[發明專利]功能梯度多層磁電彈性納米板的彎曲變形解析方法及裝置

有效

• 申請號: 202010765921.2
• 申請日: 2020-08-03
• 公開（公告）號: CN111783319B
• 公開（公告）日: 2023-07-21
• 發明（設計）人: 張麗;李磊;郭俊宏;邢永明;孫托婭
• 申請（專利權）人: 內蒙古工業大學
• 主分類號: G06F30/20
• 分類號: G06F30/20;G06F111/14;G06F113/26;G06F119/14;G06F119/18
• 代理公司: 合肥市澤信專利代理事務所(普通合伙) 34144
• 代理人: 方榮肖

1.一種功能梯度多層磁電彈性納米板的彎曲變形解析方法，其用于對磁-電-彈性材料構成的功能梯度多層納米板在表面機械載荷和電載荷作用下的靜態彎曲變形進行求解，其特征在于，其包括以下步驟：

(1)先建立所述功能梯度多層納米板的三維坐標系，再沿著厚度方向在所述功能梯度多層納米板的兩端面上施加電彈性載荷，且電場極化方向與所述厚度方向相同；

(2)基于所述三維坐標系，先根據所述磁-電-彈性材料的應力、電位移和磁感應同應變、電場、磁場、彈性系數、介電系數、磁導率系數、壓電系數、壓磁系數和磁電系數之間關系，建立所述功能梯度多層納米板的各向異性線性磁-電-彈性材料的耦合本構關系公式，并確定沿著所述電場極化方向上的功能梯度材料的材料系數公式一以及各向同性材料的材料系數公式二，再建立所述應變、所述電場和所述磁場同彈性位移、電勢和磁勢的擴展應變-位移關系式，最后確定所述應力、所述電位移和所述磁感應的平衡方程；

(3)先計算簡支邊界條件下的功能梯度磁-電-彈性納米板的擴展位移矢量，再根據所述擴展位移矢量依次代入所述擴展應變-位移關系式、所述耦合本構關系公式以及所述平衡方程，獲得特征方程，然后通過多個向量對所述特征方程進行化簡以獲得線性本征方程組，最后確定所述功能梯度多層納米板不含正弦和余弦的擴展位移矢量和應力矢量的一般解公式，以計算出作為簡支邊界條件下的功能梯度磁-電-彈性納米板具有非局部效應的擴展位移和應力的通解；

(4)先根據擴展位移和應力的通解，通過傳播矩陣確定所述功能梯度多層納米板各層中廣義位移和應力的通解表達式，并重復所述通解表達式中的傳播關系，將通解從所述功能梯度多層納米板的底面傳遞至頂面，并獲得對應的矩陣傳播關系，再在所述功能梯度多層納米板的頂面施加力載荷和電載荷，然后根據所述矩陣傳播關系，求解所述功能梯度多層納米板的上下表面的未知擴展位移，并確定各層任意深度處的擴展位移矢量和應力矢量，最后計算出所述功能梯度多層納米板在任意深度位移和應力的所有量以及相應面內分量；

其中，在步驟(1)中，以所述功能梯度多層納米板的底面的一個角點為所述三維坐標系的坐標原點，且所述三維坐標系為笛卡兒坐標系(x,y,z)；定義所述電場極化方向為z方向，且所述功能梯度多層納米板位于正z區域；定義所述功能梯度多層納米板的第j層的下界面記為z_j-1，上界面記為z_j，且第j層的厚度記為h_j＝z_j-z_j-1，并滿足板厚度H＝h₁+h₂+…+h_N；

在步驟(2)中，所述耦合本構關系公式為：

式中，為三維拉普拉斯算子；l＝e₀a為非局部長度，a為內部特征長度，e₀是與給定材料相關的一個常數；σ_i、D_i和B_i分別為所述應力、所述電位移和所述磁感應；γ_i、E_i和H_i分別為所述應變、所述電場和所述磁場；C_ijkl、ε_ij和μ_ij分別為所述彈性系數、所述介電系數和所述磁導率系數；e_ij、q_ij和d_ij分別為所述壓電系數、所述壓磁系數和所述磁電系數；

所述材料系數公式一為：

所述材料系數公式二為：

其中，η為功能梯度指數因子，表示材料在z方向上的梯度程度，η＝0表示一個均質材料的情況，上標0表示所述均質材料的材料常數情況；

所述擴展應變-位移關系式為：

γ_ij＝(u_i,j+u_j,i)/2,H_i＝-ψ_i

定義體力為0時，所述平衡方程為：

σ_ij,j＝0,D_ij,j＝0,B_ij,j＝0

其中，u、和ψ分別表示所述彈性位移、所述電勢和所述磁勢；

簡支邊界條件下的功能梯度磁-電-彈性納米板的擴展位移矢量的計算公式為：

所述簡支邊界條件下為：

x＝0?and?L_x:

y＝0?and?L_y:

其中，p＝nπ/L_x,q＝mπ/L_y，n和m為兩個正整數，s和a_i是需要確定的待定系數；所述特征方程為：

[Q-ηR^T+s(R-R^T+ηT)+s²T]a＝0

且有：

a＝{a₁,a₂,a₃,a₄,a₅}^T

其中，上標T表示矩陣的轉置；

定義擴展的應力向量t滿足所述平衡方程且為：

所述功能梯度多層納米板的面內應力和電位移、磁位移為：

定義兩個向量且分別為：

b＝{b₁,b₂,b₃,b₄,b₅}^T,c＝{c₁,c₂,c₃,c₄,c₅,c₆,c₇}^T

其中，向量c與a之間的關系為：

向量b和a之間的關系為：

定義一個中間線性變換向量且為：

通過向量a、d獲得線性本征方程組，且所述線性本征方程組為：

式中：

所述一般解公式為：

式中：

A₁＝[a₁,a₂,a₃,a₄,a₅],A₂＝[a₆,a₇,a₈,a₉,a₁₀]

B₁＝[b₁,b₂,b₃,b₄,b₅],B₂＝[b₆,b₇,b₈,b₉,b₁₀]

其中，向量K₁和K₂是兩個需要從邊界條件確定的5×1常數列向量。