[發明專利]基于無網格RKPM各向異性材料二維熱變形和熱應力分析方法

有效

• 申請號: 201810129449.6
• 申請日: 2018-02-08
• 公開（公告）號: CN108345741B
• 公開（公告）日: 2021-07-09
• 發明（設計）人: 張建平;王樹森;龔曙光;吳淑英;胡慧瑤;劉庭顯
• 申請（專利權）人: 湘潭大學
• 主分類號: G06F30/23
• 分類號: G06F30/23;G06F119/08
• 代理公司: 暫無信息
• 代理人: 暫無信息

1.基于無網格RKPM的各向異性材料結構二維熱變形和熱應力分析方法，其特征在于包括以下步驟：

(1)對計算模型進行無網格RKPM前處理：根據實際工程中所選計算模型的工況，確定無網格RKPM各向異性材料結構的主熱導率λ₁、主彈性模量E₁、主泊松比ν₁₂、主熱膨脹系數α₁、剪切模量G₁₂、熱導率正交各向異性因子Ht、主次泊松比因子Bt、熱膨脹正交各向異性因子Pt和材料方向角θ等材料屬性；根據給定的材料屬性，計算熱導率坐標變換矩陣、正交各向異性彈性矩陣、平面轉軸矩陣、正交各向異性總彈性矩陣、熱膨脹彈性矩陣和熱膨脹系數列向量；導入計算模型的幾何模型、無網格RKPM離散節點信息和邊界條件；生成無網格RKPM積分背景網格；確定高斯點的坐標、權重系數和雅可比；

(2)基于無網格RKPM分析各向異性材料結構的二維熱變形位移場，無網格RKPM區別于其他無網格法最大的不同在于其形函數采用重構核近似進行構造，在任意節點x處的熱變形位移場u^h(x)可由其影響域內的節點值u_I擬合出來，

式中，C(x；x_I-x)為校正函數，ω(x_I-x)為核函數，Δx_I為第I個節點x_I所對應的面積，φ_I(x)為對應第I個節點x_I的無網格RKPM形函數，寫成矩陣形式為：

Φ(x)＝[φ₁(x),φ₂(x)···φ_n(x)]＝p^T(0)M^-1(x)H(x)

其中，

p^T(0)＝[1,0,0,0,0,0]

H(x)＝[p(x₁-x)ω(x₁-x)Δx₁,p(x₂-x)ω(x₂-x)Δx₂,...,p(x_I-x)ω(x_I-x)Δx_I]

p(x_I-x)＝[1,x_I-x,y_I-y,(x_I-x)²,(x_I-x)(y_I-y),(y_I-y)²]^T

基于無網格RKPM的熱變形位移場分析的具體步驟為：(A)計算單個高斯點影響域內的RKPM力剛度矩陣并組裝整體RKPM力剛度矩陣；(B)計算單個高斯點影響域內由于溫差引起的RKPM溫差載荷向量并組裝整體RKPM溫差載荷列向量，溫差為該高斯點的RKPM實際溫度與RKPM參考溫度的差值，高斯點的RKPM實際溫度求解的具體步驟為：(a)首先根據節點和高斯點坐標求各高斯點與節點之間的距離并從小到大排序，并規定影響域內的節點個數，一般取8～10個為宜，按照距離先后順序采用可視性準則判斷RKPM溫度場的非連續性，即節點是否跨越邊界，如果跨界則刪掉該節點，并補充距離高斯點最近的新的節點進入，再次進行可視性準則判斷，直到滿足條件的節點達到規定的節點個數，取符合條件的節點中距離高斯點最遠的節點和該高斯點之間的距離為s[k]，該高斯點的動態影響域半徑d_mI＝scale×s[k]，scale是大于1的乘子，取值為1.2～1.5，采用圓形影響域，核函數ω_I(x)＝ω(x-x_I)，在第I個節點x_I處的值最大，且具有緊支性，將高斯點與節點的距離正則化處理，r＝||gx-x_I||/d_mI，將r定義為其中x_I，y_I為第I個節點x_I在x方向和y方向的節點坐標；其次逐個搜索高斯點影響域內的節點并計算其重構核近似形函數及其導數，建立單個高斯點影響域內的RKPM熱傳導矩陣并組裝整體RKPM熱傳導剛度矩陣；(b)施加混合傳熱邊界條件，采用罰函數法處理第一類傳熱邊界條件，罰因子α取值范圍為2×10⁶～2×10⁸；(c)形成系統總的RKPM熱剛度矩陣和RKPM溫差載荷列向量；(d)建立各向異性材料結構無網格RKPM穩態傳熱離散控制方程，并求解計算模型離散節點的RKPM溫度參數值；(e)采用重構核近似對得到的RKPM溫度參數值進行插值，就可獲得計算模型高斯點的RKPM實際溫度值；(C)施加位移邊界條件和力載荷，采用罰函數法處理位移邊界條件，罰因子的經驗取值為10³×E，其中E為主彈性模量；(D)建立各向異性材料結構無網格RKPM熱應力離散控制方程，并求解計算模型離散節點的RKPM熱變形位移參數值，具體方程為Ku＝f，其中

其中，D₁＝[T]^-1[Q]([T]^-1)^T，D₁為正交各向異性彈性矩陣，D₂＝[T]^-1[Q]，D₂為熱膨脹彈性矩陣，[T]^-1為平面轉軸矩陣，[Q]為正交各向異性彈性矩陣，其中Q₃₃＝G₁₂，φ_i,x和φ_i,y分別為無網格RKPM形函數關于坐標x和y的導數，∫_ΩΦ_if_idΩ為RKPM溫差載荷列向量，為處理位移邊界條件引起的RKPM力載荷列向量修正項，α為罰因子，為外力引起的RKPM力載荷列向量，當x或y方向有位移約束時，相應的s_x(或s_y)等于1；否則為0；θ為材料方向角；E₁和ν₁₂分別為材料沿x方向的彈性模量和泊松比，E₂和ν₂₁分別為材料沿y方向的彈性模量和泊松比，要保證E₁ν₂₁＝E₂ν₁₂；(E)采用重構核近似對得到的RKPM熱變形位移參數值進行插值，就可獲得計算模型離散節點的RKPM實際熱變形位移值；

(3)求解RKPM熱應力值：利用步驟(2)得到的RKPM熱變形位移參數值，計算出高斯點的RKPM應力值，進而得到計算模型離散節點的RKPM應力值，具體方程為式中，ε₀為溫度應變，對于平面問題溫度應變為ε₀＝[α₁(θ_T-θ₀) α₂(θ_T-θ₀) 0]^T，α₁，α₂分別為材料坐標系主軸1，2方向的熱膨脹系數，θ₀為參考溫度，θ_T為步驟(2)所獲得的計算模型高斯點的RKPM實際溫度值，即基于無網格RKPM各向異性材料結構二維穩態熱傳導問題的解；具體步驟為：(A)首先根據輸入高斯點和節點坐標求各節點與高斯點之間的距離并從小到大排序，并規定影響域內的高斯點個數，一般取9～12個為宜，按照距離先后順序采用可視性準則判斷RKPM熱變形位移場的非連續性，即高斯點是否跨越邊界，如果跨界則刪掉該高斯點，并補充距離節點最近的新的高斯點進入，再次進行可視性準則判斷，直到滿足條件的高斯點達到規定的高斯點個數，取符合條件的高斯點中距離節點最遠的高斯點和該節點之間的距離為g[k]，該節點的動態影響域半徑d_mx＝scale×g[k]，scale是大于1的乘子，取值為1.2～1.5，核函數ω_I(x)＝ω(x-x_I)，在第I個節點x_I處的值最大，且具有緊支性，將高斯點與節點的距離正則化處理，r＝||gx-x_I||/d_mx，將r定義為其中gx，gy為高斯點坐標；(B)逐個搜索節點影響域內的高斯點，采用重構核近似對節點影響域內的高斯點的RKPM應力進行插值就可得到節點的RKPM應力值；

(4)對計算結果進行后處理，并將無網格RKPM的計算結果與有限元的計算結果以及參考解比較：(A)讀入有限元的計算結果和參考解；(B)無網格RKPM計算模型溫度結果值的輸出及溫度云圖顯示，無網格RKPM計算模型熱變形位移結果值的輸出及位移云圖顯示，無網格RKPM計算模型熱應力結果值的輸出及熱應力云圖顯示；(C)利用輸出的結果繪制無網格RKPM、有限元法和參考解的沿某一指定路徑解的溫度曲線圖、熱變形位移曲線圖和熱應力曲線圖，并對三者進行直觀的精度比較。