[發明專利]一種密度為多項式的任意多面體的重力場正演方法

有效

• 申請號: 201710814134.0
• 申請日: 2017-09-11
• 公開（公告）號: CN107561592B
• 公開（公告）日: 2018-07-17
• 發明（設計）人: 陳超健;任政勇;湯井田
• 申請（專利權）人: 中南大學
• 主分類號: G01V7/06
• 分類號: G01V7/06;G06F17/11
• 代理公司: 長沙市融智專利事務所 43114
• 代理人: 楊萍

1.一種密度為多項式的任意多面體的重力場正演方法，其特征在于，包括以下步驟：

步驟1、確定任意多面體H的點和面的坐標、密度多項式表達式和觀測點坐標，則多面體在觀測點r'處產生的重力位和重力場計算表達式為：

其中，G＝6.673×10^-11m³kg^-1s^-2為引力常數，a_pqt為常數，n為λ(r)的階數，整數p,q,t分別為λ(r)在x,y,z方向的階數，滿足0≤p≤n，0≤q≤n和0≤t≤n；φ_pqt和g_pqt分別表示如下積分：

其中，R＝|r-r'|為觀測點r'到積分點r的距離，表示求在積分點r處的梯度，積分點r在多面體H內部；

步驟2、將上述計算表達式中的體積分轉換為面積分，從而得到只包含面積分的重力位和重力場計算公式：

步驟2.1、以觀測點r'為坐標原點，即r'＝(0,0,0)建立局部坐標系；設多面體H由N個多邊形構成，即且包含M條邊，即其中，為組成多面體H的面，為第i個面，表示構成面的邊，C_ij為第i個面的第j條邊；

步驟2.2、借助矢量恒等式、散度定理和梯度定理，分別對φ_pqt和g_pqt進行處理，得到其迭代計算表達式：

對于φ_pqt，

當p≥2時，有：

當p＝1時，有：

當q≥2時，有：

當q＝1時，有：

當t≥2時，有：

當t＝1時，有：

其中，為的外法線方向，和分別為x,y,z方向的單位向量；

當p＝q＝t＝0時，有：

對于g_pqt，有：

步驟2.3、通過式(1.6)～式(1.12)迭代計算，將φ_pqt和g_pqt轉換成多個面積分和體積分，再將式(1.6)～式(1.12)中存在的體積分用統一的形式表示：

I_v＝∫∫∫_Hx^ay^bz^cR^wdv (1.13)

其中，階數a,b,c為整數，且滿足0≤a≤p，0≤b≤q和0≤c≤t，w值為±1；

步驟2.4、借助矢量恒等式，得到I_v的迭代計算表達式：

當a≥2時，有：

當a＝1時，有：

當b≥2時，有：

當b＝1時，有：

當c≥2時，有：

當c＝1時，有：

當a＝b＝c＝0時，有：

I_v＝∫∫∫_HR^wdv (1.20)

步驟2.5、通過式(1.14)～式(1.20)迭代計算體積分I_v，最終將體積分轉換為面積分和一個相對簡單的體積分：

K_v＝∫∫∫_HR^δdv (1.21)

其中，δ≥-1，且為奇數；

步驟2.6、對體積分K_v進行計算，有：

其中，為觀測點r'到面的距離；

通過上述步驟，將所有的體積分轉換為面積分；

步驟3、將面積分轉換為線積分，從而得到只包含線積分的重力位和重力場計算公式：

步驟3.1、將式(1.6)～式(1.12)中的面積分、式(1.14)～式(1.20)迭代計算過程中產生的面積分以及式(1.22)中的面積分用統一的形式表示：

I_s＝∫∫_Γx^αy^βz^γR^δds (1.23)

其中，0≤α≤p,0≤β≤q,0≤γ≤t；Γ表示面

步驟3.2、借助矢量恒等式，得到I_s的迭代計算表達式：

當α≥2時，有：

其中，為邊C_ij的外法線方向；

當α＝1時，有：

當β≥2時，有：

當β＝1時，有：

當γ≥2時，有：

當γ＝1時，有：

當α＝β＝γ＝0時，有：

I_s＝∫∫_ΓR^δds (1.30)

步驟3.3、通過式(1.24)～式(1.30)迭代計算式(1.23)中的面積分，最后將其面積分轉化為一系列的線積分和一個相對較簡單的面積分，將得到的面積分和線積分用統一的形式表示：

K_s＝∫∫_ΓR^ζds (1.31)

其中，ζ≥-1，且為奇數；μ≥0,ν≥0,λ≥0,ξ≥1；

步驟3.4、在各個面上建立極坐標系借助矢量恒等式和面散度定理，處理式(1.31)中的面積分：

其中，點o為觀測點r'在面的投影點，β(o)為點o在面上的固體角，其等于構成面的M條邊對應的固體角之和，即其中β(o)_ij為邊C_ij對應的固體角，即點o和邊C_ij的兩個頂點構成的角；在邊C_ij上為一常數，ρ＝|r-o|表示點r到點o的距離；

通過上述步驟，將所有的面積分轉換為線積分；

步驟4、計算步驟三得到的重力位和重力場計算公式中的線積分，從而得到觀測點重力位和重力場：

步驟4.1、采用迭代的方式計算式(1.33)中的線積分：

初始積分為：

其中，R_ij0和R_ij1分別為觀測點r'到邊C_ij的兩個頂點v_ij0和v_ij1的距離，為邊C_ij的切線方向；

其中，初始線積分為：

步驟4.2、計算式(1.32)中的線積分：

先利用幾何關系將該線積分轉化為：

其中，r_⊥為觀測點r'在邊C_ij的投影點；

然后將式(1.36)的右邊展開，得到一系列簡單的線積分，將得到的線積分用統一的形式表示：

其中，1≤u≤μ+ν+λ；

再通過迭代計算進行求解：

如果s_ij為奇數，通過迭代計算，式(1.37)中的線積分最后變成核函數為s_ijR^ξ的線積分，通過如下計算表達式進行計算：

如果s_ij為偶數，通過迭代計算，式(1.37)中的線積分最后變成核函數為R^ξ的線積分，通過式(1.35)迭代求解。

2.根據權利要求1所述的密度為多項式的任意多面體的重力場正演方法，其特征在于，在步驟2.3、步驟2.5和步驟3.3的迭代計算過程中，優先對x、y和z中階數較小且階數不等于零的變量進行降維。