[發明專利]一種產品故障行為耦合建模和可靠性評估方法

在審

• 申請號: 201610857496.3
• 申請日: 2016-09-27
• 公開（公告）號: CN106650204A
• 公開（公告）日: 2017-05-10
• 發明（設計）人: 許丹;邢夢莉;尉麒棟
• 申請（專利權）人: 北京航空航天大學
• 主分類號: G06F19/00
• 分類號: G06F19/00
• 代理公司: 北京慧泉知識產權代理有限公司11232
• 代理人: 王順榮,唐愛華

1.一種產品故障行為耦合建模和可靠性評估方法，即一種基于Vine-Copula和加速退化試驗的產品故障行為耦合建模和可靠性評估方法，其特征在于：其步驟如下：

步驟一：退化軌跡建模

產品的退化軌跡模型表示為退化量與時間及所受環境應力的函數；在進行退化軌跡建模時，需

1.分析退化數據特點，建立退化軌跡模型Δy_t＝f(t,S)，Δy_t表示t時刻的退化量，S表示所受環境應力水平大小；

2.建立似然函數f_i表示第i個退化量測試點的概率密度函數，μ，σ表示退化軌跡模型參數；

3.代入退化數據，利用Nelder-Mead單純形法對似然函數的極大值問題進行求解，得到各應力水平下各性能參數退化軌跡模型的參數估計；

步驟二：失效機理一致性檢驗

在加速退化試驗中，為保證試驗的有效性，不同加速應力水平下的同一性能參數應符合失效機理一致性檢驗；退化軌跡建模中模型參數與失效機理不變間存在的聯系依據退化軌跡建模方法的不同而存在差別，以服從漂移布朗運動的退化軌跡建模為例：

1.確定其加速機理一致性檢驗公式其中μ_i和σ_i分別為應力水平S_i下的退化軌跡模型的漂移系數與擴散系數；

2.構建假設檢驗統計量T從自由度為n+m-2的t分布；其中：X服從均值為μ₁方差為σ²的正態分布,Y服從均值為μ₂方差為σ²的正態分布,且X₁，X₂，…X_n是來自總體X的樣本，Y₁,Y₂,…Y_m是取自總體Y的樣本，n和m分別為樣本量大小；

3.確定拒絕域；給定顯著性水平α，代入數據計算|T|，查t分布表知：

t_1-α/2(n+m-2)的大小，若|T|≥t_1-α/2(n+m-2)，則檢驗結果落在拒絕域內，參數在不同應力下的失效機理不具有一致性，反之，則滿足一致性檢驗；

步驟三：外推正常應力下性能參數的分布模型

產品壽命特征與加速應力水平之間的關系通過加速模型來表述，利用加速模型推導得到正常應力下各變量的退化模型及邊緣分布；本發明中，采用簡化的多應力艾琳加速模型：t為特征壽命，T和RH分別表示溫度與濕度變量，A、B和C為待求參數；

1.確定加速因子

令AF_i,0＝t₀/t_i為加速應力水平S_i相對于正常應力水平S₀的加速因子，t_i和t₀分別表示產品在加速應力水平S_i與正常應力水平S₀下，性能參數達到相同退化量時所需要的時間；

2.求解加速模型參數

a.構建加速因子與不同應力間壽命、漂移系數、擴散系數的關系等式其中AF表示加速因子，L表示壽命，μ_i和σ_i表示在加速應力S_i下性能參數退化軌跡的漂移系數和擴散系數；下標h表示高的應力水平，下標l表示低的應力水平；

b.對性能參數p，在k₁和k₂應力水平下，構造離差平方和函數采用Nelder-Mead單純形法對離差平方和函數的極小值問題進行求解，得到加速模型中最優模型參數B、C；

3.估計正常應力下退化軌跡模型參數

求得加速模型中的參數之后，使用最小二乘法對正常應力下退化軌跡模型參數進行估計，得到離差平方和函數與采用單純形法求解使離差平方和最小所對應的參數值，從而得到正常應力下退化軌跡模型參數μ_p0和σ_p0的點估計；最終正常應力下退化軌跡模型為：y_p0(t)＝μ_p0t+σ_p0B(t)；

步驟四：基于Vine-Copula的產品故障行為耦合建模

Copula函數是一類“連接”函數，連接的是邊緣分布與聯合分布；Vine-Copula的理論基礎是條件概率，通過將聯合分布分解成多個二元copula及相應的條件概率連乘的形式進行建模，基于Vine-Copula的產品故障行為耦合建模主要流程如下：

1.性能參數相關性分析

在進行產品的故障行為耦合建模前，對于產品的多元性能參數退化，先進行相關性分析；用Kendall’sτ系數作為相關性度量指標，指標的絕對值越接近1表示相關性越強，Kendall’sτ系數表示非線性相關程度；

2.借助vine圖模型將聯合分布分解為合適的條件概率相乘的形式，利用copula函數構建多元相關關系模型；具體，

a.基于D-Vine的建模方法

1)首先，在第一層Vine圖模型中，各變量作為樹圖中的節點，節點之間按相互關系用短線進行連接；以c_ij表示連接節點i與節點j的copula函數的概率密度，則c_ij＝c_pq，p、q分別為節點i和節點j包含的變量；

2)Vine圖中的第二層樹圖建立在第一層樹圖的基礎上，以第一層樹圖中的連接作為第二層樹圖中的節點，第一層中相鄰的連線在第二層的形成的元用連線進行連接，構建第二層的樹圖；仍以c_ij表示連接節點i與節點j的copula函數的概率密度，有c_ij＝c_pq|k，{p,k}、{q,k}分別為節點i和節點j包含的變量，其中k為兩節點共有的變量；

3)第三層樹圖也是采用類似的方法在前一層樹圖基礎上進行建立，以此類推，當樹圖中只剩下一對相關關系，即只剩一條連線時，就是最后一層的樹圖了；同理，第三層樹圖到包括最后一層樹圖在內的所有連接節點之間的copula函數的概率密度都有c_ij＝c_pq|k，{p,k}、{q,k}為節點i和節點j包含的變量，其中k為兩節點共有的變量；

4)將Vine圖中的各條連線對應的copula函數概率密度相乘，即得到基于Vine圖的copula函數的分解結構.c＝∏c_ij；產品可靠度聯合分布概率密度函數表示為x_i表示產品的第i個性能參數，r_i表示第i個參數對應的可靠度概率密度函數,至此基于Vine-Copula耦合模型已建立；

b.求解Vine-Copula耦合模型

求解Vine-Copula耦合模型,即可靠度聯合分布概率密度，要先確定可靠度聯合分布概率密度r(x₁,...,x_n)中各個copula概率密度函數的形式及參數，即c_ij的形式與參數；

1)確定Vine模型中第一層樹圖中的c_ij:代入第i、第j個節點對應性能參數(p、q)的退化量數據；根據備選的copula函數形式建立似然函數采用Nelder-Mead單純形法求解似然函數的極大值及其對應的copula函數參數值，然后基于AIC準則選取最為合適的copula函數形式及對應的參數；其中，似然函數L中j表示樣本編號，共m個樣本，i表示測試點序號，共n個測試點，R_p(t)與R_q(t)分別表示第p和q個性能參數的可靠度分布函數；

2)確定Vine模型中第二層樹圖中的c_ij:令{p,k}、{q,k}分別為節點i和節點j包含的變量，則有c_ij＝c_pq|k，根據備選的copula函數形式建立似然函數采用Nelder-Mead單純形法求解似然函數的極大值及其對應的copula函數參數值，然后基于AIC準則選取最為合適的copula函數形式及對應的參數，其中，似然函數L中j表示樣本編號，共m個樣本，i表示測試點序號，共n個測試點，R_p|k(t)與R_q|k(t)分別表示可靠度聯合分布的條件概率表達式，其計算公式遵循：

i.當k為一維變量時，即兩個節點間只包含一個相同變量，此時R_p|k(t)和R_q|k(t)的值按照計算；其中R為可靠度分布函數，表示該copula函數對R_j求導；

ii.當k為維數大于1的向量時，即兩個節點間包含多個相同變量，此時R_p|k(t)和R_q|k(t)的值按照計算；其中v是條件向量，v＝(v₁,v₂,…,v_d)，v_j是v中的任意一個元素，v_-j表示v除去v_j得到的向量；

確定Vine模型中第二層樹圖中的c_ij后，以此類推，計算其他層樹圖的c_ij,直至確定Vine圖中所有最優的copula函數形式為止；

3)確定所有c_ij的函數形式后，對已選定的c_ij的參數一起進行再次估計；建立似然函數L＝r(x₁,...,x_n)，采用Nelder-Mead單純形法方法求解似然函數的極大值，得到對應的最優參數結果；將所有c_ij函數的參數回代Vine-Copula的分解式中，即得到了基于Vine-copula建立的多元相關關系模型；

步驟五：可靠性評估

利用Vine-Copula函數完成產品故障行為耦合建模后，得到產品的可靠度聯合分布概率密度函數；然而由于Copula函數的密度函數結構復雜多樣，同時各性能參數的可靠度概率密度函數表達式也十分復雜，造成可靠度聯合分布的概率密度函數的解析式不僅長而且非常復雜，很難通過直接積分的方法求解可靠度函數；對于非嚴格單調退化情況下的產品可靠度聯合分布的精確解問題，本發明采用了條件概率分解的方法進行求解；

1.計算二元變量的可靠度聯合分布的條件概率表達式

$R_{h|j}\left(x_h\right|x_j)=\frac{{\mathrm{dC}}_{hj}\left(R_h\right(x_h),R_j(x_j\left)\right)}{{\mathrm{dR}}_j\left(x_j\right)}$

其中R為可靠度分布函數，表示該copula函數對R_j求導；

2.計算多元變量可靠度聯合分布的條件概率表達式

$R_{x|v}\left(x\right|v)=\frac{{\mathrm{dC}}_{x,v_j|v_{-j}}\left(R\right(x|v_{-j}),R(v_j|v_{-j}\left)\right)}{dR\left(v_j\right|v_{-j})}$

其中v是條件向量，v＝(v₁,v₂,…,v_d)，v_j是v中的任意一個元素，v_-j表示v除去v_j得到的向量，v_-j＝(v₁,v₂,…,v_j-1,v_j+1,…,v_d)；

3.計算多元可靠度聯合分布表達式

其中K表示發生退化的性能參數個數，a_k是性能參數的代號，v是條件向量，v_j是條件向量v中的一個元素，v_-j表示條件向量v中除去v_j得到的向量，為v_j對應的時間，為向量v_-j中元素對應的時間構成的時間向量；

通過以上步驟，完成了對產品的故障行為耦合建模，建立了可靠度聯合分布的模型，解決了直接積分法求解可靠度函數的難題，清楚描述產品多元變量耦合關系，提供了在可承受時間和成本內進行產品可靠性評估的方法。