[發明專利]一種基于變換材料的光學分數階傅里葉變換的裝置和設計方法

有效

• 申請號: 201710979945.6
• 申請日: 2017-10-19
• 公開（公告）號: CN107703626B
• 公開（公告）日: 2020-04-17
• 發明（設計）人: 胡進;陳靜;楊曉波
• 申請（專利權）人: 北京理工大學
• 主分類號: G02B27/00
• 分類號: G02B27/00;G01J9/00
• 代理公司: 北京理工正陽知識產權代理事務所(普通合伙) 11639
• 代理人: 唐華

1.一種基于變換材料的光學分數階傅里葉變換的設計方法，其特征在于：依托的裝置包括輸入面、基于變換材料設計的二次折射率透鏡和輸出面；

所述裝置中基于變換材料設計的二次折射率透鏡，簡稱透鏡；

輸入面是輸入信號進入二次折射率透鏡的入射面，所述裝置是基于變換材料的原則，輸入面與傳統的GRIN透鏡輸入面相比，形狀發生了拉伸與改變，但輸入面的點與傳統的GRIN透鏡輸入面為一一對應的關系；

所述裝置中透鏡與傳統的GRIN透鏡相比，改變傳統的GRIN透鏡中原有的軸向與徑向梯度折射率的分布，使透鏡的折射率呈類似于環狀分布，表現為從輸入面到輸出面，透鏡折射率依次呈環狀增大，并在此過程中透鏡的環狀折射率分布所形成的環形半徑逐漸減小；透鏡折射率的改變導致了光在透鏡中傳播路徑的改變；

在信號輸入到輸入面，進入透鏡后，在透鏡中是一個分數階傅里葉變換的過程，最終在輸出面形成一個階次為1的輸入信號的分數階傅里葉變換，即為普通的傅里葉變換，在透鏡內部則形成了階次不同的輸入信號分數階傅里葉變換；

所述裝置在傳統的二次折射率透鏡的基礎上擴大輸入面，保持輸出面不變或縮小的共形變換；

所述裝置可以通過復變函數的保角變換方法推導出和傳統二次折射率透鏡的變換關系，再利用變換材料方法獲得折射率；

輸出面：即頻譜面，輸入光學信號經過二次折射率透鏡之后，出射波為輸入波的一個傅里葉變換信號；

所述基于變換材料的光學分數階傅里葉變換的設計方法，通過以下步驟實現：

步驟1：在二維平面下，以傳統的GRIN透鏡為基礎，保證透鏡輸出面和透鏡的厚度不變，彎曲透鏡；

其中，透鏡的高度所指方向z方向，且步驟1假設z方向是無限延伸的；步驟1中的透鏡彎曲角度為γ，γ彎曲程度可為0度到360度；

步驟1中透鏡在二維平面主伸長表示為公式(1)：

其中，h為透鏡的厚度，θ和r為步驟1透鏡彎曲后透鏡中的點的極坐標，分別為傳統的GRIN透鏡在步驟1彎曲后在極坐標下θ和r的主伸長；

步驟2：透鏡在步驟1的基礎上，沿透鏡中心在極坐標θ及r的方向拉伸，拉伸至透鏡中的各點各向同性；

其中，經過步驟2后透鏡在二維平面的主伸長表示為公式(2)：

其中，二維平面是r和θ組成的二維平面；θ′和r′為步驟2拉伸后透鏡中的點的極坐標，分別為經過步驟1彎曲的透鏡在步驟2拉伸后在二維平面θ及r方向的主伸長，表示θ′對θ求偏導，表示r′對r求偏導；

其中，步驟2要拉伸至各點各向同性，r方向的主伸長要滿足公式(3)：

由于步驟1彎曲和步驟2拉伸過程中始終保持透鏡輸出面不變，則GRIN透鏡和經過步驟1和步驟2后的透鏡的變換關系滿足公式(4)和(5)：

其中，R₁為輸出面所在圓弧的半徑，f(r)為步驟1彎曲和步驟2拉伸后透鏡中的各點與傳統的GRIN透鏡中各點的函數關系，exp[]為指數函數，f^-1(r')為f(r)函數的逆函數，ln為以e為底的對數；表示以e為底，對取對數；公式(4)體現了所述裝置中輸入面與傳統的GRIN透鏡輸入面上的點是一一對應的對應關系；

步驟3：通過變換材料的方法，基于步驟2計算出拉伸后透鏡的介電常數和磁導率；

其中，變換材料的方法中材料介電常數和磁導率變化前后關系為公式(6)和公式(7)：

其中，ε′和μ′為變換后材料的介電常數和磁導率，ε₀和μ₀為變換前材料的介電常數和磁導率，λ₁,λ₂,λ₃為三維坐標系下的主伸長；

由于步驟1中假設z方向上無限延伸，即假設在z方向沒有任何變形，則在z方向上的主伸長λ_z＝1，通過公式(6)和(7)得出經過步驟1彎曲和步驟2拉伸后透鏡的介電常數、磁導率和折射率的關系，即公式(8)：

其中，公式(8)中的ε₀、μ₀以及n₀為變換前透鏡的介電常數、磁導率和折射率，ε_r′、ε_θ′以及ε_z′分別為變換后透鏡的r，θ和z方向的介電常數，μ′_r,μ′_θ以及μ′_z分別變換后透鏡的為r，θ和z方向的磁導率，n′_r,n′_θ為變換后透鏡的r，θ方向的折射率。