[發明專利]一種具有線性平衡點的分數階隱藏混沌系統

有效

• 申請號: 201910713712.0
• 申請日: 2019-08-02
• 公開（公告）號: CN110324137B
• 公開（公告）日: 2021-06-29
• 發明（設計）人: 張芳芳;劉加勛;舒明雷;黃明明;孫凱;馬鳳英
• 申請（專利權）人: 齊魯工業大學;山東省計算中心（國家超級計算濟南中心）
• 主分類號: H04L9/00
• 分類號: H04L9/00
• 代理公司: 濟南立木專利代理事務所(特殊普通合伙) 37281
• 代理人: 高立冬

1.一種具有線性平衡點的分數階隱藏混沌系統，其特征在于：其具體設計為

當0.991q0.993時，該系統表現出混沌行為，該混沌系統的建立步驟如下：

步驟1：首先給出Caputo分數階導數的定義：

其中q是微分算子的階數，t和A是極限，w是最小的正整數，w-1qw；Γ(*)是伽馬函數，f(*)是連續函數；

Caputo分數階微分的相關性質如下：

性質1：我們考慮一般的分數微分方程

方程的通解是

x(t)＝x(0)E_q(At^q)， (3)

并且Mittag-Leffter函數是

然后根據分數階系統有限時間穩定性理論，引入以下引理1和引理2；

引理1：對于一般分數階系統，如果它滿足

其中x＝[x₁ x₂ … x_n]，則在有限時間t內，狀態函數x趨于零，分數階系統漸近穩定，其中v＝x(x^q)^T，

引理2：如果a、b0和0c1，則得到如下不等式：

(a+b)^c≤a^c+b^c； (7)

步驟2：構造具有線性平衡點的分數階隱藏混沌系統如下:

混沌系統(8)的雅可比矩陣為：

令式(8)的右邊等于零，有

那么平衡態就是(0,0,z)本質上是一條直線，因此，稱它為平衡線；設初值為[x₁(0) y₁(0) z₁(0)]＝[0.1 0.5 0.5]，當0.988q0.991時，系統狀態出現倍周期分叉，當0.991q0.993時，表現出混沌行為，當q0.993時，混沌行為逐漸消失；

基于分數階系統的有限時間穩定性理論，設計了具有隱吸引子的分數階系統的有限時間同步控制器，其步驟為：

設驅動系統為式(8)，響應系統如下:

其中，m＝0,n＝0；設e₁＝x₁-x,e₂＝＝y₁-y,e₃＝z₁-z,q＝0.99，誤差系統為

然后得到下面的定理；

定理1：對于誤差系統式(11)，我們將有限時間同步控制器設計為

其中，k₁和B₁是縮放參數，誤差系統(11)在有限時間t₁內收斂于零，且

證明：由引理1得

根據式(7)，得到

因此，我們得到如下結論:

因此，所提控制器(12)滿足分數階穩定性理論，在有限時間t₁內實現了同步。

2.根據權利要求1所述的具有線性平衡點的分數階隱藏混沌系統，其特征在于：設計了具有隱吸引子的分數階系統的組合同步控制器，其步驟為：

首先，給出組合同步的定義：

如果一個驅動系統是由

第二個驅動系統是

那么響應系統是

其中x＝(x₁，x₂，...，x_n)^T，y＝(y₁，y₂，...，y_n)^T，z＝(z₁，z₂，...，z_n)^T，f,g,s:Rⁿ→Rⁿ是三個連續函數，U是設計控制器，是x,y,z對t的倒數；

定義2：對于兩個驅動系統(15)、(16)和響應系統(17)，如果存在三個常數矩陣Q、W、E∈Rn和E≠0滿足

將其稱為組合同步；

設Q＝W＝E＝diag(1，…，1)，兩個驅動系統如下:

響應系統為：

然后重新定義了e₁＝x₃-x₂-x₁,e₂＝y₃-y₂-y₁,e₃＝z₃-z₂-z₁，組合同步誤差系統為

其中，

然后得到下面的定理：

定理2：對于系統(22)，我們將組合同步控制器設計為

其中k₂和B₂是縮放參數，誤差系統(22)在有限時間t₂誤差收斂到零，且

證明：從式(22,23,24)有

由引理2，式(26)變為

然后有

因此，所提出的組合同步控制器(24)滿足分數階有限時間穩定性理論，驅動響應系統在t₂時刻同步。