[發明專利]周期分布排樁對平面SV波散射解析解的求解方法

在審

• 申請號: 202010173459.7
• 申請日: 2020-03-13
• 公開（公告）號: CN111488638A
• 公開（公告）日: 2020-08-04
• 發明（設計）人: 巴振寧;吳孟桃;梁建文;劉世朋
• 申請（專利權）人: 天津大學
• 主分類號: G06F30/13
• 分類號: G06F30/13;G06F30/20;G06F119/14
• 代理公司: 天津市三利專利商標代理有限公司 12107
• 代理人: 李文洋

1.一種周期分布排樁對平面SV波散射解析解的求解方法，其特征在于：包括如下步驟：

步驟1：建立周期分布單排樁對平面SV波的散射分析模型，選取周期結構中的一個基本樁體為研究對象，設該樁體為第0號樁體；

步驟2：以平面SV波作為入射波，根據入射波場函數，采用波函數展開法得到0號樁體的散射波場函數；

步驟3：采用Graf加法定理，將其他非0號樁體的貢獻，通過對0號樁體的散射波場偏移相應的相位確定，進而得到所有樁體的散射波場；

步驟4：疊加入射波場和所有樁體的散射貢獻，包括散射波場和折射波場，得到全空間土體域的總波場表達式；

步驟5：根據邊界條件求解待定系數，從而得到無限周期分布樁體模型對平面SV波散射的解析結果。

2.根據權利要求1中所述的一種周期分布排樁對平面SV波散射解析解的求解方法，具體求解方法與過程為：

以圓頻率為ω的平面SV波為入射波，其在整體平面直角坐標系(x，y)中的勢函數表達式為：

ψ⁽ⁱ⁾(x,y)＝ψ₀exp[iβ₁(x cosθ_SV+y sinθ_SV)] (1)

其中β₁＝ω/c_β1為土體中橫波波數，后文相應的α₁＝ω/c_α1為土體中縱波波數，為簡化書寫，式中的時間因子exp(-iωt)已略去，下同；

式(1)可轉化到極坐標系(r，θ)下，又因為(r，θ)與(r₀，θ₀)相同，因此式(1)在極坐標系(r₀，θ₀)下表示為：

ψ⁽ⁱ⁾(r₀,θ₀)＝ψ₀exp[iβ₁r₀cos(θ₀-θ_SV) (2)

采用Fourier－Bessel波函數展開法將(2)式展開：

其中J_m(x)為第一類Bessel函數，(3)式即為土體自由場的入射SV波波函數展開形式；

當土體存在樁體時，入射SV波會發生散射，由于波型轉換，散射波包括P波和SV波兩個分量，根據所設樁體排列的周期性，第j號樁體的散射波與第0號樁體的散射波的相位差為exp(iβ₁jbcosθ_SV)，因此在第j號樁體對應的極坐標系(r_j，θ_j)下，第j號樁體散射波的Fourier－Bessel級數形式可表達為：

表示散射波中的P波分量，ψ(r_j，θ_j)表示散射波中的SV波分量，H_n⁽¹⁾(x)為Hankel函數，A_n、B_n、C_n、D_n為散射待定系數，只需要求得所有待定系數即可得到每一個樁體的散射場，疊加后即為整個非連續周期樁體屏障的散射場；

根據多重散射原理，每一個樁體的入射波不僅僅是外入射SV波，還包括其他樁體的散射波；由于各個樁體產生的散射波是在各自的極坐標系下表示的，所以無法直接與外入射波疊加求得全波，因此應用Graf加法公式將極坐標系(r_j，θ_j)下的散射波轉換成極坐標系(r₀，θ₀)中的Bessel級數形式，第j號樁體(j≠0)的散射波轉換為：

值得注意的是，第0號樁體的散射波是不需要進行坐標轉換的，而且不存在相位差，所以第0號樁體的散射波單獨表示為：

設和ψ^(r)_j≠0為所有非0號樁體轉換后散射波的疊加，即：

其中：

至此，在極坐標系(r₀，θ₀)中統一用Bessel級數形式表示出了外入射平面SV波、0號樁體的散射波和非0號樁體的散射波，疊加后得到土體中全波的表達式，為土體中縱波的全波表達式，ψ(r₀,θ₀)為土體中橫波的全波表達式：

由于彈性圓柱實心樁的存在，入射波不但被樁體界面散射到土體中，而且還有部分被折射進入樁體中去，樁體中的折射駐波的位移勢可表示為：

其中E_n、F_n、G_n、H_n為待定折射系數，β₂＝ω/c_β2為土體中橫波波數，相應的α₂＝ω/c_α2為土體中縱波波數；

該模型為彈性圓柱實心樁，因此邊界條件為位移和應力連續條件(r₀＝a時)：

σ_rr1、σ_rθ1、σ_θθ1是由土體中全波產生的應力，σ_rr2、σ_rθ2、σ_θθ2是由樁體內折射駐波產生的應力，用已求得的位移勢可表示為：

u_r1、u_θ1是由土體中全波產生的位移，u_r2、u_θ2是由樁體內折射駐波產生的位移，用已求得的位移勢可表示為：

其中ε⁽¹⁾₁₁、ε⁽³⁾₁₁、……等是各種波對應力或位移作出的貢獻，按照土體中全波和樁體中折射駐波的不同確定α與β的具體取值：

當i＝l時，C⁽ⁱ⁾_n(x)為J_n(x)函數；當i＝3時.C⁽ⁱ⁾_n(x)為H⁽ⁱ⁾_n(x)函數；

至此得到了極坐標系(r₀，θ₀)下應力與位移的全部表達式，利用(20)式的應力位移連續的邊界條件，由(21)和(24)、(22)和(25)以及(27)～(30)式聯立解方程組，即可求得所有散射和折射待定系數，再將求得的待定系數代入(21)～(30)式中即可求得所有應力與位移。以求解A_n、C_n、E_n、G_n為例，令r₀＝a列方程組(41)：

取足夠精度的m＝n，然后可由方程組(41)中4n個方程解得4n個未知系數A_n、C_n、E_n、G_n，同理可求得B_n、D_n、F_n、H_n，此處不再贅述，至此求得所有待定系數，即求得所有樁體的散射場。