[發明專利]一種采用Jordan分解進行編隊飛行小推力重構的方法

有效

• 申請號: 201910595964.8
• 申請日: 2019-07-03
• 公開（公告）號: CN110488858B
• 公開（公告）日: 2020-05-19
• 發明（設計）人: 徐明;白雪;鄭亞茹;伍濤;曲慶渝
• 申請（專利權）人: 北京航空航天大學
• 主分類號: G05D1/10
• 分類號: G05D1/10
• 代理公司: 北京永創新實專利事務所 11121
• 代理人: 冀學軍

1.一種采用Jordan分解進行編隊飛行小推力重構的方法，其特征在于包括有下列步驟：

步驟一，建立無攝圓軌道下主星與從星的相對運動模型；

為了維持編隊飛行構型采用CW方程來描述主星與從星的相對位置關系，并在所述的CW方程中添加了外部控制加速度u，使得主星與從星滿足式(1)的相對運動關系：

X表示從星S₂相對于主星S₁的運動狀態量；

表示X的變化率；

Φ表示運動系數矩陣；

u表示加速度加載；

A表示Φ的右下角對角元素，且ω表示主星的軌道角速度；-A表示A的相反數；

B表示Φ的左下角對角元素，-B表示B的相反數；

矩陣Φ的特征值是反映式(1)動態行為的主要指標，即式中空白項均為0，U表示Φ的特征向量，U^-1表示U的逆矩陣；

步驟二，針對運動系數矩陣進行Jordan分解，得到解耦的相對運動關系的通解；

由步驟一得到矩陣Φ，針對Φ進行Jordan分解V^-1ΦV＝J，V表示Jordan分解的特征向量，V^-1表示V的逆矩陣，得到表征六維運動模態的特征矩陣J，其中

令Z＝V^-1X，Z表示變換后運動狀態量，X表示從星S₂相對于主星S₁的運動狀態量，并將J帶入式(1)可得相對運動關系：

表示Z的變化率；

P表示u的系數，且P的取值為V的第3列到第6列部分的元素；

當u＝0時，由簡化的式(2)可得通解式為Z(t)＝e^JtZ₀，Z(t)表示隨時間變化的屬于X的坐標變換后的狀態量，e^Jt表示狀態轉移矩陣，J表示六維運動模態的特征矩陣，t表示時間，Z₀表示Z的狀態初始值；

在u＝0時，Z₀為常值向量，而狀態轉移矩陣寫作：

所述e^Jt中的元素分別表征不同的運動模態，其中，cosωt是主星角速度與時間乘積的余弦值，sinωt是主星角速度與時間乘積的正弦值，-sinωt是sinωt的相反數；

步驟三，將變換后運動狀態量的初值Z₀視為區分編隊構型的不變量，建立由初始軌道構型到目標軌道構型狀態量的泛函；

在通解Z(t)＝e^JtZ₀中，Z₀除了作為積分常數外，還可視為區別編隊構型的不變量；狀態轉移矩陣e^Jt可以看作為CW方程的基礎解系，即從星相對主星的所有運動都視為狀態轉移矩陣所有列向量的線性組合；

當u≠0時，Z(t)仍可視為狀態轉移矩陣所有列向量的時變線性組合，即：

Z(t)＝e^JtZ₀(t) (4)

將式(4)求導并代入式(3)，可以得到：

表示Z₀的變化率，其物理意義是在小推力發動機控制u作用下，衛星編隊中從星從初始軌道構型重構到目標軌道構型所走的路徑；

聯立式(4)和式(5)，可得u(t)的最小二乘解為：

u表示加速度加載；

u(t)表示隨時間變化的加速度加載；

將記為M，為同時滿足變換后運動狀態量的初值微分條件和加速度加載為最小二乘解形式，將P(P^TP)^-1P^T記為N，則：

(N-I)·M＝0 (7)

I表示單位矩陣；此時，M表征為N的特征值為1時的特征向量；N具有特征值分布為{0,0,0,1,1,1}，其中特征值為1時N的正交特征向量記為E；因此，滿足式(7)的隨時間變化的任意M可表示為：

M(t)＝E·γ(t) (8)

γ(t)表示編隊重構的優化系數向量，且為任一3×1維向量；

將(8)式帶入可得則編隊重構問題可表示為由所述γ(t)到編隊重構的目標軌道構型狀態量Z₀(T_d)的泛函：

T_d表示編隊重構結束時間；

e^-Jt為狀態轉移矩陣e^Jt的逆；

E為特征值為1時N的正交特征向量；

dt為時間的微分；

Z₀(T_d)表示編隊重構的目標構型狀態量；

Z₀(0)表示編隊重構的初始構型狀態量；

步驟四，用多項式描述編隊重構的優化系數向量γ(t)，化簡由初始軌道構型到目標軌道構型狀態量的泛函；

采用多項式近似求解式(9)所建立的編隊由初始構型到目標構型的重構路徑；則編隊重構的優化系數向量γ(t)可以寫作：

j表示編隊重構的多項式求解階數，且j最大值取2；

t^j表示時間的階數；

D_j表示當階數為j時的常值系數向量；

將式(10)代入式(9)可以得到：

為了簡化，將記為重構路徑常數矩陣G_j，可知G_j與重構路徑無關，可以離線計算；當j最大值取2時，式(11)可改寫為：

Z₀(T_d)-Z₀(0)＝[G₀E G₁E G₂E]·[D₀ D₁ D₂]^T (12)

Z₀(T_d)表示編隊重構的目標構型狀態量；

Z₀(0)表示編隊重構的初始構型狀態量；

E為特征值為1時N的正交特征向量；

G_j表示重構路徑常數矩陣；

G₀表示j＝0時的重構路徑常數矩陣取值；

G₁表示j＝1時的重構路徑常數矩陣取值；

G₂表示j＝2時的重構路徑常數矩陣取值；

D₀表示j＝0時的常值系數向量取值；

D₁表示j＝1時的常值系數向量取值；

D₂表示j＝2時的常值系數向量取值；

上角標T為坐標轉置符；

步驟五，以控制燃料消耗總量L最小為收斂約束，優化求解編隊重構的優化系數向量γ(t)；

對于同一重構路徑，D_j的選擇不唯一，故需根據控制燃料消耗總量選擇；將和代入式(6)可得：

則，控制燃料消耗總量可以表示為：

k表示轉置后加速度加載的多項式求解階數，且k最大值取2；

j表示編隊重構的多項式求解階數，且j最大值取2；

表示轉置后當階數為k時的常值系數向量；

對于D_j的選擇是將編隊重構的路徑求解問題轉化為具有等式約束的非線性燃料消耗總量優化問題，即求解燃料消耗總量的最小L_min且D_j滿足Z₀(T_d)-Z₀(0)＝[G₀E G₁E G₂E]·[D₀D₁ D₂]^T。