[發(fā)明專利]一種用于復(fù)合材料本構(gòu)方程參數(shù)確定的多目標(biāo)優(yōu)化方法

有效

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• 申請日: 2017-05-31
• 公開（公告）號: CN107273590B
• 公開（公告）日: 2018-06-15
• 發(fā)明（設(shè)計）人: 解麗靜;項(xiàng)俊鋒;高飛農(nóng);胡鑫;龐思勤;衣杰;岳楷欽;霍石巖;付宏鴿;王西彬
• 申請（專利權(quán)）人: 北京理工大學(xué)
• 主分類號: G06F17/50
• 分類號: G06F17/50
• 代理公司: 北京理工正陽知識產(chǎn)權(quán)代理事務(wù)所(普通合伙) 11639
• 代理人: 毛燕

1.一種用于復(fù)合材料本構(gòu)方程參數(shù)確定的多目標(biāo)優(yōu)化方法，其特征在于：具體步驟如下，

步驟一、建立基于卡方誤差準(zhǔn)則本構(gòu)方程參數(shù)優(yōu)化的度量模型；

復(fù)合材料本構(gòu)方程參數(shù)確定優(yōu)化問題就是求解所有測試數(shù)據(jù)點(diǎn)上的非線性最小二乘問題，用卡方誤差準(zhǔn)則作為參數(shù)優(yōu)化的度量模型；

其中，σ^Exp是實(shí)驗(yàn)觀察到的流動應(yīng)力的數(shù)據(jù)，σ^Model是由獨(dú)立變量X以及材料參數(shù)向量P構(gòu)成的本構(gòu)方程函數(shù)值，N是總的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，而W是相應(yīng)的加權(quán)矩陣，ω_i為對應(yīng)于觀察數(shù)據(jù)點(diǎn)i的對角加權(quán)因子；

步驟二、對參數(shù)優(yōu)化的度量模型(6)確定的多目標(biāo)優(yōu)化模型分解；

參數(shù)優(yōu)化的度量模型(6)已經(jīng)考慮到在準(zhǔn)靜態(tài)和動態(tài)加載條件下不同的力學(xué)響應(yīng)，所以在此處將卡方誤差準(zhǔn)則分為準(zhǔn)靜態(tài)力學(xué)模型和動態(tài)力學(xué)模型

準(zhǔn)靜態(tài)力學(xué)模型如下：

動態(tài)力學(xué)模型如下：

其中，和分別為準(zhǔn)靜態(tài)和動態(tài)力學(xué)實(shí)驗(yàn)的觀察值；是冪次定律的準(zhǔn)靜態(tài)彈塑性模型P_Static＝(A，B，n)是準(zhǔn)靜態(tài)待確定的參數(shù)向量，是和本構(gòu)方程(1)具有相同形式的動態(tài)本構(gòu)方程；

所述本構(gòu)方程是Johnson-Cook本構(gòu)方程，流動應(yīng)力σ是應(yīng)變ε_p，應(yīng)變率和溫度項(xiàng)T^*的乘積形式，分別代表材料塑性行為的應(yīng)力強(qiáng)化，應(yīng)變強(qiáng)化和熱軟化效應(yīng)；

其中，σ是材等效流動應(yīng)力，ε_p是等效塑性應(yīng)變，為正則化的應(yīng)變率，和分別表示參考應(yīng)變率和等效塑性應(yīng)變率；需要待確定的五個經(jīng)驗(yàn)參數(shù)的物理意義定義如下：A是材料初始屈服強(qiáng)度，B和n是應(yīng)變硬化系數(shù)和指數(shù)，C是無量綱應(yīng)變速率硬化系數(shù)，m是熱軟化指數(shù)；Johnson-Cook本構(gòu)方程中這些材料參數(shù)通過準(zhǔn)靜態(tài)壓縮和霍普金森壓桿實(shí)驗(yàn)SHPB獲得的應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)來擬合確定的；T^*是正則化后的溫度項(xiàng)，由下式表示：

其中，T是材料溫度，T_melt是熔點(diǎn)，T_room是室溫或參考溫度；

本構(gòu)方程(1)中的JC模型涉及的一組五個參數(shù)(P＝(A，B，C，n，m))，上述參數(shù)的確定能夠轉(zhuǎn)化為以等效塑性應(yīng)變ε_p、等效塑性應(yīng)變率和材料溫度T三個獨(dú)立變量的待擬合的參數(shù)化本構(gòu)方程與測試數(shù)據(jù)之間偏差或殘差的平方和的加權(quán)求和的最小化問題；

步驟三、確定各加載條件下與測量誤差相對應(yīng)的加權(quán)因子；

根據(jù)方程(10)和(12)將包括準(zhǔn)靜態(tài)和動態(tài)部分的雙目標(biāo)非線性最小二乘法優(yōu)化問題通過不同的加權(quán)因子聯(lián)系起來：

其中，和分別為準(zhǔn)靜態(tài)和動態(tài)觀測的加權(quán)對角矩陣；通過加權(quán)殘差分析，確定每個荷載工況下實(shí)驗(yàn)的測量誤差都處在同一個數(shù)量級上，從而使每個荷載工況的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在多目標(biāo)參數(shù)優(yōu)化中均起到作用；值得注意得是，在各個荷載工況下的測量誤差滿足正態(tài)分布規(guī)律，因此，相同變形速率和溫度荷載下的測量誤差是相同的，測量數(shù)據(jù)和真實(shí)值之間的實(shí)驗(yàn)偏差被視為滿足均值為0、標(biāo)準(zhǔn)偏差為的高斯分布的隨機(jī)測量噪聲，其中標(biāo)準(zhǔn)偏差隨著應(yīng)變率和溫度變化；實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)值σ^Exp和待擬合本構(gòu)模型數(shù)據(jù)σ^Model之間的關(guān)系滿足如下關(guān)系：

由于優(yōu)化之前的每個荷載工況下的測量誤差的方差還未可知，所以需要先確定每個荷載工況條件下的測量誤差的方差進(jìn)行分析，利用最小二乘法進(jìn)行評價如下：

其中i＝1，2，…對應(yīng)于第i種應(yīng)變率和變形溫度荷載工況條件；是待確定的本構(gòu)方程材料參數(shù)數(shù)量，是在第i種荷載工況下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量；在待確定的參數(shù)化本構(gòu)方程(1)中，至少需要五組試驗(yàn)數(shù)據(jù)才能求解該本構(gòu)方程；為避免在擬合過程中出現(xiàn)奇異矩陣，自由度數(shù)DoF被設(shè)為在每個荷載條件下的權(quán)重因子通過公式(16)單獨(dú)確定，第i種荷載條件下的對角權(quán)重因子ω_i在準(zhǔn)靜態(tài)力學(xué)模型中表示為：

ω_i在動態(tài)力學(xué)模型中表示為：

因此，問題最終轉(zhuǎn)化為求解在不同變形速率和溫度載荷下試驗(yàn)流動應(yīng)力和本構(gòu)方程模型預(yù)測值之間偏差的加權(quán)平方和的最小值，從而反向求解本構(gòu)方程材料參數(shù)；

步驟四、根據(jù)步驟二、三對步驟一中度量模型(6)參數(shù)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，確定步驟一中度量模型(6)參數(shù)，即完成用于復(fù)合材料本構(gòu)方程參數(shù)確定的多目標(biāo)優(yōu)化；

步驟四的具體實(shí)現(xiàn)方法為：

步驟4.1：結(jié)合梯度下降算法和高斯牛頓法求解公式(8)；

步驟4.2：雅克比行矩陣J的更新；

采用Brayden rank-1更新算法來更新雅可比矩陣；與有限差分法相比，特別是對于多參數(shù)優(yōu)化問題，Brayden rank-1更新算法由于沒有額外的函數(shù)估計能夠降低計算成本；

然而，在應(yīng)用Brayden rank-1更新算法進(jìn)行度量模型(6)參數(shù)優(yōu)化時，會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定性和發(fā)散問題；原因在于，雅可比矩陣的第1和2M^Para次迭代更新中，由于χ²(P)>χ²(P+h)導(dǎo)致的不良近似；因此，在第1和2M^Para次迭代中，Brayden rank-1更新算法被有限差分所取代，因此需要函數(shù)評估來判斷M^Para或2M^Para；

步驟4.3：步長h的更新；

對于步長的h的更新，通過比較χ²(P+h)與χ²(P)的質(zhì)量來確定；增益比Q(h)作為步長h更新是否合適的度量標(biāo)準(zhǔn)，增益比Q(h)是參數(shù)向量P的卡方誤差實(shí)際變化量和預(yù)期變化量之間的比率：

對于公式(27)則有：

通過判斷Q(h)>∈₄是否成立確定h_i的值，其中∈₄是規(guī)定閾值，用于確定算法中的步長的選擇；

所述公式(27)是標(biāo)準(zhǔn)Levenberg算法：

[J^TWJ+λI]h＝J^TW[σ^Exp-σ^Model(P)] (27)

其中，I是單位矩陣，λ是一個自適應(yīng)的阻尼因子，當(dāng)λ值較高時采用梯度下降算法解，而較低的λ對應(yīng)于高斯牛頓算法更新；因此，阻尼因子初始設(shè)置較大值，以便快速收斂到局部極值附近，并且根據(jù)χ²(P+h)>χ²(P)是否成立，確定自適應(yīng)阻尼因子λ的增加或減少；如果λ降低到某一確定值點(diǎn)，Levenberg算法中高斯牛頓算法開始起作用，則最優(yōu)解附近的目標(biāo)函數(shù)將加速收斂到局部最小值；

步驟4.4：收斂準(zhǔn)則；

滿足梯度收斂準(zhǔn)則或步長收斂準(zhǔn)則，計算停止：

梯度收斂準(zhǔn)則:

max[||J^TW(σ^Exp-σ^Model)||]<∈₁ (35)

步長收斂準(zhǔn)則:

max[h/P]<∈₂ (37)

其中，∈₁、∈₂是規(guī)定閾值，用于決定收斂容差；

步驟4.5：誤差分析；

采用確定系數(shù)R²和減縮的卡方作為擬合優(yōu)度的統(tǒng)計量度，系數(shù)R²表示試驗(yàn)測量值與擬合模型間的近似程度，減縮的卡方表示擬合誤差與測量誤差的比值；

待確定參數(shù)向量的漸近標(biāo)準(zhǔn)誤差通過方差-協(xié)方差矩陣的主對角元素的平方根求得；

公式(38)反映了試驗(yàn)數(shù)據(jù)變化對擬合參數(shù)值影響的度量。