[發(fā)明專利]一種移動(dòng)機(jī)器人變批次長(zhǎng)度迭代學(xué)習(xí)優(yōu)化控制方法

有效

• 申請(qǐng)?zhí)枺?/td>: 202011171545.0
• 申請(qǐng)日: 2020-10-28
• 公開（公告）號(hào): CN112318505B
• 公開（公告）日: 2021-11-16
• 發(fā)明（設(shè)計(jì)）人: 陶洪峰;莊志和;黃彥德;官上雷;胡計(jì)昶;陶新悅
• 申請(qǐng)（專利權(quán)）人: 江南大學(xué)
• 主分類號(hào): B25J9/16
• 分類號(hào): B25J9/16
• 代理公司: 無(wú)錫華源專利商標(biāo)事務(wù)所(普通合伙) 32228
• 代理人: 聶啟新

1.一種移動(dòng)機(jī)器人變批次長(zhǎng)度迭代學(xué)習(xí)優(yōu)化控制方法，其特征在于，所述方法包括：建立雙后輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)剛性移動(dòng)機(jī)器人控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型；構(gòu)建所述雙后輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)剛性移動(dòng)機(jī)器人控制系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間方程；利用隨機(jī)變量建立批次長(zhǎng)度隨機(jī)變化模型；設(shè)計(jì)批次長(zhǎng)度可變的迭代學(xué)習(xí)軌跡跟蹤優(yōu)化算法；分析所述批次長(zhǎng)度可變的迭代學(xué)習(xí)軌跡跟蹤優(yōu)化算法的收斂性；在輸入約束下設(shè)計(jì)批次長(zhǎng)度可變的迭代學(xué)習(xí)軌跡跟蹤優(yōu)化算法；分析所述輸入約束下的批次長(zhǎng)度可變的迭代學(xué)習(xí)軌跡跟蹤優(yōu)化算法的收斂性；實(shí)現(xiàn)批次長(zhǎng)度可變的所述雙后輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)剛性移動(dòng)機(jī)器人控制系統(tǒng)在有輸入約束情形下的軌跡跟蹤；

第一步、建立雙后輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)剛性移動(dòng)機(jī)器人控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型：

雙后輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)剛性移動(dòng)機(jī)器人通過(guò)兩個(gè)后輪的不同速度來(lái)控制移動(dòng)機(jī)器人的速度和航向，在固定平面內(nèi)設(shè)置絕對(duì)坐標(biāo)XOY，假設(shè)所述雙后輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)剛性移動(dòng)機(jī)器人在所述固定平面內(nèi)移動(dòng)，所述雙后輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)剛性移動(dòng)機(jī)器人的實(shí)際物理模型如下：

其中，v表示所述雙后輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)剛性移動(dòng)機(jī)器人的線速度，θ表示所述雙后輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)剛性移動(dòng)機(jī)器人的位姿角，u_r和u_l分別表示右輪和左輪的驅(qū)動(dòng)控制輸入，c表示黏性摩擦系數(shù)，k表示驅(qū)動(dòng)增益，M₁表示所述雙后輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)剛性移動(dòng)機(jī)器人的質(zhì)量，I_w表示車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，I_v表示繞機(jī)器人重心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，r表示車輪半徑，l表示左右輪到機(jī)器人重心的距離；

第二步、構(gòu)建所述雙后輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)剛性移動(dòng)機(jī)器人控制系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間方程：

將所述雙后輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)剛性移動(dòng)機(jī)器人的線速度、位姿角和位姿角導(dǎo)數(shù)定義為狀態(tài)變量：定義輸入變量為驅(qū)動(dòng)控制輸入：u＝[u_r u_l]^T，輸出變量為所述雙后輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)剛性移動(dòng)機(jī)器人的線速度和位姿角：y＝[v θ]^T，則式(1)所示的所述雙后輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)剛性移動(dòng)機(jī)器人控制系統(tǒng)描述為：

其中，

對(duì)連續(xù)系統(tǒng)模型式(2)進(jìn)行離散化，選取滿足香農(nóng)采樣定理的采樣周期T_s，進(jìn)一步得到所述雙后輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)剛性移動(dòng)機(jī)器人控制系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間模型：

式中t和k分別代表采樣時(shí)間和批次，批次過(guò)程的運(yùn)行周期為T，且在每個(gè)重復(fù)過(guò)程周期t∈[0，T]內(nèi)，取N_d個(gè)采樣點(diǎn)；u_k(t)∈R^h，y_k(t)∈R^m和x_k(t)∈Rⁿ分別是所述雙后輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)剛性移動(dòng)機(jī)器人控制系統(tǒng)第k批次t時(shí)刻的h維輸入、m維輸出和n個(gè)狀態(tài)向量；A，B，C為式(2)對(duì)應(yīng)的離散系統(tǒng)參數(shù)矩陣，且滿足CB≠0；并且假設(shè)系統(tǒng)運(yùn)行的初始狀態(tài)在圍繞期望初始狀態(tài)x_d(0)的小范圍內(nèi)隨機(jī)變化，其數(shù)學(xué)期望滿足E{x_k(0)}＝x_d(0)；

第三步、利用隨機(jī)變量建立批次長(zhǎng)度隨機(jī)變化模型：

針對(duì)式(3)形式的線性離散系統(tǒng)，將其狀態(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)換為時(shí)間序列的輸入輸出矩陣模型：

y_k＝Gu_k+d_k (4)

其中：

u_k＝[u_k(0),u_k(1),...,u_k(N_d-1)]^T

y_k＝[y_k(1),y_k(2),...,y_k(N_d)]^T

G是時(shí)間序列上的輸入輸出傳遞矩陣，d_k是系統(tǒng)初始狀態(tài)對(duì)輸出的影響；輸入Hilbert空間和輸出Hilbert空間分別由如下內(nèi)積及相關(guān)的誘導(dǎo)范數(shù)定義：

其中，分別為輸入輸出Hilbert空間上的向量，權(quán)矩陣R和Q為適當(dāng)維數(shù)的實(shí)正定矩陣；

并且，定義期望輸出y_d∈l₂[0,N_d]為：

y_d＝[y_d(1) y_d(2) … y_d(N_d)]^T (7)

傳統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制要求批次長(zhǎng)度固定為預(yù)期長(zhǎng)度N_d，然而實(shí)際的運(yùn)行批次長(zhǎng)度在不同批次之間可能隨機(jī)變化；記第k次迭代實(shí)際批次長(zhǎng)度為N_k，定義實(shí)際批次長(zhǎng)度的最小值與最大值分別為N_m和N_h；實(shí)際情況下一般將預(yù)期長(zhǎng)度N_d設(shè)定為最大長(zhǎng)度，即N_d＝N_h；那么實(shí)際批次長(zhǎng)度N_k在{N_m,N_m+1,…,N_d}內(nèi)隨機(jī)變動(dòng)，即至多存在τ_m＝N_d-N_m+1個(gè)運(yùn)行批次長(zhǎng)度；為了描述批次長(zhǎng)度的隨機(jī)性，令批次長(zhǎng)度為N_m,N_m+1,…,N_d的概率分別為其中p_i0,1≤i≤τ_m，且

當(dāng)實(shí)際批次長(zhǎng)度N_k小于預(yù)期長(zhǎng)度N_d時(shí)，第k批次的輸出y_k在時(shí)刻t∈[N_k+1,N_d]是缺失的，不能被用于輸入的更新；將缺失時(shí)刻的跟蹤誤差簡(jiǎn)單地設(shè)置為零，從而轉(zhuǎn)化成常規(guī)情況；那么得到修正后的跟蹤誤差為：

修正后的跟蹤誤差序列為：

當(dāng)N_kN_d時(shí)，e_k≠y_d-y_k，于是引入如下隨機(jī)矩陣M_k來(lái)消除該不等關(guān)系：

其中表示N_k×N_k維的單位矩陣、I_m表示m×m維的單位矩陣、表示(N_d-N_k)×(N_d-N_k)維的零矩陣，表示克羅內(nèi)克積，于是修正后的跟蹤誤差序列表示為：

對(duì)于多輸出系統(tǒng)，當(dāng)其中一個(gè)輸出出現(xiàn)提前終止的情況，其它的輸出也應(yīng)同時(shí)終止，即使其它輸出并未終止，其產(chǎn)生的輸出也失去了學(xué)習(xí)的價(jià)值；所述雙后輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)剛性移動(dòng)機(jī)器人在預(yù)設(shè)軌跡上移動(dòng)時(shí)，遇到障礙提前停止，所述線速度變?yōu)榱?，但所述位姿角仍在變化，然而位姿角之后的輸出值失去了迭代學(xué)習(xí)的價(jià)值，因此在刻畫多輸出系統(tǒng)隨機(jī)矩陣的數(shù)學(xué)期望時(shí)，看作各輸出具有相同的數(shù)學(xué)期望；

為了計(jì)算所述隨機(jī)矩陣M_k的數(shù)學(xué)期望，引入伯努利二元隨機(jī)變量γ_k(t)來(lái)表示第k批次時(shí)刻t輸出是否存在；記第k批次時(shí)刻t輸出存在的概率為p(t)，則有：

由于E{γ_k(t)}＝P{γ_k(t)＝1}×1+P{γ_k(t)＝0}×0＝p(t)，則所述隨機(jī)矩陣M_k的數(shù)學(xué)期望計(jì)算如下：

其中，用來(lái)簡(jiǎn)單表示隨機(jī)矩陣的期望；

第四步、設(shè)計(jì)批次長(zhǎng)度可變的迭代學(xué)習(xí)軌跡跟蹤優(yōu)化算法：

將批次長(zhǎng)度隨機(jī)變化的離散狀態(tài)空間模型(3)作為批次長(zhǎng)度隨機(jī)變化系統(tǒng)，給定任意初始輸入及對(duì)應(yīng)的跟蹤誤差，通過(guò)如下定義的輸入信號(hào)：

得到的輸入序列{u_k}_k≥0能夠迭代地解決批次長(zhǎng)度隨機(jī)變化下的跟蹤問(wèn)題，其中，M為某一批次的隨機(jī)矩陣，其定義與式(10)相同，輸入信號(hào)的迭代學(xué)習(xí)控制律的前饋形式通過(guò)求解如下定義的第一性能指標(biāo)函數(shù)得到：

將式(11)和式(4)先后代入所述第一性能指標(biāo)函數(shù)(15)，求其二次型最優(yōu)解，得：

其中根據(jù)系統(tǒng)初始狀態(tài)的假設(shè)E{x_k(0)}＝x_d(0)可知：

E{d_k-d_k+1}＝0 (17)

將式(17)代入式(16)得：

由于對(duì)于第k+1批次的輸入，第k批次的輸入信號(hào)和跟蹤誤差已知，其期望等于其本身，又由于可逆，將式(18)整理后得到所述迭代學(xué)習(xí)控制律的前饋形式為：

u_k+1＝u_k+Le_k (19)

其中是誤差項(xiàng)的學(xué)習(xí)增益；

第五步、分析所述批次長(zhǎng)度可變的迭代學(xué)習(xí)軌跡跟蹤優(yōu)化算法的收斂性：

鑒于所述批次長(zhǎng)度可變的迭代學(xué)習(xí)軌跡跟蹤優(yōu)化算法的特殊性，引入逐次投影思想對(duì)算法進(jìn)行收斂性分析；批次長(zhǎng)度隨機(jī)變化下軌跡跟蹤問(wèn)題的設(shè)計(jì)目標(biāo)是迭代地找到一個(gè)最優(yōu)控制輸入使得跟蹤誤差的期望收斂到零，這等價(jià)于迭代地在Hilbert空間中兩個(gè)集合S₁和集合S₂的交集中尋找點(diǎn)集合S₁和集合S₂定義如下：

S₁＝{(e,u)∈H:e＝E{M(y_d-y)},y＝Gu+d} (20)

S₂＝{(e,u)∈H:e＝0} (21)

其中，所述集合S₁表示系統(tǒng)動(dòng)態(tài)，所述集合S₂表示跟蹤需求；假設(shè)所述集合S₁和集合S₂在Hilbert空間中存在交集，即Hilbert空間H定義如下：

Hilbert空間H包括跟蹤誤差及輸入信號(hào)，其內(nèi)積和相關(guān)的誘導(dǎo)范數(shù)由式(5)和式(6)導(dǎo)出：

其中，分別為輸入輸出Hilbert空間上的向量；

定義投影算子如下：

其中，x_o為Hilbert空間H上的一個(gè)點(diǎn)，P_S(x_o)表示x_o在集合S上的投影；

對(duì)于x_o＝(0,u)∈S₂，其在S₁上的投影為：

優(yōu)化問(wèn)題(26)的解為其中那么：

對(duì)投影算子采取相似的運(yùn)算，對(duì)于有：

優(yōu)化問(wèn)題(28)的解取于是：

根據(jù)逐次投影思想，使用及x_k＝(0,u_k)分別表示對(duì)集合S₁和集合S₂第k次投影后的點(diǎn)，給定一個(gè)初始點(diǎn)x₀＝(0,u₀)∈S₂，通過(guò)式(19)進(jìn)行連續(xù)投影能夠得到沿迭代軸更新的輸入序列{u_k}_k≥0；

設(shè)所述集合S₁和集合S₂交于一點(diǎn)即由于所述集合S₁和集合S₂均為Hilbert空間中的有限維閉凸集，根據(jù)逐次投影引理知，序列和{x_k}_k≥0均收斂于即：

由式(30)得：

第k+1次輸入如式(14)所示，

根據(jù)所述第一性能指標(biāo)函數(shù)式(15)，對(duì)于其非最優(yōu)解u_k有：

由式(32)得：

E{||e_k+1||}≤E{||e_k||} (33)

即期望意義下的誤差范數(shù)E{||e_k||}單調(diào)收斂至零；

另外，為了得到所述權(quán)矩陣Q和R的選取范圍，將式(19)代入式(33)，并全部替換為與e_k相關(guān)的形式，得：

其中，為單位矩陣，由于每個(gè)批次的誤差e_k均不相同，為了選取一組對(duì)任意批次誤差均滿足式(34)的所述權(quán)矩陣Q和R，需要得到一個(gè)約束條件；對(duì)式(34)兩邊取范數(shù)后，得其一個(gè)必要條件：

將式(35)整理得到所述權(quán)矩陣Q和R應(yīng)滿足的約束條件為：

第六步、在輸入約束下設(shè)計(jì)批次長(zhǎng)度可變的迭代學(xué)習(xí)軌跡跟蹤優(yōu)化算法：

在許多工業(yè)過(guò)程控制應(yīng)用中，為了確保工業(yè)過(guò)程安全、順利地運(yùn)行，需要對(duì)輸入變量施加一定的約束，輸入約束集Ω通常為凸集；所述輸入約束集Ω一般有如下幾種形式：

控制器輸入的飽和約束：

Ω＝{u∈l₂[0,N_d]:|u(t)|≤Z(t),0≤t≤N_d} (37)

其中Z(t)≥0,0≤t≤N_d是隨時(shí)間變化的輸入幅值約束；

控制器輸入的能量約束：

其中Z0是輸入總能量約束；

控制器輸入的震蕩約束：

Ω＝{u∈l₂[0,N_d]:|Δu(t)|≤Z(t),1≤t≤N_d} (39)

其中Δu(t)＝u(t)-u(t-1)，Z(t)≥0,0≤t≤N_d是隨時(shí)間變化的執(zhí)行器輸入震蕩約束；

當(dāng)出于實(shí)際需要對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行約束時(shí)，直接求取輸入約束下的二次規(guī)劃QP問(wèn)題是困難的，于是根據(jù)逐次投影的思想設(shè)計(jì)在實(shí)際應(yīng)用中更易實(shí)現(xiàn)的算法；

對(duì)于所述批次長(zhǎng)度隨機(jī)變化系統(tǒng)，給定任意滿足約束的初始輸入及對(duì)應(yīng)的跟蹤誤差，先通過(guò)無(wú)約束的迭代學(xué)習(xí)控制律的前饋形式得到輸入信號(hào)

再將其投影到所述輸入約束集Ω：

從而得到滿足輸入約束的輸入序列{u_k∈Ω}_k≥0能夠迭代地解決批次長(zhǎng)度隨機(jī)變化下的跟蹤問(wèn)題；由于在實(shí)踐中輸入約束通常是逐點(diǎn)約束，因而需計(jì)算出優(yōu)化問(wèn)題(41)的解；當(dāng)所述輸入約束為飽和約束形式(37)時(shí)，對(duì)于t∈[0,N_d]，優(yōu)化問(wèn)題(41)的解直接由如下形式給出：

第七步、分析所述輸入約束下的批次長(zhǎng)度可變的迭代學(xué)習(xí)軌跡跟蹤優(yōu)化算法的收斂性：

仍然采用所述逐次投影思想對(duì)所述輸入約束下的批次長(zhǎng)度可變的迭代學(xué)習(xí)軌跡跟蹤優(yōu)化算法進(jìn)行收斂性分析；重新定義集合S₁和集合S₂如下：

S₁＝{(e,u)∈H:e＝E{M(y_d-y)},y＝Gu+d} (43)

S₂＝{(e,u)∈H:e＝0,u∈Ω} (44)

與第五步證明類似，對(duì)于x＝(0,u)∈S₂，其在S₁上的投影為：

其中是根據(jù)所述無(wú)約束的迭代學(xué)習(xí)控制律的前饋形式得到的；

對(duì)于其在S₂上的投影有：

S₂中的和是相互獨(dú)立的，也就是說(shuō)可以分開進(jìn)行求解，于是：

其中

根據(jù)所述逐次投影思想，使用及x_k＝(0,u_k)分別表示對(duì)集合S₁和集合S₂第k次投影后的點(diǎn)，給定一個(gè)初始點(diǎn)x₀＝(0,u₀)∈S₂，通過(guò)式(40)和式(41)進(jìn)行連續(xù)投影能夠得到沿迭代軸更新的輸入序列{u_k}_k≥0；

當(dāng)存在所述輸入約束時(shí)，集合S₁和集合S₂可能不存在交集，所以對(duì)所述輸入約束下的批次長(zhǎng)度可變的迭代學(xué)習(xí)軌跡跟蹤優(yōu)化算法進(jìn)行收斂性分析時(shí)，需要考慮和兩種情況；

針對(duì)輸入約束情況，先定義第二性能指標(biāo)函數(shù)：

當(dāng)時(shí)，仍然得到式(30)和式(31)；

x_k與集合S₁的最小距離為：

根據(jù)所述迭代學(xué)習(xí)控制律的前饋形式，得式(49)的優(yōu)化解為：

u^*＝u_k+Le_k (50)

將式(50)代入到式(49)中，得：

同理有：

根據(jù)逐次投影引理的內(nèi)容，每次投影后的抽象距離均單調(diào)減小，得到：

即所述第二性能指標(biāo)函數(shù)是單調(diào)收斂的；

當(dāng)時(shí)，首先定義r₁＝(e,u)∈S₁,是兩集合S₁和集合S₂取最小距離時(shí)線段的兩個(gè)端點(diǎn)，同時(shí)這也是如下優(yōu)化問(wèn)題的解：

式(54)等價(jià)于：

那么輸入約束下的最優(yōu)解為：

根據(jù)所述迭代學(xué)習(xí)控制律的前饋形式可知，式(56)內(nèi)部的最小化問(wèn)題的最優(yōu)解為：

將式(57)代入到式(56)中，得：

式(58)中e_k前的權(quán)重I-M_kGL和L均是可逆的，那么需要最小化的性能指標(biāo)是嚴(yán)格凸的，且所述輸入約束集Ω也是凸的，因此該最小化問(wèn)題具有唯一解，由此可得：

其中，a是一個(gè)正常數(shù)，d_d由期望初始狀態(tài)導(dǎo)出：

由式(59)得知，誤差范數(shù)的期望有界收斂；

根據(jù)情況下所述第二性能指標(biāo)函數(shù)單調(diào)收斂的證明，同理可證明情況下所述第二性能指標(biāo)函數(shù)單調(diào)收斂；

第八步、實(shí)現(xiàn)批次長(zhǎng)度可變的雙后輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)剛性移動(dòng)機(jī)器人控制系統(tǒng)在有輸入約束情形下的軌跡跟蹤：

根據(jù)所述迭代學(xué)習(xí)控制律確定所述雙后輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)剛性移動(dòng)機(jī)器人控制系統(tǒng)每一迭代批次的輸入矢量，將得到的輸入矢量輸入批次長(zhǎng)度變化的雙后輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)剛性移動(dòng)機(jī)器人控制系統(tǒng)進(jìn)行軌跡跟蹤控制，所述雙后輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)剛性移動(dòng)機(jī)器人控制系統(tǒng)在批次長(zhǎng)度變化情況下受到輸入矢量的控制作用追蹤期望輸出。