[發(fā)明專利]一種反常擴(kuò)散中的基于分步計算的離散分?jǐn)?shù)階差分方法

在審

• 申請?zhí)枺?/td>: 201710037251.0
• 申請日: 2017-01-19
• 公開（公告）號: CN106776478A
• 公開（公告）日: 2017-05-31
• 發(fā)明（設(shè)計）人: 孫洪廣;劉肖廷;達(dá)玉樂
• 申請（專利權(quán)）人: 河海大學(xué)
• 主分類號: G06F17/15
• 分類號: G06F17/15
• 代理公司: 南京縱橫知識產(chǎn)權(quán)代理有限公司32224
• 代理人: 朱妃,董建林

技術(shù)領(lǐng)域

本發(fā)明涉及一種離散分?jǐn)?shù)階差分方法，特別是涉及一種反常擴(kuò)散中的基于分步計算的離散分?jǐn)?shù)階差分方法，屬于數(shù)值模擬技術(shù)領(lǐng)域。

背景技術(shù)

在環(huán)境、水利、化工、能源等許多工程領(lǐng)域，流體的動量、熱量和質(zhì)量等基本參量在流動過程中的運移擴(kuò)散問題備受關(guān)注。各類流體流動和傳熱傳質(zhì)問題的根本解決，都必須基于對流體環(huán)境中運移擴(kuò)散規(guī)律的科學(xué)把握，以便了解流體或其中含有物質(zhì)隨時空的變化情況。而隨著人類認(rèn)知世界水平的提高，反常擴(kuò)散這個現(xiàn)象越來越普遍和受到關(guān)注。

分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)建模已經(jīng)普遍應(yīng)用在復(fù)雜介質(zhì)中物質(zhì)的擴(kuò)散問題，但是由于其定義的連續(xù)性，導(dǎo)致在一些非連續(xù)擴(kuò)散現(xiàn)象的建模上受到質(zhì)疑。最近，Atici，Torres等人提出了時標(biāo)上的分?jǐn)?shù)階差分，Dumitru和吳國成等人發(fā)展了離散分?jǐn)?shù)階模型，并應(yīng)用在信號處理，圖像加密和反常擴(kuò)散領(lǐng)域。但是，現(xiàn)有的離散分?jǐn)?shù)階差分方法布點數(shù)仍存在受限于gamma函數(shù)和計算效率不高的缺點。

發(fā)明內(nèi)容

本發(fā)明的主要目的在于，克服現(xiàn)有技術(shù)中的不足，提供一種反常擴(kuò)散中的基于分步計算的離散分?jǐn)?shù)階差分方法，不僅擴(kuò)展原來方法模擬的范圍，減小gamma函數(shù)計算的限制，而且大幅提高計算效率，具有積極的工程實踐意義。

為了達(dá)到上述目的，本發(fā)明所采用的技術(shù)方案是：

一種反常擴(kuò)散中的基于分步計算的離散分?jǐn)?shù)階差分方法，包括以下步驟：

1)在所考察物質(zhì)的內(nèi)部和邊界配置若干測試點，獲得這些測試點的擴(kuò)散濃度u，確定相應(yīng)的參數(shù)，包括初邊條件和擴(kuò)散系數(shù)，并根據(jù)經(jīng)驗公式確定分?jǐn)?shù)階階數(shù)；

2)采用離散分?jǐn)?shù)階差分方法離散控制方程，根據(jù)所要數(shù)值模擬物質(zhì)所分布的尺度確定網(wǎng)格點數(shù)，網(wǎng)格點數(shù)包括時間點數(shù)和空間點數(shù)；其中，時間點數(shù)為N_t+1，空間點數(shù)為N_x+1，N_t為時間段數(shù)，N_x為空間段數(shù)；

3)確定反常擴(kuò)散的時間空間分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散方程，并得到時間空間反常擴(kuò)散方程的離散格式；

將時間空間反常擴(kuò)散方程的離散格式中的兩個gamma函數(shù)的比值看做一個參數(shù)G，分別根據(jù)時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)、時間點數(shù)和空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)、空間點數(shù)，計算得到時間方向gamma函數(shù)的比值G_t和空間項gamma函數(shù)的比值G_x；

4)將時間方向gamma函數(shù)的比值G_t和空間項gamma函數(shù)的比值G_x代入離散控制方程，加入初邊條件；

5)通過離散格式中顯格式的數(shù)值格式，得到擴(kuò)散濃度u的數(shù)值結(jié)果。

本發(fā)明進(jìn)一步設(shè)置為：所述步驟3)中的確定反常擴(kuò)散的時間空間分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散方程，并得到時間空間反常擴(kuò)散方程的離散格式，具體為，

對于描述的反常擴(kuò)散的時間空間分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散方程為，

其中，為Caputo定義下的時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，C為Caputo定義，0和t為時間的起點和終點，α為時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)；和合在一起為Riesz定義下的空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，x^-為x位置的左鄰域，b為空間上的右端點，x⁺為x位置的右鄰域，a為空間上的左端點，β為空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，x^-＝(n-1)h_x,x⁺＝(n+1)h_x,x＝nh_x,1≤n≤N_x-1；x為空間上的位置，D為擴(kuò)散系數(shù)，A為對流系數(shù)，h_t為時間步長，h_x為空間步長，m為時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)α向上取整，v為時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)α；

時間離散分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的離散形式為，

其中，和分別為第i個點的位置第k個時刻和第k+1個時刻的濃度；擴(kuò)散濃度u的上標(biāo)表示時間上的時刻、下標(biāo)表示空間點的位置；

空間離散分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的離散形式包括右空間差分和左空間差分，

右空間差分，即右空間的離散形式為，

其中，u_n+j、u_n+j+1和u_n+j-1分別為第n+j個點、第n+j+1個點和第n+j-1個點的位置的濃度；

左空間差分，即左空間的離散形式為，