[發明專利]一種基于支反力方差約束的機床底座拓撲優化設計方法

在審

• 申請號: 201710016069.7
• 申請日: 2017-01-10
• 公開（公告）號: CN106844917A
• 公開（公告）日: 2017-06-13
• 發明（設計）人: 高彤;邱利彬;趙志光;張衛紅
• 申請（專利權）人: 西北工業大學
• 主分類號: G06F17/50
• 分類號: G06F17/50
• 代理公司: 西北工業大學專利中心61204
• 代理人: 陳星

1.一種基于支反力方差約束的機床底座拓撲優化設計方法，其特征在于包括以下步驟:

步驟1.建立有限元模型；對機床底座結構初始幾何模型進行有限元網格劃分，獲得有限元模型，設置拓撲設計變量x_i初始值，優化中其值在0-1之間變化，i是正整數，表示設計域單元編號，1≤i≤n_e，n_e表示設計域內結構單元總數，為避免剛度矩陣奇異，設置拓撲設計變量的下限x_L；

步驟2.對機床底座結構有限元模型設置載荷以及邊界條件；根據實際工況，在不影響整體分析的前提下對載荷及邊界條件作適當簡化，在有限元軟件中進行載荷和邊界條件的施加；

步驟3.給定實體材料楊氏模量E⁽⁰⁾和泊松比μ；每次迭代后，根據當前設計變量值，更新結構有限元模型中的相應材料屬性，在本方法中，采用SIMP材料插值模型分別計算每一個有限單元在當前迭代步下的楊氏模量E_i

$E_i=x_i^p{E}^{\left(0\right)}---\left(1\right)$

上標(0)表示實體材料的楊氏模量，懲罰因子p值取3；

步驟4.對以上三個步驟建立的分析模型進行有限元分析，獲取結構剛度矩陣、結構位移向量、固定支撐處支反力向量信息；

對于線性靜力分析，結構有限元平衡方程可寫為

KU＝F (2)

式中，K為結構整體剛度矩陣，U為節點位移向量，F為節點載荷向量；

為便于求得固定支撐節點處的反力大小，將以上平衡方程寫成分塊矩陣的形式

$\left[\begin{array}{cc}{K}_{cc}& K_{cs}\\ K_{cs}^T& K_{ss}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{U}_c\\ U_s\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{F}^a\\ R\end{array}\right\}---\left(3\right)$

下標c代表結構非支撐處自由度，下標s代表結構固定支撐處自由度；相應地，U_c代表非支撐處節點位移向量，U_s代表固定支撐處節點位移向量，F^a代表非支撐處結構整體載荷向量，R表示固定支撐處節點支反力向量；

根據邊界條件固定支撐處位移為0，即U_s＝0，方程(3)就可化簡為

$\left[\begin{array}{cc}{K}_{cc}& K_{cs}\\ K_{cs}^T& K_{ss}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{U}_c\\ 0\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{F}^a\\ R\end{array}\right\}---\left(4\right)$

將方程(4)分別按行展開，如式(5)，即可以求得U_c，然后通過計算可得到固定支撐處節點支反力向量R

$\begin{array}{c}{K}_{\mathrm{cc}}{U}_c=F^a\\ K_{\mathrm{cs}}^T{U}_c=R\end{array}---\left(5\right)$

步驟5.計算機床底座結構整體柔順度

C＝U^TKU (6)

根據式(6)計算機床底座結構整體柔順度C；具體計算時是通過提取有限元分析結果中的第i個單元的剛度矩陣k_i和位移向量u_i，采用自編程序先計算每個單元的柔順度再把所有單元的柔順度疊加起來得到結構的整體柔順度C；

步驟6.計算機床底座結構固定支撐處節點支反力方差

采用固定支撐處節點指定自由度上的支反力方差大小來定量描述支反力分布平均指標；支反力方差D(R)可按下式進行計算

$D\left(R\right)=\frac{1}{n_r}\underset{j}{\Σ}{(R_j-\stackrel{\‾}{R})}^2,j\∈{\mathrm{\Ω}}_{RV}---\left(7\right)$

其中n_r表示考慮的支反力總數目，Ω_RV表示考慮支反力平均的自由度集合,R_j表示所考慮的自由度集合中第j個支反力值，j表示Ω_RV中每一個支反力的編號，1≤j≤n_r；表示所有考慮的支反力的平均值，其計算如下

$\stackrel{\‾}{R}=\frac{1}{n_r}\underset{j}{\Σ}{R}_j,j\∈{\mathrm{\Ω}}_{RV}---\left(8\right)$

顯然，支反力方差D(R)總是正值，其值越小表示指定自由度上的支反力分布越平均；

步驟7.給定體積約束上限V_U，采用式(9)計算當前迭代步的結構體積V_C，

$V_C=\underset{i}{\Σ}{V}_i{x}_i---\left(9\right)$

其中V_i表示第i個實體材料單元的體積；

步驟8.定義拓撲優化模型

采用帶支反力方差約束的拓撲優化設計模型如下

$\begin{array}{cc}find& x=\left\{x_i\right\},i=1,2,\mathrm{...},n_e\\ \min & C=U^{T}KU\\ s.t& KU=F\\ & D\left(R\right)\≤D_U\\ & V_C=\underset{i}{\Σ}{V}_i{x}_i\≤V_U\\ & 0\<x_L\≤x_i\≤1\end{array}---\left(10\right)$

式中x代表設計變量的集合，x_i為第i個有限單元的設計變量值，表示實體材料的有無，其中1≤i≤n_e；為避免有限元分析時結構剛度矩陣的奇異，引入設計變量下限x_L，n_e代表設計域單元總數,優化目標為結構的整體柔順度C最小；約束條件中包含體積和方差約束,V_U代表設計域體積約束V_C的上限，V_i表示設計域中第i個實體材料單元的體積；

步驟9.進行靈敏度分析與優化迭代

求得目標函數和約束條件關于設計變量的靈敏度,采用拓撲優化程序進行優化迭代，得到基于支反力方差約束的機床底座拓撲優化設計結果。