[發明專利]基于有限時間輸出狀態受限的多關節機械臂阻抗控制方法

有效

• 申請號: 202011180514.1
• 申請日: 2020-10-29
• 公開（公告）號: CN112276954B
• 公開（公告）日: 2021-11-09
• 發明（設計）人: 于金鵬;田新誠;李剛;劉加朋;趙恩亮;徐雨夢;馬玉梅
• 申請（專利權）人: 青島大學
• 主分類號: B25J9/16
• 分類號: B25J9/16
• 代理公司: 青島錦佳專利代理事務所(普通合伙) 37283
• 代理人: 朱玉建

1.基于有限時間輸出狀態受限的多關節機械臂阻抗控制方法，其特征在于，

包括如下步驟：

a.建立多關節機械臂的動力學模型，如公式(1)所示：

其中，q∈R^n×1為多關節機械臂各關節角度，分別表示多關節機械臂各關節角度變化速度和加速度；D(q)為多關節機械臂慣性矩陣；為多關節機械臂離心力和科里奧利力矩陣；G(q)為多關節機械臂重力項向量；τ∈R^n×1為真實控制律；τ_f∈R^n×1為多關節機械臂各關節所受的摩擦力向量；τ_d∈R^n×1是多關節機械臂各關節所受的外部干擾項向量；J(q)∈R^n×n為多關節機械臂的雅可比矩陣；F_e∈R^n×1為環境對多關節機械臂末端施加的接觸力；R^n×1為n維實數集，R^n×n為n×n維實數集，n為多關節機械臂的關節數；

多關節機械臂在笛卡爾坐標系上的關系式，如公式(2)所示：

其中，x為多關節機械臂末端位置，為多關節機械臂關節角度轉化為笛卡爾坐標下機械臂末端位置的函數關系式；整理得到下面公式：

多關節機械臂末端位置與末端力的阻抗控制關系式，如公式(3)所示：

其中，E＝x-x_d，F_d為多關節機械臂末端期待力，M_d為多關節機械臂期待慣性矩陣，B_d為多關節機械臂期待阻尼矩陣，K_d為多關節機械臂剛性矩陣；

x_d＝[x_d1,x_d2,…,x_dn]^T為多關節機械臂末端期待軌跡，x_d1,x_d2,…,x_dn表示x_d的分量；

將公式(2)代入公式(1)，得到：

其中，

設x₁＝x，則由公式(4)寫出公式(5)：

其中，x₁表示多關節機械臂末端位置，x₁＝[x₁₁,x₁₂,…,x_1n]^T；x₂表示多關節機械臂末端運動速度，x₂＝[x₂₁,x₂₂,…,x_2n]^T；

b.根據有限時間輸出狀態受限技術和自適應反步法原理，設計真實控制律τ使得多關節機械臂末端位置x₁跟蹤多關節機械臂末端期待軌跡x_d；

假設f(Z)在緊集Ω_Z中是一個連續的函數，對于任意的常數ε＞0，總存在一個模糊邏輯函數W^TS(Z)滿足：其中，輸入向量Q是模糊輸入維數，R^Q為實數向量集；W∈R^O是模糊權向量，模糊節點數O為正整數，且O＞1，R^O為實數向量集；

S(Z)＝[s₁(Z),...,s_o(Z)]^T∈R^O為基函數向量，s₁(Z),...,s_o(Z)分別為S(Z)的基函數；選取基函數s_j(Z)為如下的高斯函數：其中，μ_j＝[μ_j1,μ_j2,…,μ_jr]是高斯函數分布曲線的中心位置，而η_j則為高斯函數的寬度；μ_j1,μ_j2,…,μ_jr為μ_j的基向量；

定義有限時間穩定：

考慮非線性系統對于光滑正定函數V(ξ)，存在a＞0、b＞0和0＜γ＜1，使得成立，則非線性系統是半全局有限時間穩定；

收斂時間T_s通過公式：

T_s＝1/(va-γva)[V^1-γ(ξ(0))-(b/(a-va))^(1-γ)/γ]來估計，且

其中，0＜v＜1，ξ(0)表示非線性系統的初始值；

對于任何向量k∈Rⁿ，以下不等式對于滿足|l|＜|k|的任意向量l∈Rⁿ均成立：

定義虛擬控制律α₁＝[α₁₁,α₁₂,…,α_1n]^T；

定義誤差變量

其中，z_1i＝x_1i-x_di表示i方向多關節機械臂末端位置與期待軌跡之間的誤差，z_2i＝x_2i-α_1i表示i方向多關節機械臂末端運動速度和虛擬控制律之間的誤差，i＝1,2,…,n；

定義如下兩個緊集：

Ω_a＝{|z_1i|＜k_ai}，k_ai為正常數；Ω_c＝{|x_1i|＜k_ci}，k_ci為正常數，i＝1,2,…,n；

誤差變量z_1i受限區間的界k_ai＝k_c1i-X_di，X_di＝max{|x_di|}；

其中，k_c1i為多關節機械臂末端位置x_1i設定的受限區間的界，設k_a＝[k_a1,k_a2,…,k_an]^T；

基于有限時間輸出狀態受限的多關節機械臂阻抗控制方法設計選取一個障礙Lyapunov函數來構建真實控制律，當誤差變量趨向于受限區間的界時，障礙Lyapunov函數值將趨向于無窮大，進而保證誤差變量始終保持在受限區間內；具體包括如下步驟：

b.1.對于多關節機械臂末端期待軌跡x_d，選取障礙Lyapunov函數

對V₁求導得到：

選取虛擬控制律α₁＝[α₁₁,α₁₂,…,α_1n]^T，其中：

式中，k_1i為正常數，i＝1,2,...,n；定義k₁＝[k₁₁,k₁₂,…,k_1n]^T；

虛擬控制律其中，

將公式(8)和公式(9)代入公式(7)，得到：

由楊氏不等式得到：

將式(11)代入式(10)，得到：

b.2.選取Lyapunov函數對V₂求導得到：

誤差變量z₂對時間求導得到：

設f(Z)＝-Δ^-1(q)(τ_f+τ_d)，定義非線性函數f(Z)＝[f₁(Z),…,f_n(Z)]^T，根據萬能逼近定理，對于任意小的常數ε_i＞0，存在模糊邏輯函數W_i^TS(Z)使得f_i(Z)＝W_i^TS(Z)+δ_i；

其中，δ_i表示逼近誤差，并滿足δ_i≤ε_i，i＝1,…,n；

由于z₂＝[z₂₁,z₂₂,…,z_2n]^T，由楊氏不等式得到：

其中，l是一個大于零的常數，W_i表示模糊權向量，||W_i||表示W_i的范數；

定義θ＝max{||W₁||²,||W₂||²,…,||W_n||²}，公式(15)寫成：

定義則：

選取真實控制律τ如下：

其中，k₂表示大于零的常數，表示θ的估計值；

將公式(16)、(17)和(18)代入公式(13)，定義估計誤差為得到：

b.3.選擇Lyapunov函數：其中，r為大于零的常數，對V求導得到：

選取自適應律：

其中，m為大于零的常數；

c.對構建的基于有限時間輸出狀態受限的多關節機械臂阻抗控制方法進行穩定性分析；

將公式(21)代入公式(20)，得到公式(22)：

由楊氏不等式得到：

將式(23)代入式(22)，得：

當得：

當得：

由式(25)、(26)得式(27)：

當滿足條件|z_1i|≤k_ai，0＜γ＜1時，下列不等式成立：

將公式(27)及(28)代入式(24)，得到：

其中，a＝min{min{2^γk_1i},2^γk₂,m^γ}，

由公式(29)得知，當選擇參數滿足k_1i＞0，k₂＞0以及m＞0時，保證a＞0以及b＞0；

根據有限時間穩定的定義，確定T_s，如公式(30)所示：

其中，0＜v＜1，V^1-γ(0)表示選取Lyapunov函數V的初始值的1-γ次方；

對于滿足

以上不等式表明閉環系統中的誤差信號是半全局有限時間穩定的；進一步得知，初始條件滿足z₁(0)∈Ω₀＝{z₁∈Rⁿ:|z₁|＜|k_a|}時，得到|z_1i|＜|k_ai|，i＝1,2,…n，由公式x₁＝z₁+x_d以及公式|x_di(t)|≤X_di，i＝1,2,…,n，得出|x_1i|＜k_ai+X_di＝k_c1i，i＝1,2,…,n，

因此，機械臂輸出力/位狀態被約束在設定有界區間之中。