[發明專利]一種基于曲面族包絡（面）原理的高次曲面參數化建模方法

在審

• 申請號: 201611221186.9
• 申請日: 2016-12-09
• 公開（公告）號: CN106844869A
• 公開（公告）日: 2017-06-13
• 發明（設計）人: 張文濤;李偉
• 申請（專利權）人: 長春理工大學
• 主分類號: G06F17/50
• 分類號: G06F17/50
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• 代理人: 暫無信息

1.一種基于曲面族包絡(面)原理的高次曲面參數化建模方法，其特征在于：其高次曲面參數化建模方法的步驟是：

S1、分析簡單曲面及其數學表示方法

在空間直角坐標系中，對于給定的一張曲面∑，把∑看作是動點M按照一定的規律運動所形成的軌跡，用M點的坐標(x，y，z)所滿足的方程表示，其形式有：

I、參數式

$\mathrm{\Σ}:\left(\begin{array}{c}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v)\end{array}\right.,(u,v)\∈U---\left(1\right)$

式(1)為曲面∑的參數式，或參數表示，u與v稱為∑的參數，其向量方程為：

r＝r(u，v)＝{x(u，v)，y(u，v)，z(u，v)} (2)

II、顯式

如果動點M的坐標(x，y，z)滿足方程：

z＝f(x，y)或z＝z(x，y)(3)

稱上式為曲面∑的顯式表示，只要坐標(x，y，z)滿足(3)，則M(x，y，z)點的集合就是曲面∑；

III、隱式

如果動點M(x，y，z)滿足方程：

F(x，y，z)＝0 (4)

且F_z(x，y，z)≠0，則稱上(4)式為曲面∑的隱式表示，∑是動點M的集合；

以上三種表達形式在一定條件下，具有等價性；如果曲面∑采用公式(1)的形式表示，且函數x(u，v)，y(u，v)，z(u，v)對自變量u與v具有連續的一階偏導數，同時矩陣：

$J=\left(\begin{array}{ccc}{x}_u& y_u& z_u\\ x_v& y_v& z_v\end{array}\right)$

的秩rank(J)＝2，則稱曲面∑為簡單曲面，∑上的點為正常點；或者說，由正常點組成的曲面稱為簡單曲面；簡單曲面上每一點的法向量為非零向量，即N＝r_u×r_v≠0，因此簡單曲面都可以用參數式、顯式或者隱式來表示；

S2.確定單參數運動狀態下單參數曲面族表示方法

空間曲面以參數a運動(或變化)，就會形成一族曲面，對應某個a值，就會有確定的曲面與之對應，則稱這族曲面為單參數曲面族；空間曲面族的表示法同樣也有三種：

I、曲面族的參數式和向量方程

曲面族的參數式：

$\left\{s_a\right\}:\left(\begin{array}{c}x=x(u,v,a)\\ y=y(u,v,a)\\ z=z(u,v,a)\end{array}\right.$

其中：(u，v)∈U，a∈D，U與D都是實數集合；

向量方程：

r＝r(u，v，a)＝{x(u，v，a)，y(u，v，a)，z(u，v，a)}

II、曲面族的顯式表示：

z＝f(x，y，a)或z＝z(x，y，a)

III、曲面族的隱式表示：

F(x，y，z，a)＝0

S3、分析單參數曲面族的包絡(面)存在的充要條件

對于給定的單參數曲面族{s_a}，如果空間存在一張曲面∑，對于任意的點p_a∈∑，有族中曲面在該點與∑相切；對于任意的α∈D，必有點p_a∈s_a，使得∑在該點與s_a相切；則稱∑是單參數曲面族{s_a}的包絡，p_a稱為切點；

因此可以簡單的表示為：

s_a與∑在點p_a相切；∑與s_a在點p_a相切，

則稱∑為單參數曲面族{s_a}的包絡；

I、單參數曲面族包絡存在的充分條件

單參數曲面族r＝r(u，v，a)的包絡存在的充分條件為：

Φ＝(r_u，r_v，r_a)＝0且Φ_a≠0

II、單參數曲面族包絡存在的必要條件

單參數曲面族r＝r(u，v，a)的包絡存在的必要條件為：

Φ(u，v，a)＝(r_u，r_v，r_a)＝0

III、單參數曲面族包絡的表達形式

包絡∑的參數方程：

$\mathrm{\Σ}:\left(\begin{array}{c}x=x(u,v,a)\\ y=y(u,v,a)\\ z=z(u,v,a)\\ \mathrm{\Φ}=\frac{\∂(x,y,z)}{\∂(u,v,a)}=0\end{array}\right.$

包絡∑的向量方程：

$\mathrm{\Σ}:\left(\begin{array}{c}r=r(u,v,a)\\ (r_u,r_v,r_a)=0\end{array}\right.$

S4、高次曲面數學建模

S41.坐標系建立

高次曲面數學模型建立過程中坐標系建立如下：直角坐標系o₁-x₁y₁z₁與o-xyz分別固聯在砂輪和推力軸承上，其中砂輪軸與y₁軸重合，y₁與z之間的距離為W(砂輪相對軸承回轉中心偏移量)，推力軸承軸線與z軸重合，推力軸承平面部分位于o-xy平面內，y軸位于推力軸承高次曲面與平面交線位置，位于y₁＝μ+δ平面內的砂輪截面圓曲線，P點是t時刻砂輪截面圓曲線與高次曲面的接觸點(特征點)，初始時刻x₁軸位于xoz坐標面內，x₁與x軸間距離為s(φ)(砂輪相對于推力軸承的位移函數)，z軸和z₁軸之間夾角為β(機床結構保證)；動坐標系o₁-x₁y₁z₁(砂輪)繞z軸(軸承軸線)逆時針旋轉的同時，且沿平行于z軸方向作往復直線運動(即砂輪繞推力軸承軸線逆時針旋轉的同時且沿平行于推力軸承軸線方向往復直線運動)，t時刻x₁軸相對初始位置轉角為φ(t時刻砂輪轉角)；推力軸承高次瓦面的曲面法向量與z軸正向夾角為銳角(即瓦面向上)，回轉體砂輪母線為非直母線；

砂輪位移函數表達式：

s(φ)＝s(ωt)

φ＝ωt

其中：ω-砂輪相對于推力軸承的旋轉角速度(rad/s)；

z₀-高次面數；

β-z軸和z₁軸之間夾角，砂輪軸線與推力軸承軸線之間的夾角為90°-β；

φ-t時刻砂輪軸線相對于推力軸承的轉角；

r(δ)-砂輪母線方程；

S42.砂輪廓形方程

向量形式：

r₁＝r₁(δ，θ)＝i[(r+δtanα)cosθ]+j(u+δ)+k[(r+δtanα)sinθ](1)

參數形式：

$\left(\begin{array}{c}{x}_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})=(r+\mathrm{\δ}tan\mathrm{\α})cos\mathrm{\θ}\\ y_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})=u+\mathrm{\δ}\\ z_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})=(r+\mathrm{\δ}tan\mathrm{\α})sin\mathrm{\θ}\end{array}\right.---\left(2\right)$

S43.砂輪相對于推力軸承逆時針旋轉形成的曲面族方程：

r＝r₀+A_z(φ)A_x(β)(r_x+r₁)

$\left[\begin{array}{c}x(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})\\ y(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})\\ z(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ s\left(\mathrm{\φ}\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\φ}& -\sin \mathrm{\φ}& 0\\ \sin \mathrm{\φ}& \cos \mathrm{\φ}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \mathrm{\β}& -\sin \mathrm{\β}\\ 0& \sin \mathrm{\β}& \cos \mathrm{\β}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})+w\\ y_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})\\ z_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}x(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})\\ y(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})\\ z(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ},\mathrm{\φ})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})cos\mathrm{\φ}+wcos\mathrm{\φ}-y_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})cos\mathrm{\β}sin\mathrm{\φ}+z_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})sin\mathrm{\β}sin\mathrm{\φ}\\ x_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})sin\mathrm{\φ}+w\sin \mathrm{\φ}+y_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})cos\mathrm{\β}\cos \mathrm{\φ}-z_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})\sin \mathrm{\β}cos\mathrm{\φ}\\ y_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})sin\mathrm{\β}+z_1(\mathrm{\δ},\mathrm{\θ})cos\mathrm{\β}+s\left(\mathrm{\φ}\right)\end{array}\right]---\left(3\right)$

將公式(2)代入公式(3)得：

向量形式：

參數形式：

當砂輪采用直母線砂輪磨削時，高次曲面數學模型：

向量形式：

其中：

$\mathrm{\θ}=2atan\left(\frac{-H+\sqrt{H^2+I^2-J^2}}{J-I}\right)$

I＝(r+δtanα)tanαcosβ+(u+δ)cosβ

H＝wsinβ-s′(φ)cosβ

J＝wtanαcosβ+s′(φ)tanαsinβ

參數形式：

x(δ，θ，φ)＝(r+δtanα)(cosθcosφ+sinθsinβsinφ)-(u+δ)sinφcosβ+w cosφ

y(δ，θ，φ)＝(r+δtanα)(sinφcosθ-sinθsinβcosφ)+(u+δ)cosβcosφ+w sinφ

z(δ，θ，φ)＝(r+δtanα)sinθcosβ+(u+δ)sinβ+s(φ)

其中：

$\mathrm{\θ}=2atan\left(\frac{-H+\sqrt{H^2+I^2-J^2}}{J-I}\right)$

I＝(r+δtanα)tanαcosβ+(u+δ)cosβ

H＝w sinβ-s′(φ)cosβ

J＝w tanαcosβ+s′(φ)tanαsinβ。