[發明專利]非對稱制造商與聯合回收商在壟斷回收模式下的定價方法

在審

• 申請號: 201710209434.6
• 申請日: 2017-03-31
• 公開（公告）號: CN106991580A
• 公開（公告）日: 2017-07-28
• 發明（設計）人: 馮定忠;丁楊科;王亞良
• 申請（專利權）人: 浙江工業大學
• 主分類號: G06Q30/02
• 分類號: G06Q30/02;G06Q10/00
• 代理公司: 杭州浙科專利事務所(普通合伙)33213
• 代理人: 吳秉中

1.一種非對稱制造商與聯合回收商在壟斷回收模式下的定價方法，所述非對稱制造商指的是規模大小不相同的第一制造商和第二制造商，其中第一制造商的市場容量α₁大于第二制造商的市場容量α₂，聯合回收商指的是相互之間進行聯合回收的第一回收商和第二回收商，其特征在于，所述定價方法包括如下步驟：

1)建立制造商j的市場需求函數：假設市場對產品的需求為線性函數，則制造商j的市場需求函數為：

$d_j^k={\mathrm{\α}}_j-p_j^k+{\mathrm{\βp}}_{3-j}^k,j=1,2---\left(1\right)$

式中，j表示制造商，j＝1是表示制造商j為第一制造商，j＝2是表示制造商j為第二制造商，k表示回收模式，其中k＝acsm時表示回收模式為第一回收商和第二回收商相互聯合的壟斷回收模式，α_j表示制造商j的市場容量大小，α_j>0；β表示市場需求的彈性系數，即相應制造商產品的可替代程度，0≤β<1；

則在壟斷回收模式下，第一制造商的市場需求函數為：

$d_1^{acsm}={\mathrm{\&alpha;}}_1-p_1^{acsm}+{\mathrm{\&beta;p}}_2^{acsm}---\left(2\right)$

式中，α₁表示第一制造商的市場容量大小，表示第一制造商在壟斷回收模式下的銷售價格，表示第二制造商在壟斷回收模式下的銷售價格；

第二制造商的市場需求函數為：

$d_2^{acsm}={\mathrm{\&alpha;}}_2-p_2^{acsm}+{\mathrm{\&beta;p}}_1^{acsm}---\left(3\right)$

式中，α₂表示第二制造商的市場容量大小；

2)建立在第一回收商和第二回收商回收成本消耗與規模經濟因素均相同的情況下第一制造商和第二制造商的最佳利潤函數：

在聯合回收商的壟斷回收模式下，第一回收商和第二回收商向制造商收取的費用均為t^acsm，由于第一制造商和第二制造商為非對稱制造商，第一制造商的市場容量α₁和第二制造商的市場容量α₂不相同，由于回收商為聯合回收商，因此第一回收商的回收成本η_A和第二回收商的回收成本η_B消耗相同，即η_A＝η_B＝η，假設第一回收商的規模經濟因素θ_A和第二回收商的規模經濟因素θ_B相同，即θ_A＝θ_B＝θ，則可以得出制造商j的最佳利潤函數為：

$\underset{p_j^{acsm}}{\max }{\&Pi;}_j^{acsm}=(p_j^{acsm}-c_m+\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)-t^{acsm}\mathrm{\&tau;})({\mathrm{\&alpha;}}_j-p_j^{acsm}+{\mathrm{\&beta;p}}_{3-j}^{acsm})---\left(4\right)$

式中，c_m表示制造商制造新產品成本，c_r表示制造商制造再制品成本，其中c_r<c_m，σ表示廢舊品再制造率，t^acsm為聯合回收商回收每單位廢舊品向第一制造商和第二制造商收取的回收費用，τ為廢舊品的回收率，且0<τ≤1；

3)建立回收商的回收量函數：

在壟斷回收模式下，由于聯合回收商回收所有制造商的產品，因此，聯合回收商中的第一回收商和第二回收商的回收量均可表示為：

${\mathrm{\&omega;}}^{acsm}\left(t^{acsm}\right)=\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;D(p_1^{acsm},p_2^{acsm})=\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;(p_1^{acsm}+p_2^{acsm})---\left(5\right)$

4)根據回收商的回收量函數，建立回收商的最佳利潤函數：

由于回收費用的大小與產品市場規模經濟、回收率有關，因此，根據回收成本公式可以得出在聯合回收商的最佳利潤函數為：

$\underset{t^{acsm}}{\max }{\&Pi;}^{acsm}=(t^{acsm}+r)\&CenterDot;{\mathrm{\&omega;}}^{acsm}\left(t^{acsm}\right)-\&lsqb;\mathrm{\&eta;}\&CenterDot;{\mathrm{\&omega;}}^{acsm}\left(t^{acsm}\right)-\mathrm{\&theta;}\&CenterDot;{\left({\mathrm{\&omega;}}^{acsm}\right(t^{acsm}\left)\right)}^2\&rsqb;---\left(6\right)$

式中，η表示在不受規模經濟影響下，回收商回收單位廢舊品所需消耗的費用；θ表示規模經濟因素；

5)使用逆向歸納法對制造商j與回收商i的最優利潤函數分別進行求解：

在階段二的博弈中，制造商根據制造商之間的競爭制定銷售價格定價策略；第一制造商能根據給定一個聯合回收商向制造商收取的回收費用t^acsm，求解出使其利潤達到最大的銷售價格對第一制造商的利潤函數關于決策變量p₁^acsm求一階導數，并令其一階導數為0，即

$\frac{\&part;{\&Pi;}_1^{acsm}}{\&part;p_1^{acsm}}=\mathrm{\&alpha;}-p_1^{acsm}+{\mathrm{\&beta;p}}_2^{acsm}-(p_1^{acsm}-c_m+\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)-t^{acsm}\mathrm{\&tau;})=0---\left(7\right)$

對該式求解可得第一制造商利潤最優時的銷售價格對于第二制造商任意銷售價格第一制造商的銷售價格決策最優的反應函數是：

$p_1^{acsm}\left(p_2^{acsm}\right)=\frac{\mathrm{\&alpha;}+c_m-\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)+{\mathrm{\&beta;p}}_2^{acsm}+t^{acsm}\mathrm{\&tau;}}{2}---\left(8\right)$

同理，第二制造商根據給定一組回收商向制造商收取的回收費用t^acsm求解出使其利潤達到最大的銷售價格對第二制造商的利潤函數關于決策變量求一階導數，并令其一階導數為0，即

$\frac{\&part;{\&Pi;}_2^{acsm}}{\&part;p_2^{acsm}}=\mathrm{\&alpha;}-p_2^{acsm}+{\mathrm{\&beta;p}}_1^{acsm}-(p_2^{acsm}-c_m+\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)-t^{acsm}\mathrm{\&tau;})=0---\left(9\right)$

求解即可得到第二制造商利潤最優時的銷售價格對于第一制造商的任意銷售價格第二制造商的銷售價格決策最優的反應函數是

$p_2^{acsm}\left(p_1^{acsm}\right)=\frac{\mathrm{\&alpha;}+c_m-\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)+{\mathrm{\&beta;p}}_1^{acsm}+t^{acsm}\mathrm{\&tau;}}{2}---\left(10\right)$

將第一制造商和第二制造商決策優化的反應函數聯立，即聯立公式(8)和公式(10)，求得第一制造商和第二制造商銷售價格的Nash均衡解為：

$p_1^{acsm}=p_2^{acsm}=\frac{\mathrm{\&alpha;}+c_m-\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)+t^{acsm}\mathrm{\&tau;}}{2}---\left(11\right)$

在階段一的博弈中，聯合回收商根據回收的廢舊品設置回收費用，聯合回收商的回收量為：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&omega;}}^{acsm}\left(t^{acsm}\right)=\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;D(p_1^{acsm},p_2^{acsm})=\mathrm{\&tau;}(p_1^{acsm},p_2^{acsm})\\ =\mathrm{\&tau;}(\mathrm{\&alpha;}-p_1^{acsm}+{\mathrm{\&beta;p}}_2^{acsm}+\mathrm{\&alpha;}-p_2^{acsm}+{\mathrm{\&beta;p}}_1^{acsm})\\ =\mathrm{\&tau;}(2\mathrm{\&alpha;}-(\mathrm{\&beta;}-1)p_1^{acsm}+(\mathrm{\&beta;}-1\left)p_2^{acsm}\right)\end{array}---\left(12\right)$

將公式(11)代入公式(12)，得到聯合回收商的回收量為：

${\mathrm{\&omega;}}^{acsm}\left({\mathrm{\&tau;}}^{acsm}\right)=2\mathrm{\&tau;}\&CenterDot;(\mathrm{\&alpha;}-(\mathrm{\&beta;}-1\left)\frac{\mathrm{\&alpha;}+c_m-\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)+t^{acsm}\mathrm{\&tau;}}{2-\mathrm{\&beta;}}\right)---\left(13\right)$

對公式(13)關于t^cs求導，可得：

$\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}^{acsm}}{\&part;t^{acsm}}=\frac{2(\mathrm{\&beta;}-1){\mathrm{\&tau;}}^2}{2-\mathrm{\&beta;}}---\left(14\right)$

對聯合回收商的利潤函數Π^cs關于決策變量t^cs求一階導數，并令其一階導數為0，求解可得制造商利潤最優時的銷售價格t^cs：

$\frac{\&part;{\&Pi;}^{acsm}}{\&part;t^{acsm}}={\mathrm{\&omega;}}^{acsm}+(t^{acsm}+r)\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}^{acsm}}{\&part;t^{acsm}}-\mathrm{\&eta;}\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}^{acsm}}{\&part;t^{acsm}}+2{\mathrm{\&theta;\&omega;}}^{acsm}\frac{\&part;{\mathrm{\&omega;}}^{acsm}}{\&part;t^{acsm}}=0---\left(15\right)$

將公式(13)和公式(14)代入公式(15)中可得聯合回收商回收費用的Nash均衡解t^*acsm為：

$\begin{array}{c}{t}^{*acsm}=\frac{1}{4(\mathrm{\&beta;}-1)\mathrm{\&tau;}(2-\mathrm{\&beta;}+2(\mathrm{\&beta;}-1\left){\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2\right)}\&CenterDot;\left(2\right(\mathrm{\&beta;}-1)\left(\right(\mathrm{\&beta;}-2)(r-\mathrm{\&eta;})\mathrm{\&tau;}+(c_m-\\ \mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)\left)(\mathrm{\&beta;}-2-4(\mathrm{\&beta;}-1\left){\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2\right)\right)+(\mathrm{\&beta;}-2-4{\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2(\mathrm{\&beta;}-1\left)\right)({\mathrm{\&alpha;}}_1+{\mathrm{\&alpha;}}_2))\end{array}---\left(16\right)$

將求解得到的聯合回收商回收費用的Nash均衡解t^*acsm帶入公式(11)中，可以求得制造商的均衡銷售價格為：

$\begin{array}{c}{p}_j^{*acsm}=\frac{1}{4({\mathrm{\&beta;}}^2+\mathrm{\&beta;}-2)(2-\mathrm{\&beta;}+2(\mathrm{\&beta;}-1\left){\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2\right)}\&CenterDot;\left(2\right({\mathrm{\&beta;}}^2+\mathrm{\&beta;}-2)(c_m-\\ \mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)-(r-\mathrm{\&eta;})\mathrm{\&tau;})+(7\mathrm{\&beta;}-10-12(\mathrm{\&beta;}-1\left){\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2\right){\mathrm{\&alpha;}}_j+\\ (4{\mathrm{\&beta;}}^2-5\mathrm{\&beta;}-2+4(\mathrm{\&beta;}-1\left)\right(1-2\mathrm{\&beta;}\left){\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2\right){\mathrm{\&alpha;}}_{3-j})\end{array}---\left(17\right)$

將公式(16)和公式(17)代入公式(4)中，整理化簡可以求得制造商的最優利潤為：

$\begin{array}{c}{\&Pi;}_j^{*acsm}=\frac{1}{16{({\mathrm{\&beta;}}^2-4-2({\mathrm{\&beta;}}^2+\mathrm{\&beta;}-2\left){\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2\right)}^2}\&CenterDot;\left(2\right({\mathrm{\&beta;}}^2+\mathrm{\&beta;}-2)(c_m-\mathrm{\&sigma;}(c_m-c_r)-\\ (r-\mathrm{\&eta;})\mathrm{\&tau;})+(3\mathrm{\&beta;}-2-4\left(\mathrm{\&beta;}-1\right){\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2){\mathrm{\&alpha;}}_j+(6-\mathrm{\&beta;}+4\left(\mathrm{\&beta;}-1\right){\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2){\mathrm{\&alpha;}}_{3-j}{)}^2\end{array}---\left(18\right)$

將公式(12)、公式(16)和公式(17)帶入公式(6)中，整理化簡后得到聯合回收商的最優利潤Π^*acsm為：

${\&Pi;}^{*acsm}=\frac{{({\mathrm{\&alpha;}}_1+{\mathrm{\&alpha;}}_2+2(\mathrm{\&beta;}-1\left)\right(c_m-\mathrm{\&sigma;}\left(c_m-c_r\right)-\left(r-\mathrm{\&eta;}\right)\mathrm{\&tau;}\left)\right)}^2}{8(1-\mathrm{\&beta;})(2-\mathrm{\&beta;}+2(\mathrm{\&beta;}-1\left){\mathrm{\&theta;\&tau;}}^2\right)}---\left(19\right)$