[發明專利]應用于保密通信的受控Shimizu-Morioka系統與T系統的廣義混沌同步方法

在審

• 申請號: 201811137686.3
• 申請日: 2018-09-28
• 公開（公告）號: CN109474427A
• 公開（公告）日: 2019-03-15
• 發明（設計）人: 張端;孫瑩
• 申請（專利權）人: 浙江工業大學
• 主分類號: H04L9/12
• 分類號: H04L9/12;H04L9/00
• 代理公司: 杭州斯可睿專利事務所有限公司 33241
• 代理人: 王利強

1.一種應用于保密通信的受控Shimizu-Morioka系統與T系統的廣義混沌同步方法，其特征在于，包括以下步驟：

1)廣義混沌同步問題描述

驅動系統為T系統，形式如下：

其中x＝(x₁,x₂,x₃)^T是狀態變量，a、b和c是已知的正實數參數，2a-b≠0；

以受控Shimizu-Morioka系統為響應系統，形式如下：

其中ξ＝(ξ₁,ξ₂,ξ₃)^T是狀態變量，u是標量輸入，α和β為系統中已知的正實數參數，此β與式(1)中的b等值，即β＝b；

廣義混沌同步要實現的目標是：在驅動系統(1)與響應系統(2)初值分別為x(t₀)和ξ(t₀)，響應系統軌跡經過狀態反饋

u＝u(x,ξ,t) (3)

其中t表示時間，和相空間之間的狀態變換

ξ＝T(x) (4)

后趨向于驅動系統的軌跡,即

這里||·||代表空間中向量的2-范數；

2)響應系統的狀態變換和反饋

對響應系統(2)作如下狀態變換η＝S(ξ)其中η＝(η₁,η₂,η₃)^T

所以，這是一個線性變換，M_S為3階方陣，此線性變換的逆變換為

以η為狀態，系統表示為

作反饋

u＝-(1-η₁)η₂+αη₃+u₀ (9)

再考慮到β＝b，系統簡化為

該系統屬于受控的下三角系統，三階下三角系統的一般形式為

其中w為輸入控制量；另一方面觀察系統(10)的后兩個等式實際形成了線性系統形式，所以系統(10)為實現部分線性化；

3)驅動系統的狀態轉換

為了找尋驅動系統(1)的狀態變換以簡化系統，先為此系統加上控制量成為

其中v為加入的輸入控制量；

系統(12)作反饋

v＝(a-c)x₁+ax₁x₃+v₁ (13)

系統可簡化為

考慮將系統(14)通過狀態變換和進一步的反饋轉換為更為簡單與系統(10)更為相似的形式，以便于設計廣義同步控制方法；由于系統(10)為下三角形式的受控常微分方程，希望系統(14)能轉換為同樣后者相似形式，

為此，記系統(14)的漂移向量場為

以及輸入向量場為

令向量場

計算如下向量場李括號

注意在全局范圍內秩為2，并且說明此分布對合；令

計算如下向量場李括號

在x₁＝0或者2a-b＝0時是秩仍為2，這也說明系統(14)不可能實現狀態反饋線性化；但是，當2a-b≠0時，僅在一個零測度集內秩為2，此集合之外秩均為3，所以系統(14)可以通過狀態變換等價轉換為下三角系統(11)，然而，仍需探究系統(14)究竟能轉換為何種下三角系統的問題，并且希望得到形式上較為簡單的下三角系統，為此，注意到

此時全局范圍內分布的秩為3并且對合，令

取如下分布

Δ₀＝span{X₀}；Δ₁＝span{X₀,X₁}；Δ₂＝span{X₀,X₁,X₂}， (23)

分布Δ₀,Δ₁,Δ₂及X₀,X₁,X₂具有如下性質：

①可驗證[X₀,X₁]＝0，[X₁,X₂]＝0以及[X₀,X₂]＝0

②由①，Δ₀,Δ₁,Δ₂均為對合分布；

③由①，存在狀態變換h＝(h₁(x),h₂(x),h₃(x))^T＝H(x)＝H(x₁,x₂,x₃)滿足

④由于說明性質③中的狀態變換h下，系統必定仍然具有下三角形式；

上述性質③也意味著滿足以下3個偏微分方程組，第1組為

其中h₁(x)為光滑函數，符號”L”表示做李導數，第2組為

其中h₂(x)為光滑函數，第3組為

其中h₃(x)為光滑函數，上述3組偏微分方程的可行解分別為

在h＝(h₁,h₂,h₃)^T狀態下系統成為

該系統實際上已具有下三角系統如系統(11)的形式，但從系統(29)的第二個式子看，上述系統通過如下狀態變換還可進一步簡化

如用y＝(y₁,y₂,y₃)^T狀態表示x狀態則為

在y狀態下寫出系統

對比系統(12)和系統(32)可知經過狀態變化(30)系統(1)成為

上述系統的前2個方程在形式于驅動系統的等價形式(34)已實現一致；

4)廣義同步

現在考慮系統(33)與系統(35)的同步問題，令二者狀態差為e＝η-y＝(e₁,e₂,e₃)^T，則

設計反饋

系統表示為

對于上述系統的子系統

根據線性系統的經典方法設計如下控制器：

該控制器下系統(39)將在的有限時間控制內，即t₁時刻實現e₂(t₁)＝e₃(t₁)＝0，設計一種控制器從t₀時刻開始，經有限時間實現e₂(t₁)＝e₃(t₁)＝0，并保證此過程中控制量有連續的一階導數并過渡到0；首先，設計預想的e₂(t)為

其中p(t)為一元多項式，由于要求t₁時刻到達系統(39)的原點以及u₁在t＞t₀范圍內有連續的一階導數，這意味著e₂(t)在t₁時有連續的三階導數，實際上e₂(t)和其一、二、三階導數再t₁時刻為保證連續均只能為0，即

再考慮系統(39)的t₀時刻應滿足

由于式(42)和式(43)共給出6個條件，所以p(t₀)應為5次多項式，再利用式(42)得

其中C₀和C₁為待定系數，利用式(43)的第1個式子得到

再由式(43)的第2個式子

整理得到

該e₂(t)滿足式(42)和式(43)的各項要求，那么

以及

明顯e₂(t₁)＝e₃(t₁)＝u₁(t₁)＝0；

在時間t₁之后，系統(38)的第一個方程成為此方程明顯是大范圍漸進穩定的，從而系統(38)大范圍漸進穩定，說明系統(50)與系統(33)在此控制律下實現同步；

回到系統(1)與系統(2)的廣義同步問題，系統(2)經過狀態變換(6)成為系統(51)，系統(1)作了反饋和狀態變換后成為系統(33)，其間的狀態變換需綜合式(28)以及式(30)

并命名此狀態變換為y＝(y₁,y₂,y₃)^T＝Y((x₁,x₂,x₃)^T)＝Y(x)，而控制律可見式(37)，其中u₁的表達式見式(49)。