[發明專利]每對線性約束控制分量下過驅動系統控制可達集確定方法

有效

• 申請號: 201911411744.1
• 申請日: 2019-12-31
• 公開（公告）號: CN111045333B
• 公開（公告）日: 2022-01-21
• 發明（設計）人: 邢育紅;阮久宏;楊蘭芳
• 申請（專利權）人: 山東交通學院
• 主分類號: G05B23/02
• 分類號: G05B23/02;G05B9/03
• 代理公司: 北京清亦華知識產權代理事務所(普通合伙) 11201
• 代理人: 廖元秋

1.每對線性約束控制分量下過驅動系統控制可達集確定方法，其特征在于，包括以下步驟:

1)將控制集Ω_ELR所有邊界面分為個分組；

Ω_ELR為每對控制分量均為線性約束控制分量情況下過驅動系統的控制集，Ω_ELR的邊界由矩形或三角形構成，將構成的矩形或三角形稱為控制集的邊界面；Ω_ELR＝{u_ELR}，u_ELR為每對控制分量均為線性約束控制分量的過驅動系統的控制向量，u_ELR＝(u₁,...,u_m)^T，u_imin≤u_i≤u_imax，i＝1,...,m；

第i個分量u_i為對應的第i個執行器的控制作用量，m為執行器的數目；u_imin為第i個執行器控制作用量的約束最小值，u_imax為第i個執行器控制作用量的約束最大值；若u_ELR的兩個分量取值在對應的最小值和最大值之間，其余m-2個分量取值為對應的最小或最大值，則所述m個分量形成2^m-2個控制集的邊界面；

記u_ELR中任意兩個分量為第p個分量和第q個分量，第p個分量和第q個分量取值在對應最小值和最大值之間，1≤p≤m，1≤q≤m,p＜q，其余m-2個分量取值為對應最小或最大值，形成2^m-2個邊界面分為一組，稱為p-q分組；則控制集所有邊界面共得到個分組，每組有2^m-2個邊界面，控制集的邊界面共個；

2)對步驟1)的個分組中的每一個分組，確定準關鍵邊界面和關鍵邊界面；

每對控制分量均為線性約束控制分量情況下過驅動系統的控制可達集Φ_ELR為三維空間，表達式如下：

其中，v為過驅動系統的控制可達向量，v＝(v₁,v₂,v₃)^T，其中v_j為第j個控制可達分量，1≤j≤3，m＞3；B為3行m列的控制效率矩陣；

令表示Φ_ELR的邊界；記映射到Φ_ELR的像可能在邊界的Ω_ELR中邊界面為準關鍵邊界面，記映射到Φ_ELR的像一定在邊界的Ω_ELR中邊界面為關鍵邊界面；記Γ₁為準關鍵邊界面集合，Γ₂為關鍵邊界面集合，Γ₃為準關鍵邊界面和關鍵邊界面集合；三個集合初始化為空集；

2-1)任意選取一個未完成確定準關鍵邊界面和關鍵邊界面的分組記為p-q分組；對p-q分組，構造旋轉變換矩陣R，使得控制可達集Φ_ELR的坐標系進行旋轉變換后，第1個坐標軸v₁垂直于該p-q分組邊界面在Φ_ELR的像；具體構造方法如下：

令C＝R·B，B為3行m列的控制效率矩陣，B中任意三列線性無關，C為兩個矩陣相乘得到的矩陣；

記

將R、B代入C＝R·B，則c_1p＝0，c_1q＝0，即：

計算得到r₁₁、r₁₂、r₁₃；

2-2)利用C＝R·B計算C矩陣的第一行(c₁₁,...,c_1m)；

由于矩陣B的任意三列線性無關，其中有且只有c_1p＝0,c_1q＝0,其余c_1i≠0,1≤i≤m,i≠p,i≠q；

當c_1i＞0時,令u_i＝u_imax；當c_1i＜0時,令u_i＝u_imin；令u_p＝u_pmax或u_pmin,u_q＝u_qmax或u_qmin，得到四個頂點，確定一個矩形，記為γ₁；

同時，當c_1i＞0時，令u_i＝u_imin；當c_1i＜0時,令u_i＝u_imax；令u_p＝u_pmax或u_pmin,u_q＝u_qmax或u_qmin，得到四個頂點，確定一個矩形，記為γ₂；

2-3)判定：當p為奇數且q＝p+1時，進入步驟2-4)；否則，進入步驟2-5)；

2-4)在p-q分組中確定準關鍵邊界面和關鍵邊界面，具體步驟如下：

2-4-1)記不含第p個且不含第q個分量的一對線性不等式約束分量為固定對分量；令τ＝1，進入步驟2-4-2)；

2-4-2)將γ_τ四個頂點的第p個分量為u_pmax且第q個分量為u_qmax的頂點去掉，剩余三個頂點構成的三角形記為¹γ_τ，進入步驟2-4-3)；

2-4-3)依次檢查¹γ_τ三個頂點的所有固定對分量：若¹γ_τ三個頂點的每個固定對分量不滿足同時為對應約束最大值，則¹γ_τ為該p-q分組的一個關鍵邊界面，將¹γ_τ加入集合Γ₂，然后進入步驟2-4-4)；

否則，對每一對同時為對應約束最大值的固定對分量處理如下：記同時為對應約束最大值的一對分量為第J和第J+1個分量，按下式計算¹d₀₁、¹d₀₂：¹d₀₁＝|c_1J·(u_Jmax-u_Jmin)|，¹d₀₂＝|c_1J+1·(u_J+1max-u_J+1min)|；¹d₀₁為c_1J與u_Jmax-u_Jmin之積的絕對值，¹d₀₂為c_1J+1與u_J+1max-u_J+1min之積的絕對值；若¹d₀₁≤¹d₀₂，則將¹γ_τ三個頂點的第J個分量改為u_Jmin；若¹d₀₁＞¹d₀₂，則將¹γ_τ三個頂點的第J+1個分量改為u_J+1min；所有固定對分量都處理完后，所得三角形記為²γ_τ，²γ_τ為該p-q分組的一個關鍵邊界面，將²γ_τ加入集合Γ₂，然后進入步驟2-4-4)；

2-4-4)令并進行判定：若τ≤2，則重新返回步驟2-4-2)；否則，已得到該p-q分組的所有關鍵邊界面，該p-q分組沒有準關鍵邊界面，進入步驟2-6)；

2-5)在p-q分組中確定準關鍵邊界面和關鍵邊界面，具體步驟如下：

2-5-1)記不含第p個且不含第q個分量的一對線性不等式約束分量為固定對分量；令τ＝1，然后進入步驟2-5-2)；

2-5-2)記與第p個分量成對的分量為第p'個分量，與第q個分量成對的分量為第q'個分量；若γ_τ四個頂點的第p'個分量均為u_p'min、第q'個分量均為u_q'min，則進入步驟2-5-3)；否則，進入步驟2-5-4)；

2-5-3)依次檢查γ_τ四個頂點的每一對固定對分量：若γ_τ四個頂點的每一對固定對分量不滿足同時為對應約束最大值，γ_τ即為該p-q分組的一個關鍵邊界面，將γ_τ加入集合Γ₂，然后進入步驟2-5-20)；否則，對每一對同時為對應約束最大值的固定對分量處理如下：記同時為對應約束最大值的一對分量為第J和第J+1個分量，按下式計算¹d₀₁、¹d₀₂：¹d₀₁＝|c_1J·(u_Jmax-u_Jmin)|，¹d₀₂＝|c_1J+1·(u_J+1max-u_J+1min)|；¹d₀₁為c_1J與u_Jmax-u_Jmin之積的絕對值，¹d₀₂為c_1J+1與u_J+1max-u_J+1min之積的絕對值；若¹d₀₁≤¹d₀₂，將γ_τ四個頂點的第J個分量改為u_Jmin；若¹d₀₁¹d₀₂，將γ_τ四個頂點的第J+1個分量改為u_J+1min；所有固定對分量都處理完后，所得矩形記為¹γ_τ，¹γ_τ為該p-q分組的一個準關鍵邊界面，將¹γ_τ加入集合Γ₁，然后進入步驟2-5-20)；

2-5-4)若γ_τ四個頂點的第p'個分量均為u_p'max、第q'個分量均為u_q'min，將第p個分量為u_pmax的兩個頂點的第p'個分量改為u_p'min，所得矩形記為¹γ_τ，并令進入步驟2-5-5)；若γ_τ四個頂點的第p'個分量均為u_p'min、第q'個分量均為u_q'max，則將第q個分量為u_qmax的兩個頂點的第q'個分量改為u_q'min，所得矩形記為¹γ_τ，并令進入步驟2-5-10)；若γ_τ四個頂點的第p'個分量均為u_p'max、第q'個分量均為u_q'max，則將第p個分量為u_pmax的兩個頂點的第p'個分量改為u_p'min，第q個分量為u_qmax的兩個頂點的第q'個分量改為u_q'min，所得矩形記為¹γ_τ，并令進入步驟2-5-15)；

2-5-5)構造旋轉變換矩陣G，使得控制可達集Φ_ELR的坐標系進行旋轉變換后，第1個坐標軸v₁垂直于¹γ_τ在Φ_ELR的像；具體方法如下：

令H＝G·B；記H為矩陣G與矩陣B相乘得到的矩陣；將G、B代入H＝G·B，得到：

求解得到g₁₁、g₁₂、g₁₃,進入步驟2-5-6)；

2-5-6)利用H＝G·B計算H矩陣的第一行(h₁₁,...,h_1m)；

當h_1i＞0時，調整¹γ_τ四個頂點的第i個分量為u_imax；當h_1i＜0時,調整¹γ_τ四個頂點的第i個分量為u_imin；其中，1≤i≤m,i≠α₁,α₁+1,q；調整完畢后，得到四個新頂點確定一個矩形，記為²¹γ_τ；

同時，當h_1i＞0時,調整¹γ_τ四個頂點的第i個分量為u_imin；當h_1i＜0時,調整¹γ_τ四個頂點的第i個分量為u_imax；其中，1≤i≤m,i≠α₁,α₁+1,q；調整完畢后，得到四個新頂點，確定一個矩形，記為²²γ_τ；

令l＝1，進入步驟2-5-7)；

2-5-7)檢查^2lγ_τ四個頂點的第q'個分量，若該分量均為u_q'max，則將^2lγ_τ四個頂點的第q'個分量均修改為u_q'min，修改后得到四個新頂點確定一個矩形，記為^3lγ_τ，然后進入步驟2-5-8)；否則，將^2lγ_τ記為^3lγ_τ，然后進入步驟2-5-8)；

2-5-8)依次檢查^3lγ_τ四個頂點的每一對固定對分量：若四個頂點的每對固定對分量不同時為對應約束最大值，則將^3lγ_τ記為^4lγ_τ，然后進入步驟2-5-9)；

否則，對每一對同時為對應約束最大值的固定對分量處理如下：記同時為對應約束最大值的固定對分量為第J和第J+1個分量，按下式計算²d₀₁、²d₀₂：²d₀₁＝|h_1J·(u_Jmax-u_Jmin)|，²d₀₂＝|h_1J+1·(u_J+1max-u_J+1min)|；²d₀₁為h_1J與u_Jmax-u_Jmin之積的絕對值，²d₀₂為h_1J+1與u_J+1max-u_J+1min之積的絕對值；若²d₀₁≤²d₀₂，則將^3lγ_τ四個頂點的第J個分量改為u_Jmin；若²d₀₁＞²d₀₂，則將^3lγ_τ四個頂點的第J+1個分量改為u_J+1min；所有固定對分量都處理完后，所得矩形記為^4lγ_τ，然后進入步驟2-5-9)；

2-5-9)對l進行判定：若l＝1，則將^4lγ_τ記為⁴¹γ_τ，然后令重新返回步驟2-5-7)；否則，將^4lγ_τ記為⁴²γ_τ，然后進入步驟2-5-19)；

2-5-10)構造旋轉變換矩陣G，使得控制可達集Φ_ELR的坐標系進行旋轉變換后，第1個坐標軸v₁垂直于¹γ_τ在Φ_ELR的像；具體方法如下：

令H＝G·B；記H為矩陣G與矩陣B相乘得到的矩陣；將G、B代入H＝G·B，得到：

求解得到g₁₁、g₁₂、g₁₃,進入步驟2-5-11)；

2-5-11)利用H＝G·B計算H矩陣的第一行(h₁₁,...,h_1m)；

當h_1i＞0時，調整¹γ_τ四個頂點的第i個分量為u_imax；當h_1i＜0時,調整¹γ_τ四個頂點的第i個分量為u_imin；其中，1≤i≤m,i≠α₂,α₂+1,p；調整完畢后，得到四個新頂點確定一個矩形，記為²¹γ_τ；

同時，當h_1i＞0時,調整¹γ_τ四個頂點的第i個分量為u_imin；當h_1i＜0時,調整¹γ_τ四個頂點的第i個分量為u_imax；其中，1≤i≤m,i≠α₂,α₂+1,p；調整完畢后，得到四個新頂點確定一個矩形，記為²²γ_τ；

令l＝1，進入步驟2-5-12)；

2-5-12)檢查^2lγ_τ四個頂點的第p'個分量，若該分量均為u_p'max，則將^2lγ_τ四個頂點的第p'個分量均改為u_p'min，修改后得到四個新頂點確定一個矩形，記為^3lγ_τ，然后進入步驟2-5-13)；否則，將^2lγ_τ記為^3lγ_τ，然后進入步驟2-5-13)；

2-5-13)依次檢查^3lγ_τ四個頂點的每一對固定對分量：若四個頂點的每對固定對分量不同時為對應的約束最大值，則將^3lγ_τ記為^4lγ_τ，然后進入步驟2-5-14)；

否則，對每一對同時為對應約束最大值的固定對分量處理如下：記同時為對應約束最大值的一對分量為第J和第J+1個分量，按下式計算²d₀₁、²d₀₂：²d₀₁＝|h_1J·(u_Jmax-u_Jmin)|，²d₀₂＝|h_1J+1·(u_J+1max-u_J+1min)|；若²d₀₁≤²d₀₂，則將^3lγ_τ四個頂點的第J個分量改為u_Jmin；若²d₀₁＞²d₀₂，則將^3lγ_τ四個頂點的第J+1個分量改為u_J+1min；所有固定對分量都處理完后，所得矩形記為^4lγ_τ，然后進入步驟2-5-14)；

2-5-14)對l進行判定：若l＝1，則將^4lγ_τ記為⁴¹γ_τ，然后令重新返回步驟2-5-12)；否則，將^4lγ_τ記為⁴²γ_τ，進入步驟2-5-19)；

2-5-15)構造旋轉變換矩陣G，使得控制可達集Φ_ELR的坐標系進行旋轉變換后，第1個坐標軸v₁垂直于¹γ_τ在Φ_ELR的像；具體方法如下：

令H＝G·B；記H為矩陣G與矩陣B相乘得到的矩陣；將G、B代入H＝G·B，得到：

求解得到g₁₁、g₁₂、g₁₃,進入步驟2-5-16)；

2-5-16)利用H＝G·B計算H矩陣的第一行(h₁₁,...,h_1m)；

當h_1i＞0時，調整¹γ_τ四個頂點的第i個分量為u_imax；當h_1i＜0時,調整¹γ_τ四個頂點的第i個分量為u_imin；其中，1≤i≤m,i≠α₁,α₁+1,α₂,α₂+1；調整完畢后，得到四個新頂點確定一個矩形，記為²¹γ_τ；

同時，當h_1i＞0時,調整¹γ_τ四個頂點的第i個分量為u_imin；當h_1i＜0時,調整其四個頂點的第i個分量為u_imax；其中，1≤i≤m,i≠α₁,α₁+1,α₂,α₂+1；調整完畢后，得到四個新頂點，確定一個矩形，記為²²γ_τ；

令l＝1，進入步驟2-5-17)；

2-5-17)依次檢查^2lγ_τ四個頂點的每一對固定對分量：若四個頂點的每對固定對分量不同時為對應約束最大值，則將^2lγ_τ記為^4lγ_τ，然后進入步驟2-5-18)；

否則，對每一對同時為對應約束最大值的固定對分量處理如下：記同時為對應約束最大值的一對固定對分量為第J和第J+1個分量，按下式計算²d₀₁、²d₀₂：²d₀₁＝|h_1J·(u_Jmax-u_Jmin)|，²d₀₂＝|h_1J+1·(u_J+1max-u_J+1min)|；若²d₀₁≤²d₀₂，則將^2lγ_τ四個頂點的第J個分量改為u_Jmin；若²d₀₁＞²d₀₂，則將^2lγ_τ四個頂點的第J+1個分量改為u_J+1min；所有固定對分量都處理完后，所得矩形記為^4lγ_τ，然后進入步驟2-5-18)；

2-5-18)對l進行判定：若l＝1，則將^4lγ_τ記為⁴¹γ_τ，然后令重新返回步驟2-5-17)；否則，將^4lγ_τ記為⁴²γ_τ，然后進入步驟2-5-19)；

2-5-19)⁴¹γ_τ的四個頂點經映射v＝B·u_ELR得到的四個點確定一個平面方程，記為f₁(v₁,v₂,v₃,d)＝0，f₁(v₁,v₂,v₃,d)＝0對應的多項式記為δ＝f₁(v₁,v₂,v₃,d)；任選步驟2-4-3)得到的一個關鍵邊界面，記為γ₀；將γ₀的三個頂點經映射v＝B·u_ELR得到的三個點代入δ＝f₁(v₁,v₂,v₃,d)，所得結果記為δ₁、δ₂、δ₃；

對δ₁、δ₂、δ₃進行判定：若δ₁、δ₂、δ₃中正、負數都有，則⁴²γ_τ為p-q分組的一個準關鍵邊界面，將⁴²γ_τ加入集合Γ₁，然后進入步驟2-5-20)；否則，將⁴²γ_τ的四個頂點經映射v＝B·u_ELR得到的四個點代入δ₁＝f₁(v₁,v₂,v₃,d)，所得結果記為δ₄、δ₅、δ₆、δ₇；

若δ₁、δ₂、δ₃、δ₄、δ₅、δ₆、δ₇中正、負數都有，則⁴²γ_τ為p-q分組的一個準關鍵邊界面，將⁴²γ_τ加入集合Γ₁，然后進入步驟2-5-20)；否則，⁴¹γ_τ為p-q分組的一個準關鍵邊界面，將⁴¹γ_τ加入集合Γ₁，然后進入步驟2-5-20)；

2-5-20)令若τ≤2，則重新返回步驟2-5-2)；否則，在該p-q分組中已確定準關鍵邊界面和關鍵邊界面，進入步驟2-6)；

2-6)重新返回步驟2-1)，選取下一個未完成確定準關鍵邊界面和關鍵邊界面的分組，直至所有分組均已確定準關鍵邊界面和關鍵邊界面，將集合Γ₁中的所有準關鍵邊界面與集合Γ₂中的所有關鍵邊界面加入集合Γ₃，然后進入步驟3)；

3)確定控制可達集邊界

3-1)對Γ₁進行判定：若Γ₁為空集，進入步驟3-3)；否則，進入步驟3-2)；

3-2)在Γ₁中任取一個準關鍵邊界面，記為γ₃，對γ₃處理如下：

將γ₃的四個頂點經映射v＝B·u_ELR得到的四個點確定的平面方程，記為f₂(v₁,v₂,v₃,d)＝0，f₂(v₁,v₂,v₃,d)＝0對應的多項式記為在Γ₂中任取一個三角形關鍵邊界面，記為γ₄，將γ₄的三個頂點經映射v＝B·u_ELR得到的三個點代入所得結果記為若中正、負數都有，則將γ₃從Γ₁中去掉，然后重新返回步驟3-1)；否則，若均為非負數或均為非正數，則在中任選一個不為0的數，記為并依次將Γ₃中每個邊界面的每個頂點經映射v＝B·u_ELR得到的點代入所得結果依次記為ρ為Γ₃中所有邊界面的頂點個數之和；若存在整數i,1≤i≤ρ,使得則將γ₃從Γ₁中去掉，然后重新返回步驟3-1)；否則，若對任意整數i,1≤i≤ρ,均有則將γ₃加入Γ₂中，然后重新返回步驟3-1)；

3-3)去掉Γ₂中相同的關鍵邊界面，處理完畢后，形成新的關鍵邊界面集合記為Γ₄；

Γ₄中的所有關鍵邊界面即控制集的所有關鍵邊界面；將Γ₄中每一個關鍵邊界面的所有頂點經過映射v＝B·u_ELR，得到對應控制可達集邊界面的所有頂點，從而確定一個控制可達集邊界面，該控制可達集邊界面為四邊形或三角形；Γ₄中所有關鍵邊界面確定的控制可達集邊界面，構成控制可達集邊界