[發(fā)明專利]確定超彈性薄壁圓柱殼的內(nèi)共振特性的方法

有效

• 申請(qǐng)?zhí)枺?/td>: 201910645922.0
• 申請(qǐng)日: 2019-07-17
• 公開（公告）號(hào): CN110362928B
• 公開（公告）日: 2023-01-24
• 發(fā)明（設(shè)計(jì)）人: 袁學(xué)剛;許杰;張靜;張文正
• 申請(qǐng)（專利權(quán)）人: 大連民族大學(xué)
• 主分類號(hào): G06F30/20
• 分類號(hào): G06F30/20;G06F30/23;G01H17/00
• 代理公司: 大連智高專利事務(wù)所(特殊普通合伙) 21235
• 代理人: 劉斌

1.一種確定超彈性薄壁圓柱殼的內(nèi)共振特性的方法，其特征在于：

建立描述薄壁圓柱殼運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型：確定滿足邊界條件的中表面位移函數(shù)，推導(dǎo)出描述徑向簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下薄壁圓柱殼運(yùn)動(dòng)的耦合非線性微分方程組；

根據(jù)不同模態(tài)響應(yīng)的固有頻率，確定殼體產(chǎn)生2:1內(nèi)共振的存在條件并得到幅頻響應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而分析穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)定性；

驗(yàn)證殼體的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中存在雙跳現(xiàn)象，確定外部激勵(lì)幅值、阻尼系數(shù)和結(jié)構(gòu)對(duì)其影響；

假設(shè)該薄壁圓柱殼的由不可壓縮材料組成的，(x,θ,r)表示在殼的中面建立的柱坐標(biāo)系，u₁,u₂,u₃是殼上任意一點(diǎn)的位移，R,h,l分別是殼的中面半徑、厚度和長(zhǎng)度；u,v,w殼的中面上一點(diǎn)在軸向、環(huán)向和徑向的位移；

根據(jù)Kirchhoff-Love假設(shè)，殼上任意一點(diǎn)的位移(u₁,u₂,u₃)與殼上中面上一點(diǎn)的位移(u,v,w)的關(guān)系如下：

u₃＝w(x,θ) (1)

其中，z是殼上任意一點(diǎn)到中面的距離；

基于Donnell非線性淺殼理論，可得圓柱殼的中面應(yīng)變與位移的關(guān)系，即

常見的應(yīng)變能函數(shù)可以表示為以下兩種形式，即：

Φ＝Φ(F)＝Φ(λ₁,λ₂,λ₃) (3)

或

Φ＝Φ(C)＝Φ(I₁,I₂,I₃) (4)

其中，λ₁,λ₂,λ₃的變形梯度張量F的主值，I₁,I₂,I₃是右Cauchy-Green變形張量C的主不變量；

右Cauchy-Green變形張量C可表示為C＝2E+I，此處E是Lagrange變形張量；在柱坐標(biāo)系(x,θ,r)中，E和C的表達(dá)式如下所示：

根據(jù)Cauchy-Green變形張量，三個(gè)主不變量可由下式給出，

I₁＝trC,I₂＝[(trC)²-trC²]^1/2,I₃＝detC (6)

即：

對(duì)于不可壓縮超彈性材料，基于薄殼理論以及不可壓縮條件I₃＝det C＝1，可得ε_rr關(guān)于ε_xx,ε_θθ,ε_xθ的表達(dá)式，將小應(yīng)變?chǔ)?Sub>rr在ε_xx,ε_θθ,ε_xθ處展開到二階，則有：

假設(shè)薄壁圓柱殼的由不可壓縮Mooney-Rivlin材料組成，其相應(yīng)的應(yīng)變能函數(shù)如下所示：

其中，μ₁,μ₂是材料參數(shù)；

將式(7)和(8)代入到式(9)，則應(yīng)變能函數(shù)Φ可變?yōu)椋?/p>

由于薄壁圓柱殼受到徑向簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用，其相應(yīng)的動(dòng)能T與勢(shì)能P表達(dá)式如下:

其中，“·”表達(dá)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，ρ,h分別為殼的材料密度與厚度；

令W_e為周期外力所做的虛功，引入Rayleigh耗散函數(shù)描述非保守阻尼力做功W_d，則有：

其中，F(xiàn)_x，F(xiàn)_θ，F(xiàn)_z分別為作用在殼體x,θ和r方向的分布載荷，c是與模態(tài)展開有關(guān)的參數(shù)，通過計(jì)算W_d可記為：

其中，阻尼系數(shù)c_m,n是模態(tài)阻尼比有關(guān)，可以從實(shí)驗(yàn)得到；廣義力Q_i(i＝1,2，…)由Rayleigh耗散函數(shù)與外力所做虛功的微分得到，即

其中，q_i表示廣義坐標(biāo)，i是該系統(tǒng)的自由度；

為得到描述圓柱殼運(yùn)動(dòng)的非線性微分方程，現(xiàn)引入Lagrange函數(shù)，即L＝T-P，相應(yīng)的Lagrange方程如下所示：

(1)對(duì)于兩端簡(jiǎn)支的薄壁圓柱殼，其邊界條件為：

v＝w＝0 x＝0，l (17)

其中，v,w分別表示一點(diǎn)的環(huán)向和徑向位移；

在柱殼的非線性振動(dòng)中，各模態(tài)之間將發(fā)生非常復(fù)雜的相互作用，表現(xiàn)出極其豐富多變的振動(dòng)行為，下式給出中面上滿足邊界條件的位移函數(shù)：

其中：m為軸向半波數(shù)，n為環(huán)向波數(shù)，λ_m＝mπ/L，t為時(shí)間，u_mn(t),v_mn(t),w_mn(t)是廣義坐標(biāo)，且為與時(shí)間t有關(guān)的函數(shù)；

提取的位移函數(shù)如下：

其中，(u₁,v₁,w₁)、(u₂,v₂,w₂)分別為對(duì)稱模態(tài)與非對(duì)稱模態(tài)的廣義模態(tài)位移；

令q＝[u₁,u₂,v₁,v₂,w₁,w₂]^T，可以得到

其中，M為一般質(zhì)量矩陣，C為阻尼矩陣，K為線性剛度矩陣，K₂和K₃分別為二次和三次非線性剛度矩陣，F(xiàn)＝[F₁,F₂,F₃,F₄,F₅,F₆]^T表示激勵(lì)幅值；

由于薄壁圓柱殼受到徑向簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用，即有F₁＝F₂＝F₃＝F₄＝0，由于面內(nèi)位移相對(duì)于徑向位移較小，相應(yīng)的面內(nèi)慣性與阻尼可以忽略不計(jì)，基于自由度凝聚法，[u₁,u₂,v₁,v₂]^T，[w₁,w₂]^T和的關(guān)系如下所示：

其中

進(jìn)一步可得下述方程組：

根據(jù)式(21)的最后兩行，提取如下的非線性微分方程，即：

將式(23)代入式(24)得：

上述耦合的非線性微分方程可描述圓柱殼徑向運(yùn)動(dòng)；

(2)利用相應(yīng)的線性方程得到不同模態(tài)的固有頻率，忽方程組(25)的阻尼項(xiàng)以及非線性項(xiàng)，得：

通過計(jì)算式(26)得固有頻率的表達(dá)式：

對(duì)于不可壓縮Mooney-Rivlin材料組成的薄壁圓柱殼，材料參數(shù)μ₁＝416185.5Pa,μ₂＝-498.8Pa,ρ＝1100kgm^-3，定義結(jié)構(gòu)參數(shù)α＝h/R，η＝2R/l，此處α表示厚徑比，η表示徑長(zhǎng)比，不同的模態(tài)其對(duì)應(yīng)的固有頻率不同，對(duì)稱模態(tài)的固有頻率隨著軸向半波數(shù)m的增大而增大；通過比較不同軸向半波數(shù)m下的固有頻率，當(dāng)m＝1，頻率最小；(m,n)＝(1,6)對(duì)應(yīng)的線性頻率達(dá)到最小值，此為薄壁圓柱殼的結(jié)構(gòu)基頻，此時(shí)對(duì)稱模態(tài)(m,n)＝(1,0)頻率與非對(duì)稱模態(tài)(m,n)＝(1,6)頻率的比值為ω₁:ω₂≈2:1，也即說(shuō)明，殼體存在2:1內(nèi)共振；

(3)引入下列無(wú)量綱變量，

τ＝ω₂₀t,

將式(28)代入到式(25)，這樣

進(jìn)一步引入下述變換，

則式(29)可變?yōu)椋?/p>

式(31)給出了無(wú)量綱的徑向運(yùn)動(dòng)方程；

首先引入一個(gè)無(wú)量綱的小參數(shù)ε＝h/R衡量徑向運(yùn)動(dòng)為小幅值，并將阻尼和外激勵(lì)幅值表征為小參數(shù)，即

P₁＝ε²p₁,P₂＝ε²p₂ (32)

在該情況下，則式(31)可轉(zhuǎn)換為

假設(shè)方程組(33)的解可以表示為關(guān)于小參數(shù)ε的冪級(jí)展開式，即有如下形式：

其中，T₀＝τ,T₁＝ετ表示為時(shí)間尺度，則展開式對(duì)新時(shí)間尺度的導(dǎo)數(shù)如下

其中，D_j,j＝0,1表示偏微分算子

將式(34)和(35)代入方程組(33)，令等式兩邊小參數(shù)ε的相同冪次的系數(shù)相等，可得：

ε的零階算子：

ε的一階算子：

方程組(36)的解記作如下形式：

其中，A₁(T₁),A₂(T₁)為待確定的復(fù)數(shù)形式的幅值函數(shù)，cc為所在方程的左邊各項(xiàng)的共軛復(fù)數(shù)，將式(38)代入方程組(37)可得：

其中，A₁，A₂的共軛復(fù)數(shù)為

現(xiàn)引入?yún)f(xié)調(diào)參數(shù)σ₁和σ₂分別描述Ω與1，λ與2的接近程度，給出了如下頻率關(guān)系，即：

Ω＝1+σ₁ε,λ＝2+σ₂ε (40)

將式(40)代入方程組(39)消除永期項(xiàng)可得：

令幅值函數(shù)為：

其中，a_i和β_i(i＝1,2)分別是與時(shí)間T₁有關(guān)的幅值和相位；

將式(42)代入方程組(41)實(shí)虛部分離可得

其中

γ₁＝2β₂-σ₂T₁-β,γ₂＝σ₁T₁-β₂ (44)

對(duì)于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，a_i,γ_i(i＝1,2)與時(shí)間T₁無(wú)關(guān)，則有

對(duì)方程組(45)，消除γ₁,γ₂以及a₂，可得對(duì)稱模態(tài)的幅頻關(guān)系，即：

其中，

結(jié)合式(46)和式(47)可得幅值a₁；因此非對(duì)稱模態(tài)的幅頻關(guān)系為：

2.如權(quán)利要求1所述的確定超彈性薄壁圓柱殼的內(nèi)共振特性的方法，其特征在于：利用多尺度法得到由不可壓縮Mooney-Rivlin材料組成的薄壁圓柱殼的共振響應(yīng)關(guān)系，圓柱殼的中面半徑為R＝100×10^-3m，所給的幾何參數(shù)滿足對(duì)稱模態(tài)(m,n)＝(1,0)與非對(duì)稱模態(tài)(m,n)＝(1,6)之間的2:1內(nèi)共振條件，給出不同參數(shù)下的幅頻響應(yīng)關(guān)系，并分析共振響應(yīng)的穩(wěn)定性：

不同激勵(lì)幅值對(duì)圓柱殼結(jié)構(gòu)響應(yīng)曲線的影響，對(duì)足夠大的激勵(lì)幅值P₂，出現(xiàn)了典型的雙跳現(xiàn)象；對(duì)于不同的激勵(lì)，曲線有兩個(gè)分開的多值區(qū)間，以至于有兩次跳躍，表明了殼的非線性軟化和硬化特性；

不同阻尼系數(shù)對(duì)圓柱殼共振響應(yīng)的影響，阻尼越小，其非線性越明顯；隨著阻尼系數(shù)的增大，幅值、共振區(qū)間、不穩(wěn)定解的區(qū)間以及多值區(qū)間逐漸減小；推測(cè)當(dāng)阻尼系數(shù)達(dá)到一定值時(shí)，多值區(qū)間將消失；對(duì)稱模態(tài)阻尼c₁相較于非對(duì)稱模態(tài)阻尼c₂對(duì)幅值的影響較為明顯；

結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)圓柱殼的非線性響應(yīng)的影響，分析不同徑長(zhǎng)比η下幅頻響應(yīng)曲線：當(dāng)η＝2.2572時(shí)，通過計(jì)算可知協(xié)調(diào)參數(shù)σ₂足夠小，說(shuō)明對(duì)稱模態(tài)的固有頻率與非對(duì)稱模態(tài)的固有頻率的比值幾乎等于2:1；兩個(gè)模態(tài)的曲線中出現(xiàn)的兩個(gè)共振峰近似對(duì)稱，隨著結(jié)構(gòu)參數(shù)徑長(zhǎng)比η的減小，向右彎曲的峰逐漸消減直至消失，但向左彎曲的峰在一定程度上得到了加強(qiáng)；此外，徑長(zhǎng)比η對(duì)非對(duì)稱模態(tài)的影響更為明顯，這導(dǎo)致了非對(duì)稱模態(tài)所分配的能量更多，這種現(xiàn)象進(jìn)一步說(shuō)明了徑長(zhǎng)比的減小會(huì)抑制其非線性動(dòng)力學(xué)行為的硬化特性，并對(duì)其非軸對(duì)稱模態(tài)軟化特性有所增強(qiáng)；與此同時(shí)，在截?cái)鄥?shù)σ₁＝0鄰域中，隨著η的減小，不穩(wěn)定解的區(qū)間逐漸左移，當(dāng)η增加到一定值時(shí)，不穩(wěn)定解的區(qū)間將會(huì)消失；

結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)圓柱殼的非線性響應(yīng)的影響，分析不同厚徑比α下的幅頻響應(yīng)關(guān)系：隨著厚徑比α的減小，向右彎曲的共振峰將逐漸減小直至消失，同時(shí)向左彎曲的共振峰得到了一定的加強(qiáng)，并且對(duì)非軸對(duì)稱模態(tài)的影響也是更加明顯的。