[發(fā)明專利]電機(jī)驅(qū)動單機(jī)械臂系統(tǒng)的點(diǎn)對點(diǎn)迭代學(xué)習(xí)優(yōu)化控制方法

有效

• 申請?zhí)枺?/td>: 201911119240.2
• 申請日: 2019-11-15
• 公開（公告）號: CN110815225B
• 公開（公告）日: 2020-12-25
• 發(fā)明（設(shè)計(jì)）人: 陶洪峰;李健;黃彥德
• 申請（專利權(quán)）人: 江南大學(xué)
• 主分類號: B25J9/16
• 分類號: B25J9/16
• 代理公司: 無錫華源專利商標(biāo)事務(wù)所(普通合伙) 32228
• 代理人: 聶啟新

1.電機(jī)驅(qū)動單機(jī)械臂系統(tǒng)的點(diǎn)對點(diǎn)迭代學(xué)習(xí)優(yōu)化控制方法，其特征在于，所述方法包括：建立電機(jī)驅(qū)動單機(jī)械臂系統(tǒng)的物理模型；構(gòu)建電機(jī)驅(qū)動單機(jī)械臂系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間模型；建立點(diǎn)對點(diǎn)軌跡跟蹤模型；設(shè)計(jì)點(diǎn)對點(diǎn)迭代學(xué)習(xí)軌跡跟蹤優(yōu)化算法；分析所述點(diǎn)對點(diǎn)迭代學(xué)習(xí)軌跡跟蹤優(yōu)化算法的收斂性和魯棒性；分析所述點(diǎn)對點(diǎn)迭代學(xué)習(xí)軌跡跟蹤優(yōu)化算法在輸入約束條件下的收斂性和魯棒性；實(shí)現(xiàn)所述電機(jī)驅(qū)動單機(jī)械臂系統(tǒng)在有輸入約束情形下的點(diǎn)對點(diǎn)軌跡跟蹤；

第一步、建立所述電機(jī)驅(qū)動單機(jī)械臂系統(tǒng)的物理模型：

電機(jī)驅(qū)動單機(jī)械臂系統(tǒng)的物理模型如式(1)所示：

其中，N_l＝m₂gl+m₁gl，g為重力加速度，θ為連桿角度，i為電流，K_t為扭矩，K_b為反電動勢系數(shù),B_c為軸承粘滯摩擦系數(shù),D_c為負(fù)載系數(shù)，l為連桿長度，m₁為負(fù)載質(zhì)量，m₂為連桿質(zhì)量，R_r為電阻，u為電機(jī)控制電壓，Ξ為執(zhí)行器轉(zhuǎn)動慣量，Γ為電抗；

第二步、構(gòu)建電機(jī)驅(qū)動單機(jī)械臂系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間模型：

利用所述電機(jī)驅(qū)動單機(jī)械臂系統(tǒng)的連桿角度和電流定義狀態(tài)變量：定義電機(jī)控制電壓u為輸入變量，則式(1)所示的一種電機(jī)驅(qū)動單機(jī)械臂系統(tǒng)可描述為：

顯然式(2)為連續(xù)系統(tǒng)模型，因此需要對式(2)進(jìn)行離散化，選取滿足香農(nóng)采樣定理的采樣周期T_s，并將連桿角度θ作為輸出，進(jìn)一步可以得到所述電機(jī)驅(qū)動單機(jī)械臂系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間模型：

式中t和k分別代表采樣時間和批次，批次過程在一個運(yùn)行周期T內(nèi)的時間范圍內(nèi)含有N個采樣點(diǎn)，即t∈{0,1,2,…,N}；u_k(t)，y_k(t)和x_k(t)分別是電機(jī)驅(qū)動單機(jī)械臂系統(tǒng)第k批次t時刻的輸入，輸出和狀態(tài)向量；A，B，C為式(2)對應(yīng)的離散系統(tǒng)參數(shù)矩陣，且滿足CB≠0；并且假設(shè)系統(tǒng)運(yùn)行的初始狀態(tài)一致，即x_k(0)＝x₀；

第三步、建立所述點(diǎn)對點(diǎn)軌跡跟蹤模型：

針對式(3)形式的離散狀態(tài)空間模型，可將其狀態(tài)空間表達(dá)式轉(zhuǎn)換為時間序列的輸入輸出矩陣模型:

y_k＝Gu_k+d (4)

其中：

d＝[CA CA² CA³…CA^N]^Tx₀

u_k＝[u_k(0),u_k(1),...,u_k(N-1)]^T

y_k＝[y_k(1),y_k(2),...,y_k(N)]^T

G是時間序列上的輸入輸出傳遞矩陣，d是系統(tǒng)初始狀態(tài)對輸出的影響；

在傳統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)控制算法設(shè)計(jì)中,參考軌跡通常是固定的,軌跡跟蹤目標(biāo)要求系統(tǒng)輸出在各個時刻隨著批次過程的不斷運(yùn)行逐漸靠近所設(shè)定的期望輸出值,即y_k(t)→y_d(t)，其中y_k(t)為第k批次t時刻的系統(tǒng)實(shí)際輸出,y_d(t)為第k批次t時刻的系統(tǒng)期望輸出；對于點(diǎn)對點(diǎn)跟蹤問題，只需要跟蹤一些指定的關(guān)鍵時間點(diǎn)的期望值，即y_k(t_i)＝y(tǒng)_d(t_i)，i＝1,2,…,M，并且有0≤t₁t₂…t_M≤N；假設(shè)這M個跟蹤點(diǎn)的期望值為：

y_dM＝[y_d(t₁),y_d(t₂),...,y_d(t_M)]^T (5)

同時定義矩陣ψ為M行N列的跟蹤點(diǎn)選擇矩陣,其中ψ_ij為矩陣ψ中第i行第j列的元素，當(dāng)?shù)趇個跟蹤時間點(diǎn)t_i被選擇時，該矩陣第i行的所有N個元素除j＝t_i時為1其余全為0，共選取M個跟蹤時間點(diǎn),從而可得到ψy_k為整個軌跡N個采樣時間點(diǎn)所選取的M個跟蹤時間點(diǎn)的實(shí)際輸出值.其具體表達(dá)形式為:

由此可以定義在跟蹤點(diǎn)處的跟蹤誤差為：

e_kM＝y(tǒng)_dM-ψy_k (7)

其中，

e_kM＝[e_k(t₁),e_k(t₂),...,e_k(t_M)]^T (8)

第四步、設(shè)計(jì)所述點(diǎn)對點(diǎn)迭代學(xué)習(xí)軌跡跟蹤優(yōu)化算法：

在實(shí)際應(yīng)用中，跟蹤誤差e_(k+1)M和系統(tǒng)輸入u_k+1通常反映了系統(tǒng)各個運(yùn)行批次的收斂性能和能量消耗，較小的跟蹤誤差、控制能量及其控制振蕩對系統(tǒng)的整體性能及其實(shí)際執(zhí)行器的損耗至關(guān)重要，因此需要在迭代學(xué)習(xí)控制優(yōu)化過程中考慮同時對誤差和控制量進(jìn)行優(yōu)化；定義如下性能指標(biāo)函數(shù)：

其中Q為對稱正定權(quán)陣,R和S為相應(yīng)的對稱非負(fù)定權(quán)陣，且

將式(4)、式(7)、式(10)代入式(9)，通過求解其二次型最優(yōu)解獲得優(yōu)化迭代學(xué)習(xí)控制律為:

u_k+1＝L_uu_k+L_ee_kM (11)

其中，

L_u＝[(ψG)^TQ(ψG)+R+S]^-1[(ψG)^TQ(ψG)+R]，L_u是迭代學(xué)習(xí)控制律控制器輸入項(xiàng)的增益，

L_e＝[(ψG)^TQ(ψG)+R+S]^-1(ψG)^TQ，L_e是誤差項(xiàng)的增益；

第五步、分析所述點(diǎn)對點(diǎn)迭代學(xué)習(xí)軌跡跟蹤優(yōu)化算法的收斂性和魯棒性：

若優(yōu)化迭代學(xué)習(xí)控制律(11)滿足條件η＝||L_u-L_e(ψG)||_i21，||·||_i2表示矩陣的最大奇異值，則當(dāng)?shù)蝛→∞時，系統(tǒng)在有限期望跟蹤點(diǎn)處的跟蹤輸出誤差收斂；

由式(4)，(7)可將式(11)改寫成：

定義系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)控制輸入根據(jù)式(12)可得：

u_∞-u_k+1＝(L_u-L_e(ψG))(u_∞-u_k)+ξ (13)

其中ξ＝(I-(L_u-L_e(ψG)))u_∞-L_e(y_dM-ψd)為零矩陣，對式(13)兩邊取范數(shù)可得||u_∞-u_k+1||＝||(L_u-L_e(ψG))(u_∞-u_k)+ξ||≤η||u_∞-u_k||，若滿足條件η1，則控制輸入在范數(shù)意義下收斂，進(jìn)一步可得：

其中，I是相應(yīng)維數(shù)的單位矩陣，則可以得到：

當(dāng)各權(quán)重矩陣參數(shù)確定時,從式(15)可以得出,穩(wěn)態(tài)誤差范數(shù)最終將收斂到常值，并且若S越小,在所述優(yōu)化迭代學(xué)習(xí)控制律(11)的作用下系統(tǒng)的點(diǎn)對點(diǎn)跟蹤穩(wěn)態(tài)誤差越小，當(dāng)S取為零矩陣時,系統(tǒng)跟蹤點(diǎn)處的跟蹤輸出誤差范數(shù)可以收斂到零；

在實(shí)際工藝生產(chǎn)過程中，被控系統(tǒng)通常存在一定的建模不確定性；考慮在時間序列上的輸入輸出傳遞矩陣G上加一個在時間域變化的不確定性Δ_G，進(jìn)而定義帶有不確定性的時間序列上的輸入輸出傳遞矩陣的表達(dá)式為G_θ＝G(I+Δ_G)，并且定義Δ_G＝WΔ，不確定因子的有界條件為||Δ||_i2≤1，

系統(tǒng)魯棒收斂的條件為：

||L_u-L_e(ψG_θ)||_i21

若對稱非負(fù)定權(quán)陣R取為零矩陣時，由下式：

其中，W是不確定的權(quán)重矩陣；

可得，若參數(shù)滿足條件：

||[(ψG)^TQ(ψG)+S]^-1(ψG)^TQ(ψG)W||_i21 (16)

則系統(tǒng)魯棒收斂；若對稱非負(fù)定權(quán)陣R＝rI,r≥0，若條件(16)滿足，則依然可保證離散狀態(tài)空間模型(3)在所述優(yōu)化迭代學(xué)習(xí)控制律(11)作用下的魯棒收斂；因?yàn)?ψG)^TQ(ψG)+S為對稱正定矩陣，所以可以對其進(jìn)行奇異值分解有(ψG)^TQ(ψG)+S＝U∑U^T，其中U為酉矩陣，以及Σ是元素為σ_i的滿秩對角陣，記為Σ＝diag{σ_i}，為了方便表示，令以及條件滿足可以得到||H||_i2＝α1，

則可得到：

其中r為任意大于等于0的實(shí)數(shù)，則對于R＝rI,r≥0，若條件(16)滿足時，系統(tǒng)魯棒收斂，即參數(shù)R＝rI的設(shè)計(jì)不影響系統(tǒng)的魯棒性，另一方面，參數(shù)S的設(shè)計(jì)需要滿足條件(16)；

第六步、分析所述點(diǎn)對點(diǎn)迭代學(xué)習(xí)軌跡跟蹤優(yōu)化算法在輸入約束條件下的收斂性和魯棒性：

在許多工業(yè)過程控制應(yīng)用中，為了確保工業(yè)過程安全、順利地運(yùn)行，需要對輸入變量施加一定的約束，輸入信號約束包括輸入幅值的約束、輸入隨時間方向和批次方向變化的幅度約束，這些約束常以不等式的形式表示；

控制器輸入的飽和約束：

u^low≤u_k+1≤u^hi (18)

其中u^low，u^hi分別為控制器輸入u_k+1的下界值與上界值；

兩個相鄰采樣時間之間的輸入變化約束：

δu^low≤δu_k+1≤δu^hi (19)

其中δu^low、δu^hi分別為輸入變量δu_k+1沿時間軸變化的下界值與上界值，δu_k+1(t)＝u_k+1(t-1)-u_k+1(t-2)；

兩個相鄰批次之間的輸入變化約束：

Δu^low≤Δu_k+1≤Δu^hi (20)

其中Δu^low、Δu^hi分別為輸入變量Δu_k+1沿迭代軸變化的下界值與上界值，Δu_k+1＝u_k+1-u_k；

所有上述約束方程都可以轉(zhuǎn)化為Δu_k+1的表達(dá)式，首先，所述控制器輸入的飽和約束(18)可以轉(zhuǎn)化為:

u^low-u_k≤Δu_k+1≤u^hi-u_k (21)

假設(shè)δu(0)＝u₀，則δu_k+1可以表示為：

δu_k+1＝μu_k+1 (22)

其中：

因此兩個相鄰采樣時間之間的輸入變化約束(19)可以轉(zhuǎn)化為：

δu^low-μu_k≤μΔu_k+1≤δu^hi-μu_k (24)

上述約束可以組合成下面的線性不等式:

ζ^uΔu_k+1≥ζ_k+1 (25)

其中：

理論上來說，式(25)所描述的輸入Δu_k+1的約束是一個凸集，這里用Ω表示；模型不確定的誤差方程可以表示為：

e_(k+1)M＝e_kM-ψG_θΔu_k+1 (26)

其中，G_θ是帶有不確定性的時間序列上的輸入輸出傳遞矩陣，與時間序列上的輸入輸出傳遞矩陣G相對應(yīng)；

將式(26)代入所述性能指標(biāo)函數(shù)(9)得到：

收斂性與魯棒性分析：

在約束條件下，假設(shè)條件1)存在一個可行的期望輸入u^∞和對應(yīng)的期望誤差e_∞＝0，且滿足u^low≤u^∞≤u^hi，δu^low≤δu^∞≤δu^hi以及Δu^low0，Δu^hi0；假設(shè)條件2)Q為對稱正定權(quán)陣，R，S為相應(yīng)的對稱非負(fù)定權(quán)陣；則系統(tǒng)魯棒收斂，并且當(dāng)S取零矩陣時系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差收斂到0，即k→∞時，Δu_k→0，e_kM→0；

定義第k+1批次的最優(yōu)性能指標(biāo)函數(shù)為：

首先考慮Δu_k+1＝0的情況，此時u_k+1＝u_k，e_(k+1)M＝e_kM,u_k+1＝u_k，所以可以推出(e_kM,0,u_k)∈Ω，因?yàn)樾阅苤笜?biāo)函數(shù)在點(diǎn)(e_kM,0,u_k)處的值總是要大于或等于最優(yōu)值，所以可以得到如下關(guān)系式：

以此類推可得：

由式(30)可知，當(dāng)k→∞時Δu_k→0，因?yàn)楫?dāng)k足夠大時Δu_k→0，且滿足條件Δu^low0，Δu^hi0，所以約束條件Δu^low≤Δu_k+1≤Δu^hi同樣滿足；根據(jù)假設(shè)條件1)可知當(dāng)u_k+1＝u^∞時e_(k+1)M＝0，則也是一個約束區(qū)域內(nèi)的可行點(diǎn)，其中顯然(e_(k+1)M,Δu_k+1,u_k+1)也是一個約束區(qū)域內(nèi)的可行點(diǎn)，因?yàn)棣笧橐煌辜梢酝瞥靓竷?nèi)任意兩個可行點(diǎn)之間的點(diǎn)都是可行點(diǎn)；

同時，求解性能指標(biāo)函數(shù)J_k+1從(e_(k+1)M,Δu_k+1,u_k+1)到的方向?qū)?shù)：

由式(31)可以得到：

因?yàn)楫?dāng)k→∞時Δu_k→0，因此當(dāng)k→∞時式(32)可簡化為：

由式(33)以及假設(shè)條件2)可知，當(dāng)k→∞時系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出誤差收斂到某一有界值,當(dāng)S取零矩陣時,穩(wěn)態(tài)輸出誤差到達(dá)最小且為0；上述結(jié)果表明，假設(shè)條件成立時，輸入約束模型不確定系統(tǒng)在所述優(yōu)化迭代學(xué)習(xí)控制律(11)作用下依然可以收斂；當(dāng)系統(tǒng)為標(biāo)稱系統(tǒng),即G_θ＝G時,結(jié)論同樣成立；

第七步、根據(jù)魯棒優(yōu)化迭代學(xué)習(xí)控制律確定所述電機(jī)驅(qū)動單機(jī)械臂系統(tǒng)的每一迭代批次的輸入矢量，將得到的所述輸入矢量輸入所述電機(jī)驅(qū)動單機(jī)械臂系統(tǒng)進(jìn)行點(diǎn)對點(diǎn)軌跡跟蹤控制，所述電機(jī)驅(qū)動單機(jī)械臂系統(tǒng)在輸入矢量的控制作用下追蹤指定跟蹤點(diǎn)處的期望輸出。