[發明專利]用于簡化離散速度空間中傳統數值積分的方法

在審

• 申請號: 202011306169.1
• 申請日: 2020-11-19
• 公開（公告）號: CN112364436A
• 公開（公告）日: 2021-02-12
• 發明（設計）人: 李志輝;彭傲平;吳俊林;蔣新宇;張子彬;李凡
• 申請（專利權）人: 中國空氣動力研究與發展中心超高速空氣動力研究所;中國人民解放軍32804部隊
• 主分類號: G06F30/15
• 分類號: G06F30/15;G06F30/28;G06F17/10;G06F111/10;G06F113/08;G06F119/14
• 代理公司: 北京遠大卓悅知識產權代理有限公司 11369
• 代理人: 賈曉燕

本發明公開了一種用于簡化離散速度空間中傳統數值積分的方法，基于MCI積分的基礎，借助黃金分割數論積分原理進行離散速度坐標點的選取，將數論的一致分布理論引入多重積分計算方法，對傳統數值積分進行簡化。本發明提供一種用于簡化離散速度空間中傳統數值積分的方法，簡化了用于離散速度空間的傳統數值積分，提高了高維流動中多重積分的計算效率，特別是優化離散速度坐標點的分布，將為研制新型的Boltzmann方程碰撞積分計算方法提供一條有效的技術途徑。

技術領域

本發明屬于飛行器空氣動力技術領域，主要涉及數值積分方法，該方法用于簡化離散速度空間的傳統數值積分。

背景技術

計算流體力學是通過數值方法求解流體力學控制方程，得到流場的離散的定量描述，并以此預測流體運動規律的學科。在CFD中，把流體運動控制方程中的積分、微分項近似地表示為離散的代數形式(大概意思是將連續的曲線轉化為一個個點)，使得積分或微分形式的控制方程轉化為代數方程組；然后，通過電子計算機求解這些代數方程組，從而得到流場在離散的時間/空間點上的數值解(numerical solution)。CFD有時也稱流場的數值模擬、數值計算、或數值仿真等。而本發明針對的便是離散速度數值積分過程的優化。

傳統的離散速度數值積分法，如Gauss-Hermite無窮積分法、Newton– Cotes復合積分法及Gauss-Legendre數值積分法等，在用于高維積分時，計算效率并不高。該類積分方法用于求解重積分的思想是，將s維重積分化為s 個單重積分的累次積分，即I(f)＝∫_Df(x)dV＝∫dx₁∫dx₂…∫f(x₁,…,x_s)dx_s式中，D 為定義在s維相空間R^s上的有界閉區域，在此可取為s維立方體C^s；f(x)為一個在D上定義的函數；dV表示D的體積元素dV＝dx₁dx₂…dx_s。然后運用單重積分的求積公式來逐次應用于式(3-36)的每一個單重積分上。如果對于每個單重積分用m個點，則用來近似計算(3-36)式的總點數為n＝ms。當s較大時，n 增加得很快。在條件連續下，如果每一個單重積分用Simpson公式求解，則重積分的數值計算誤差為O(n^2/s)。可見，用古典的平均網格法處理某類函數積分的近似計算時，誤差依賴于積分的重數，而當積分重數增大時，誤差亦隨之迅速增大，故用這種經典的積分方法來處理高維空間的積分近似計算時，計算精度較低。

為了提高計算精度，基于統計實驗的Monte-Carlo積分(MCI)技術已被廣泛用于各類多重積分計算中。Monte-Carlo方法的基本思想是將一個分析問題轉化為一個有同樣解答的概率問題，然后用統計模擬來研究后一問題。假定為在C^s上均勻分布的隨機矢量，則f(x)為一個隨機變數，其期望與標準偏差分別為：

與

如果取的n個獨立樣本則I(f)的無偏估計就是它的樣本均值：

由強大數律，當n→∞時I(f,n)以概率為1地收斂到I(f)。由中心極限定理，當n很大時，I(f,n)是近似正態分布的，所以可以得到，例如|I(f,n)-I(f)|≤1.96σ(f)n^-1/2，成立的概率約為0.95。當s＞4時，上式中的誤差項O(n^-1/2)比經典積分方法的誤差項O(n^-2/s)好得多。由重對數律可以證明成立的概率為1，所以Monte-Carlo積分方法的收斂速度在任何情況下可以說不低于

但是MCI方法的誤差往往是概率誤差，而不是真正的絕對誤差，并且積分節點的選取在各個方向是隨機的會導致大量機時的浪費，成為MCI技術的不足。

發明內容

本發明的一個目的是解決至少上述問題和/或缺陷，并提供至少后面將說明的優點。