[發(fā)明專利]一種正交各向異性對邊簡支矩形薄板振動分析方法

有效

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• 申請日: 2019-01-25
• 公開（公告）號: CN109948180B
• 公開（公告）日: 2021-05-25
• 發(fā)明（設(shè)計）人: 邱志平;姜南;祝博;王曉軍;王磊
• 申請（專利權(quán)）人: 北京航空航天大學(xué)
• 主分類號: G06F30/23
• 分類號: G06F30/23;G06F30/17;G06F119/14
• 代理公司: 北京科迪生專利代理有限責(zé)任公司 11251
• 代理人: 楊學(xué)明;顧煒

本發(fā)明公開了一種正交各向異性對邊簡支矩形薄板振動分析方法。該方法基于正交各向異性矩形薄板的自由振動方程，首先建立了振型微分方程，完成了哈密頓正則方程的構(gòu)建；其次，按照辛幾何方法，利用分離變量法求解，推導(dǎo)了特征方程相應(yīng)的特征值的表達式，分析了兩組特征值的取值情況；構(gòu)建了含待定常數(shù)的振型函數(shù)通解形式，結(jié)合對邊簡支邊界條件，推導(dǎo)了本征值及其本征向量表達式，并證明了本征向量系的辛正交性和完備性；采用辛本征向量展開，得到了狀態(tài)向量的表達式，進而獲得了振型函數(shù)的通解；最后，針對對邊簡支的六種常見邊界條件，分別推導(dǎo)了相應(yīng)的頻率方程，從而實現(xiàn)了自由振動頻率的精確求解，能夠為開展其動力學(xué)分析及相關(guān)應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

技術(shù)領(lǐng)域

本發(fā)明屬于板自由振動分析與求解技術(shù)領(lǐng)域，特別涉及一種正交各向異性對邊簡支矩形薄板振動分析方法，其在哈密頓系統(tǒng)下采用辛幾何方法實現(xiàn)正交各向異性對邊簡支矩形薄板自由振動頻率的理性推導(dǎo)與準(zhǔn)確求解，為進而開展矩形薄板的動力學(xué)分析與性能評估、故障診斷、減振降噪等應(yīng)用提供了理論參考依據(jù)。

背景技術(shù)

振動問題是工程中常見的物理現(xiàn)象，在航空航天、土木建筑等領(lǐng)域中廣泛存在。振動問題已引發(fā)導(dǎo)致了多起飛機、橋梁事故，飛行器起飛、著陸及整個飛行過程中也存在著振動現(xiàn)象。因此，合理分析并準(zhǔn)確求解振動問題具有重要工程意義。

矩形薄板是工程中常用的結(jié)構(gòu)形式，其振動一直受到廣泛關(guān)注。矩形薄板自由振動的核心問題就是求解板的固有振動頻率問題。矩形板經(jīng)典解法是Navier的重三角級數(shù)解和Levy的單三角級數(shù)解，但它們只能處理特定邊界條件，后來單三角級數(shù)疊加法、雙重傅立葉級數(shù)法等解析方法成為解決復(fù)雜邊界問題的主要方法。這些通用的解析方法均屬于半逆解法，雖然能求得解析解，但在求解過程中需要事先人為假定試函數(shù)，這使得找到的解受到很多限制。半逆法是在一類變量范圍內(nèi)進行的，屬于拉格朗日體系，本質(zhì)上是一種湊合解法，不具有一般性。雖然疊加法有助于解決這一難題，但由于它還是在半逆法的基礎(chǔ)上求解，在處理一些復(fù)雜的矩形板問題時，各疊加項的選取無規(guī)律可循，常常讓人無所適從。

多年來，不少學(xué)者采用瑞利-利茲法、有限元法、微分求積法等數(shù)值方法直接求解，雖然不用事先假設(shè)，但是存在計算誤差，高精度要求下往往要以驚人計算量為代價。也有學(xué)者直接對振型函數(shù)變量分離，雖然也得到了準(zhǔn)確結(jié)果，但并沒有從數(shù)學(xué)角度證明其合理性，這種分離變量法會受到自共扼算子譜的限制，本征函數(shù)的正交性和完備性在理論上不能保證。

1990年，鐘萬勰院士將辛幾何的概念和哈密頓系統(tǒng)理淪引入到彈性力學(xué)問題中，建立了彈性力學(xué)辛求解體系，改變了以往求解過程中大量運用的逆解法和半逆解法，將問題導(dǎo)向了更理性的直接求解方法。哈密頓系統(tǒng)辛求解體系在二類變量范圍內(nèi)求解，不需要任何人為選定解析形式，是完全理性的直接求解方法，突破了半逆解法的限制，已經(jīng)應(yīng)用于各向同性材料矩形薄板的自由振動分析中，顯示出良好的優(yōu)越性。

正交各向異性材料由于具有重量輕、強度高的特點，而且呈現(xiàn)各向異性性能，廣泛用于航空航天、船舶結(jié)構(gòu)、土木工程等各個領(lǐng)域。隨著科技的不斷進步，對正交各向異性材料結(jié)構(gòu)的需求越來越突出，理性分析并準(zhǔn)確求解正交各向異性矩形薄板自由振動問題更為必要。

因此，如何將理性分析求解的哈密頓系統(tǒng)辛求解體系應(yīng)用于正交各向異性矩形薄板自由振動問題中，從而更合理準(zhǔn)確地獲得自由振動頻率是正交各向異性矩形薄板自由振動的挑戰(zhàn)性問題。本發(fā)明將重點探究哈密頓系統(tǒng)下正交各向異性對邊簡支矩形薄板自由振動頻率的求解問題，為進一步開展矩形薄板的動力學(xué)分析與性能評估、故障診斷、減振降噪等應(yīng)用提供技術(shù)基礎(chǔ)保障。

發(fā)明內(nèi)容

本發(fā)明要解決的技術(shù)問題是：克服現(xiàn)有技術(shù)的不足，考慮工程中常見的振動現(xiàn)象，提供一種正交各向異性對邊簡支矩形薄板振動分析方法，以薄板的基本方程為起點，以哈密頓系統(tǒng)的辛幾何方法作為自由振動頻率方程表達式解析推導(dǎo)的指導(dǎo)策略，頻率方程推導(dǎo)過程完全理性合理、所得頻率結(jié)果計算準(zhǔn)確有效、符合真實情況，工程指導(dǎo)意義更強。

本發(fā)明采用的技術(shù)方案為：一種正交各向異性對邊簡支矩形薄板振動分析方法，該方法實現(xiàn)步驟如下：