據上式(17)，得到帶有線性約束的動態盤B樣條曲線的運動方程式(18)：

上式(18)中：

并且，L＝JG為s關于q的雅克比矩陣；

步驟14，求解動態盤B樣條曲線的運動方程，使用有限差分法對雅克比矩陣J的一、二階偏導數講行近似，得下式(19)：

步驟15，動態盤B樣條曲線的運動方程式(15)為一個二階偏微分方程，在通常情況下，式(15)沒有解析解，為了求解動態盤B樣條曲線的運動方程，與參數域上的有限差分法類似，在時間域上，使用差分對和進行近似，給定特定的物理參數，動態盤B樣條曲線系統運動方程式(15)成為一個剛性系統，為保證計算的穩定性，需要使用隱式歐拉方式對時間積分進行近似求算，得到下式(20)：

步驟16，根據式(20)、動態盤B樣條曲線的運動方程式(15)以及動態盤B樣條曲線的數學式性質，推導出動態盤B樣條曲線運動方程的離散化形式(21)：

式(21)中，沒有上標說明的物理量取其在(t+Δt)時刻的值，為了對式(21)進一步簡化，對于式(21)中的矩陣物理量，使用在時刻t的值對其在時刻(t+Δt)的值進行近似，如下式(22)：

步驟17，對于帶有線性幾何約束的動態盤B樣條曲線的運動方程，能夠推導出其對應的離散化形式的式(23)：